高中物理解題中融入數(shù)學知識的分析

魏子昂

(辛集市第一中學 河北 石家莊 052360)

數(shù)學與物理是密不可分的，物理解題隨處可見數(shù)值計算、函數(shù)、幾何、圖像、極值法等數(shù)學知識.在解題環(huán)節(jié)巧妙利用數(shù)學知識剖析物理問題，能夠獲取意想不到的效果.

1 三角函數(shù)

三角函數(shù)配角法求極值是數(shù)學中最為常見的解題思想，簡單的說是指將三角函數(shù)中原本的自變量，采取配角的方式整合繪制成兩角和的正弦或余弦，從而有效求解問題的答案.同時，考慮到函數(shù)自身的特殊性可能會使極值點的求解變得更為復雜，我們需要事先認真審題[1].

【例1】如圖1所示，一輛有四分之一圓弧的小車停在不光滑的水平地面上，質量為m的小球從靜止開始由車的頂端無摩擦滑下，且小車始終保持靜止狀態(tài)，地面對小車的靜摩擦力最大值是( )

圖1 例1題圖

分析：因為小球只有重力做功，故小球機械能守恒，由機械能守恒可求得任一位置時的速度，由向心力公式可求得小球受到的支持力； 對小車受力分析可求得靜摩擦力的最大值.

解答：設圓弧半徑為R，當小球運動到重力與半徑夾角為θ時，速度為v． 根據機械能守恒定律和牛頓第二定律有

解得小球對小車的壓力為N=3mgcosθ

其水平分量為

根據平衡條件，地面對小車的靜摩擦力水平向右，大小為

點評：本題中需要分別對小球和小車進行分析，找出兩者間的關系； 本題的難點在于對極值的分析，需要根據題意建立摩擦力的表達式，再由數(shù)學知識求出極值.

2 相似三角形

主要是指利用力的三角形與邊三角形相似，根據相似三角形對應邊成比例求解未知量.需要注意的是，在解答力的合成問題時，我們需要事先明確合力與分力的關系，依據物理問題條件作出準確判斷，不要局限一種解題思想[2].

【例2】兩根等長的輕繩，下端O點懸掛質量為m的物體．上端分別固定在水平天花板上的A，B兩點，如圖2所示，A，B兩點間的距離為s，已知兩繩所能承受的拉力均為T，求每根繩的最短長度( )

圖2 例2題圖

以物體為研究對象，分析受力情況：重力和兩根繩子的拉力，根據平衡條件可知，兩根繩子拉力的合力一定，當繩子的夾角越大時，繩子的拉力越大，當繩子的拉力達到最大時，繩子的夾角最大，而AB兩點間距離一定，則繩子的長度最短．根據平衡條件求出兩繩間最大的夾角，再由幾何知識求解繩的最短長度.

解析：當繩子的拉力達到最大時，兩繩的長度最短．設兩繩的夾角為2α．以物體為研究對象，分析受力情況，作出受力圖.根據平衡條件得到

根據幾何知識得繩的最短長度

3 微元法

微元法，簡單的說是指將研究對象劃分為若干個微小部分，選取具備代表性的核心部分進行處理，再從局部入手擴展到整體的解題思想.在利用微元法解決物理問題時，我們需要事先選取微元，確定研究對象，綜合分析物理條件，科學選定數(shù)學工具，從而高效解答問題[3].

【例3】從地面上以初速度v0豎直上拋一質量為m的小球，若運動過程中受到的空氣阻力與其速率成正比，小球運動的速率隨時間變化的規(guī)律如圖3所示，t1時刻到達最高點，再落回地面，落地速率為v1，且落地前小球已經做勻速運動，則下列說法正確的是( )

圖3 例3題圖

A.小球加速度在上升過程中逐漸減小，在下降過程也逐漸減小

C. 小球被拋出時的加速度值最大，到達最高點的加速度值最小

解析：由圖像得到小球上升過程和下降過程的運動規(guī)律，然后進行受力分析，再根據牛頓第二定律進行分析.

解析選項A和C，上升過程，受重力和阻力，合力向下，根據牛頓第二定律

f+mg=ma

解得

由于是減速上升，阻力逐漸減小，故加速度不斷減小； 下降過程，受重力和阻力，根據牛頓第二定律

mg-f=ma

解得

由于速度變大，阻力變大，故加速度變小； 即上升和下降過程，加速度一直在減小； 故A正確，C錯誤；

解析選項B，空氣阻力與其速率成正比，最終以v1勻速下降，有

mg=kv1

小球拋出瞬間，有mg+kv0=ma0

聯(lián)立解得

故B正確；

點評：關于速度-時間圖像，重點要掌握速度-時間圖像斜率表示加速度，面積表示位移，會用極限的思想求解位移．

4 圖像法

【例4】如圖4所示，一傾角為θ的固定斜面上，有一塊可繞其下端轉動的擋板P，在擋板與斜面間夾有一個重為G的光滑球.試求當擋板P由圖示的豎直位置逆時針轉到水平位置的過程中球對擋板壓力的最小值.

圖4 例4題圖

解析: 這類問題用圖解法比較直觀、簡單.球的重力產生了兩個作用效果：

(1)使球垂直壓緊擋板的力F1；

(2)使球垂直壓緊斜面的力F2.

如圖5所示,畫出擋板在不同位置時重力分解的平行四邊形.在這所有的平行四邊形中重力G的大小、方向都不變，分力F2的方向不變(總與斜面垂直)，分力F1的大小和方向都發(fā)生變化，由于受到F1，F(xiàn)2與G構成平行四邊形的這一條件的限制，表示不同情況下分力F1的線段末端總應該落在圖中的AC上，這些線中最短的就表示分力F1對應的最小值.由圖可見，這些線段最短的是OD(OD⊥AC)，且OD=OCsinθ，即分力F1的最小值FOD=Gsinθ，這個值也就等于球對擋板壓力的最小值.

圖5 擋板在不同位置時重力分解的平行四邊形

5 結束語

綜上所述，在解答物理問題時采取融合數(shù)學思想的方式，降低問題難度，使我們在掌握更多解題技巧的同時，不斷提升解題能力.