中位數(shù)計算公式及數(shù)學(xué)性質(zhì)的新認(rèn)識

何文勝，陳 武，陳 塵

（1.西南石油大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院，成都 610500；2.中石油西南油氣田分公司勘探開發(fā)研究院，成都 610056）

0 引言

在《統(tǒng)計學(xué)》教學(xué)中，在講授到平均指標(biāo)的時候，數(shù)值平均數(shù)一般有算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)等，位置平均數(shù)一般有眾數(shù)、中位數(shù)、四分位數(shù)等，除各個平均指標(biāo)反映的經(jīng)濟含義有差異之外，就是根據(jù)所掌握的資料不同所采用的計算方法有所差異。同時各個平均指標(biāo)的數(shù)學(xué)性質(zhì)也有一定的差異，本文根據(jù)中位數(shù)的含義及計算方法，與其他平均指標(biāo)進(jìn)行比較，在社會經(jīng)濟現(xiàn)象中，利用中位數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，重視中位數(shù)在統(tǒng)計研究和實踐中的作用。

1 中位數(shù)的含義及計算

定義1：中位數(shù)是指在變量數(shù)列按照有序（升序或者降序）排列的時候，位于中間位置所對應(yīng)的變量值。

也就是在一個變量數(shù)列中，比中位數(shù)小的變量值占一半，比中位數(shù)大的變量值占一半，中位數(shù)位于中間位置所對應(yīng)的變量值，因此，可以用中位數(shù)反映現(xiàn)象的一般水平。

確定中位數(shù)的方法，在變量數(shù)列沒有分組的情況下，通過計算中位數(shù)的位置=，n為變量值的個數(shù)，找這個位置對應(yīng)的變量值，即為中位數(shù)，在n為奇數(shù)的時候，對應(yīng)的是一個整數(shù)位置，找這個位置對應(yīng)的變量值即為中位數(shù)；在n為偶數(shù)的時候，對應(yīng)的是一個點5的小數(shù)位置，一般找點5小數(shù)位置的前后位置的變量值進(jìn)行簡單算術(shù)平均即為中位數(shù)。

在分組數(shù)列的情況下，確定中位數(shù)，一般通過計算累計次數(shù)來進(jìn)行。

定義2：向上累計（或者較大制累計）次數(shù)，是指變量值按照升序排列，從第一組的次數(shù)依次向后面組次數(shù)進(jìn)行的累加。

定義3：向下累計（或者較小制累計）次數(shù)，是指變量值按照升序排列，從最后一組的次數(shù)依次向前面組次數(shù)進(jìn)行的累加。

定義4：單項式數(shù)列是指用一個變量值代表一個組所形成的變量數(shù)列。

在單項式數(shù)列的情況下，確定中位數(shù)的方法是先計算中位數(shù)的位置為總體單位數(shù)，在向上累計次數(shù)的時候，從第一組的累計次數(shù)開始與中位數(shù)的位置進(jìn)行比較，累計次數(shù)第一次大于中位數(shù)的位置所對應(yīng)的變量值即為中位數(shù)；在向下累計次數(shù)的時候，從最后一組的累計次數(shù)開始與中位數(shù)的位置進(jìn)行比較，累計次數(shù)第一次大于中位數(shù)的位置所對應(yīng)的變量值即為中位數(shù)。

定義5：組距式數(shù)列是指用變量變動的一定范圍（或者區(qū)間）代表一個組所形成的變量數(shù)列。

在組距式數(shù)列的情況下，確定中的第一步是計算中位數(shù)的位置；第二步用累計次數(shù)與中位數(shù)的位置進(jìn)行比較，找到中位數(shù)所在組，其方法按照單項式數(shù)列確定中位數(shù)的方法進(jìn)行；第三步是利用組距式數(shù)列中位數(shù)的計算公式進(jìn)行計算，確定中位數(shù)。

2 組距式數(shù)列中位數(shù)計算公式的推導(dǎo)

在《統(tǒng)計學(xué)》教科書上一般組距式數(shù)列計算中位數(shù)的公式有下限公式和上限公式。

下限公式：

上限公式：

式中：Me為中位數(shù)；L為中位數(shù)所在組的下限；U為中位數(shù)所在組的上限為近似看成中位數(shù)所在的位置；m為中位數(shù)所在組；fm為中位數(shù)所在組的次數(shù)；d為中位數(shù)所在組的組距；為中位數(shù)所在組以前的較小制累計次數(shù)；為中位數(shù)所在組以后的較大制累計次數(shù)。

需要說明一點的就是，在幾乎所有的《統(tǒng)計學(xué)》教科書上，對較小制累計次數(shù)和較大制累計次數(shù)都是用的相同符號表示，認(rèn)為不是十分恰當(dāng)，在本文中用S小和S大分別表示較小制累計次數(shù)和較大制累計次數(shù)。

組距式數(shù)列中位數(shù)計算公式的推導(dǎo)。

根據(jù)中位數(shù)的定義，將中位數(shù)所在組的下限、上限、較小制累計次數(shù)、較大制累計次數(shù)和中位數(shù)位置用數(shù)軸表示如圖1所示。

圖1 組距式數(shù)列中位數(shù)位置及次數(shù)對應(yīng)圖

圖1的說明，設(shè)L到Me的距離為x1，L到Me對應(yīng)的次數(shù)為為到中位數(shù)所在組的較大制累計次數(shù)，設(shè)Me到U的距離為x2，Me到U對應(yīng)的次數(shù)為為到中位數(shù)所在組的較小制累計次數(shù)，L到U的距離為d，L到U對應(yīng)的次數(shù)為fm。

設(shè)組距式數(shù)列中位數(shù)在中位數(shù)組內(nèi)為均勻變動，那么，距離之比與對應(yīng)的次數(shù)應(yīng)相等。則它們之間的比例為：

按下限公式計算：

所以:

傳統(tǒng)的《統(tǒng)計學(xué)》教科書上組距式數(shù)列中位數(shù)的下限計算公式通常是按照較小制累計次數(shù)進(jìn)行計算的，上限計算公式通常是按照較大制累計次數(shù)進(jìn)行計算的。通過推導(dǎo)還可以得到組距式數(shù)列中位數(shù)按下限計算的另一個公式，即是也可以按照較大制累計次數(shù)進(jìn)行計算；同樣還可以得到組距式數(shù)列中位數(shù)按上限計算的另一個公式，即是按照較小制累計次數(shù)進(jìn)行計算，對同一資料得到的中位數(shù)計算結(jié)果是一樣的。

3 中位數(shù)數(shù)學(xué)性質(zhì)的新認(rèn)識

在前面對變量數(shù)列中位數(shù)的計算方法進(jìn)行分析后，可以對中位數(shù)的一個很重要的數(shù)學(xué)性質(zhì)進(jìn)行分析。

當(dāng)且僅當(dāng)為最小值。即是變量值與中位數(shù)離差絕對值的總和為最小。

證明過程如下：

根據(jù)中位數(shù)的定義，在數(shù)軸上表示如圖2所示。

圖2 中位數(shù)位置及對應(yīng)變量值關(guān)系圖

當(dāng)A＞Me時：

設(shè)s點的位置對應(yīng)的變量值是A，且A＞Me：

當(dāng)A＜Me時：

設(shè)t點的位置對應(yīng)的變量值是A，且A＜Me：通過對中位數(shù)數(shù)學(xué)性質(zhì)的推導(dǎo)，在數(shù)值平均數(shù)或者位置平均數(shù)數(shù)中，為最小值，可以看出，用中位數(shù)作為反映現(xiàn)象一般水平的指標(biāo)更為恰當(dāng)和合適。因此，在統(tǒng)計理論研究和統(tǒng)計實踐中，需要重視中位數(shù)的研究和應(yīng)用。

4 結(jié)論

本文通過對數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)的分析，根據(jù)中位數(shù)的定義及計算方法，對中位數(shù)的計算公式和數(shù)學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了推導(dǎo)和說明。在組距式數(shù)列中中位數(shù)的下限公式也可以按照較大制（或者向下）累計次數(shù)計算，上限計算公式也可以按照較小制（或者向上）累計次數(shù)計算，同時對傳統(tǒng)《統(tǒng)計學(xué)》教科書上對組距式數(shù)列較小制（或者向上）累計次數(shù)和較大制（或者向下）累計次數(shù)所表示的符號應(yīng)該加以區(qū)分；經(jīng)過簡單的代數(shù)變換得到，在變量數(shù)列中變量值與中位數(shù)離差的絕對值的總和為最小。因此在統(tǒng)計理論和統(tǒng)計實踐中，要重視中位數(shù)的研究和運用。

參考文獻(xiàn)：

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