淺談高中數學立體幾何高考試題分析與教學研究

羅雍民

【摘要】 立體幾何知識在高中數學知識體系中占有十分重要的地位，站在歷年高考的角度上，對與立體幾何相關的高考試題進行有效的整合與梳理，對其中隱含的思維方式與數學思想進行深入的剖析，幫助學生構建完善的立體幾何知識體系，使學生的學習能力與解題水平得到進一步的提升。本文主要圍繞“高中數學立體幾何高考試題分析與教學”這一課題展開研究。

【關鍵詞】 高中數學 立體幾何 高考試題 教學研究

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2018）03-157-01

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一、高中數學立體幾何高考試題分析

（一）通過立體幾何三視圖，考查學生的空間思維能力

以立體幾何三視圖為基礎的題型主要考查學生的空間思維能力，常見題型有通過三視圖來求幾何體的體積、表面積、還原幾何體等。

試題分析：我們通過對下圖所示的表面積進行觀察與分析能夠發現，此幾何體是一個被切掉體積的球體剩余的部分，這個時候就不難求出其表面積了。

（二）通過“接”“切”問題，考查學生綜合運用能力

“接”“切”問題是高考中較為常見的考核內容，并且以球體的考核概率最大。通過分析球體的“接”“切”問題，能夠有效的鍛煉學生對知識的綜合運用能力。

例2（2017年數學高考天津卷試題）一個正方體所有的頂點都在一個球的球面上，假如這個正方體的表面積是18，請問這個球的體積是多少。

試題分析：正方形所有的頂點都在一個球的球面上，因此解題的重要思路在于如何畫出該組合立體幾何的圖形，并且通過相關的條件得出問題的答案。

例3（2012年數學高考全國卷試題）一個三棱錐S-ABC所有頂點都在球體O的表面上，已知ΔABC是一個正三角形，且其邊長為1，SC是球體O的直徑，并且SC=2，那么該棱錐的體積是多少？

試題分析：三棱錐內接于球體之中，因此解題的重要思路在于如何畫出該組合立體幾何的圖形，并且通過相關的條件得出問題的答案。

（三）重視知識基礎，分析文理科試題的差異

高考的立體幾何考核過程中，對向量法與傳統的綜合法進行統一考核，錐體、主體等集合體在高考試卷中較為常見，通常運用性質與判定定理來證明線面、線線、面面是否垂直。并且文理科的試題具備一定的差異，文科主要求解幾何體的體積與表面積；理科主要運用向量法來求二面角、線面角等問題。

（1）證明：PD與平面PAB相垂直。

（2）求平面PCD與直線PB所成角的正弦值。

試題分析：這道題的第（2）小問、第（3）小問都應當運用向量法來進行解題，這樣能夠有效的降低題目的難度，使題目更加容易。第（2）小問將平面與直夾角的正弦值轉化為直線和這一平面法向量夾角的正弦值；第（3）小問所考慮的是立體幾何存在性問題，在進行該問題的解決過程中，應當先對需要進行探索的對象進行假設，并且根據所假設的題目來進行推理，如果在推理的過程中產生矛盾，那么就說明并不存在，如果推理的過程并沒有出現矛盾，那么就說明假設的條件一定存在。通過這兩小問的分析，能夠有效地鍛煉學生的數學推理能力與數學運算能力。

（四）重視數學文化，關注試題的創新

例5（2015年數學高考全國卷試題）屋子墻角中堆放著一堆米，米堆底面弧度有八尺長，米堆的高度有五尺長，請問這個米堆的體積是多少，有多少米？古代一斛米的體積大約為1.62立方尺，圓周率大約為3，請算出大概有多少米。

A.66斛 B.22斛 C.14斛 D.36斛

（五）重視高考試題對自立體幾何概念的考查

例6（2016年數學高考全國卷試題）如圖7在以A，B，C，D，E，F為頂點的五面體之中，面ABEF是正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，并且二面角D-AF-E和二面角C-BE-F都是60°。

（1）證明：平面ABEF平面EFDC；

（2）求出二面角E-BC-A的余弦值。

試題解析：這道題重點是要考查二面角的含義，而這正是教師在平時教學過程中的盲點所在，因此應當對這部分內容予以高度的重視。

二、高中數學立體幾何知識教學研究

（一）注重分析三視圖，提升學生空間觀念

三視圖能夠更加直觀的反映一個幾何體的全貌，因此，結合三視圖進行直觀圖的還原一直以來都是高考試題中的重點內容。因此，教師必須教會學生如何正確的分析三視圖，應當對三視圖的形成原理進行深入的理解，并且可以通過借助長方體來進行觀察。在仔細的觀察與分析的過程中，能夠確定出幾何體的關鍵點與關鍵的楞，并且進行有效的空間聯想，從而得出幾何體的真實面貌，并且與三視圖進行有效的對比，這樣才能保證幾何體直觀圖的準確性。

（二）結合試題特征，攻克“垂直”的關鍵點

立體幾何知識中的垂直問題，主要包含線面、線線、面面的處置，線線垂直是其中較為基礎的內容，將空間特點表現的最為明顯的是線面垂直，因此從高考角度進行分析的話，垂直問題是高考試卷中的重要內容，是解題的關鍵點所在。因此，教師應當幫助學生真正弄懂立體幾何中有關于垂直方面的內容。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]杜瑞姣.高中立體幾何高考試題分析及教學對策研究[D].洛陽師范學院，2017.

[2]欒麗娜.高中數學立體幾何高考試題分析與教學策略研究[D].河南大學，2017.

[3]陳晨.高中數學解析幾何高考試題分析與教學策略研究[J].新課程（中學），2016.