基于誤差修正項調整的高階單整變量差分建模

白鶴松，曲振濤

（哈爾濱商業大學 經濟學院，哈爾濱150028）

0 引言

傳統Granger檢驗方法的適用要求所有檢驗的變量必須是平穩的或者是趨勢平穩的，如果出現不平穩現象則無法對高階單整變量的因果相關性做出準確判斷。但是現實生活中往往出現變量的單整現象，此時傳統檢驗方法失效。為此，本文推介一種用于檢驗高階單整變量因果關系的研究方法，試圖從同階變量和不同階變量兩個方面進行拓展研究。

1 均方誤差最小化的傳統Granger檢驗及其適用條件

目前學界使用的Granger因果檢驗主要是基于均方誤差的最小化而進行，假設變量在第t期的數據集為Jt，要想檢驗變量X預測值的準確性，只需滿足改變量的均方誤差最小，均方誤差（MSE）的公式表達方式為：

此時可以通過求解X的條件均值來確定MSE的最小值，數據集Jt條件下的條件均值可以表述為：

當下述公式成立時認為Granger因果關系不成立，因為變量Y的消除不會改變X的均值；反之，當下述公式不成立時即變量Y的消除會改變X的均值，則可以認為存在Granger因果關系：

如果變量X為線性函數形式,可以使用變量X的投影來檢驗，檢驗公式為：

其中為變量X的線性投影，當變量X的預測值與投影值之差和Zh不存在相關關系時，則Y和X之間具有Granger因果關系，即滿足：

如果用VAR模型檢驗變量之間的因果關系，則可以表述為如下聯合方程式：

其中μ表示隨機擾動項，其均值為1，方差為常數，協方差為零，用公式表示為：

首先確定變量Y是X的因果關系，對于HY→X，如果滿足β=0，則變量Y是X的因果關系不成立，如果滿足β≠0，則變量Y是X的因果關系成立。此時一般使用F檢驗，統計量的表達方式為：

該公式服從F(p，n-2p-1)分布，通過查F分布表把其值與樣本值比較確定顯著性來判斷因果關系是否成立。

然后確定變量X是Y的因果關系，對于HX→Y，如果滿足β=0，則變量X是Y的因果關系不成立，如果滿足β≠0，則變量X是Y的因果關系成立。此時一般使用F檢驗，統計量的表達方式為：

該公式服從F(p，n-2p-1)分布，通過查F分布表把其值與樣本值比較確定顯著性來判斷因果關系是否成立。

使用這種方法進行Granger因果關系檢驗要求所有檢驗的變量必須是平穩的或者是趨勢平穩，如果出現不平穩現象則無法檢驗。

2 同階協整與不同階協整檢驗及其建模

2.1 同階協整變量因果關系檢驗

傳統的Granger因果檢驗要求變量的平穩性，但是現實生活中往往出現變量的單整現象，此時傳統檢驗方法失效，在出現高階單整時可以對傳統檢驗模型進行拓展，從而更好地進行因果關系檢驗：

當X和Y具有2階單整關系時，即滿足如下公式：

此時，上述檢驗模型可以等價轉化為：

因上述公式為2階單整模型，所以滿足以下公式：

把上述條件帶入模型，可得如下公式：

又因ΔX和ΔY兩變量具有協整關系，可以推導出：

可以進一步把模型轉化為如下形式：

該模型是傳統Granger檢驗模型的修正表達方式，主要通過誤差修正項保證變量的平穩性，誤差修正項的表達式為：Yt-i-λXt-i和Xt-i-1/λYt-i

如果誤差修正項中的修正系數λ已知，可以通過F檢驗對變量之間的因果關系進行檢驗，當修正系數λ未知時可以使用以下公式計算修正系數，然后再通過F檢驗對變量之間的因果關系進行檢驗：

如果要檢驗的變量屬于（d,d）型的高階單證變量均可使用此方法進行因果關系檢驗。但是對于兩變量不同階的情況則不能使用此方法，下面對不同階的協整模型因果關系的檢驗進行拓展研究。

2.2 不同階協整變量模型檢驗

如果變量X和變量Y屬于不同階的協整關系，假設變量屬于如下類型：

此時模型的形式可以轉變為：

當上述模型中Yt-1-λXt-1和ΔXt-1或ΔYt-1屬于協整關系時，可以構建如下誤差修正模型進行因果關系檢驗：

在Yt-1-λXt-1和 ΔXt-1或 ΔYt-1屬于協整關系時，即滿足以下公式：

把這種協整關系公式帶入上述模型可得：

上述模型求解后可得：

當λ和δ已知時可以把數值帶入計算，并通過查F分布表以確定協整關系，如果λ和δ未知，則可以根據以下公式計算然后再檢驗協整關系：

3 不存在協整關系的變量差分檢驗與建模

上文對具有協整關系的變量之間的Granger因果關系檢驗方法進行闡釋，如果變量之間不存在協整關系則無法使用上述模型進行檢驗，接下來對這種情況進一步研究。假設X和Y都屬于單整變量但不均有協整關系，當單整階數相同時本文通過構建差分模型進行檢驗：

需要對以下差分形式進行因果關系檢驗：

當上述差分檢驗公式成立時，變量X和Y不存在Granger因果關系，反之如果上述差分公式不成立則變量X和Y之間存在Granger因果關系。即可以通過檢驗差分形式ΔX和ΔY來確定變量X和Y的因果關系。

如果變量X和Y的單整階數不同時，本文構建的檢驗模型如下：

當上述模型滿足如下條件時可以進行因果關系檢驗：

把上述條件帶入檢驗模型可得：

通過這種方法可以解決高階單整變量且變量之間階數不同時的協整關系，因此本文推介的Granger因果檢驗方法對高階（同階和不同階）的單整變量有很強的普適性。

上述模型等價于以下d1-d2差分模型：

至此，本文把變量之間不存在協整關系的兩種情況同階單整變量和不同階單證變量的Granger因果關系檢驗方法進行闡釋。模型階數的確定是因果關系進行檢驗的前提，所以要想對變量之間的因果關系進行檢驗需要首先選擇變量的階數。本文可以使用滯后參數值來確定模型階數，當參數值最大時就是我們所要尋找的合理階數，最大滯后值的求解方法是似然比，其公式表達形式為：

其中m表示需要估計的參數的個數，| Ω |表示待估計因果關系的矩陣行列式。在檢驗的過程中要保證模型中的誤差項為隨機擾動項，即變量不能存在自相關現象。這里使用多元LM自相關檢驗來確定是否存在自相關，對于n階變量在顯著性水平α下，當LM＞χ2(k2)時表示變量存在自相關性，如果LM＜χ2(k2)則表示變量不存在自相關，可以使用本文推介的方法進行檢驗。

4 結束語

針對傳統Granger因果檢驗方法無法對互為因果的關系做出準確判斷這一局限性，為了對高階單整變量之間的Granger因果關系進行科學準確地判斷，本文推介一種用于檢驗高階單整變量因果關系的研究方法。文章首先對基于均方誤差的最小化的傳統Granger因果檢驗的基本思路進行數理推導，并指出該方法存在的檢驗劣勢，即使用這種方法進行Granger因果關系檢驗要求所有檢驗的變量必須是平穩的或者是趨勢平穩，如果出現不平穩現象則無法檢驗。但是現實生活中往往出現變量的單整現象，此時傳統檢驗方法失效，在出現高階單整時可以對傳統檢驗模型進行拓展，從而更好地進行因果關系檢驗，從同階變量和不同階變量兩個方面進行拓展研究。拓展研究對具有協整關系的變量之間的Granger因果關系檢驗方法進行闡釋，但是如果變量之間不存在協整關系則無法使用上述拓展模型進行檢驗，接下來本文對不存在協整關系的變量之間的因果關系檢驗進行進一步研究。本文推介的高階單整變量因果關系的檢驗方法具有普適應，可以推廣到相關產業領域的實證檢驗。

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