正弦交流電有效值的簡單推證

石 瑩

(積石山縣積石中學 甘肅 臨夏 731700)

交流的有效值是根據電流的熱效應規定的.讓交流和直流通過相同阻值的電阻，如果它們在相同的時間內產生的熱量相等，就把這一直流的數值叫作這一交流的有效值.課本中就是這樣給出交流有效值的概念后直接引入了正弦交變電流有效值的公式

但對公式沒有進行推導.雖然教參上用高等數學知識給出了詳細推證，但中學生很難接受，本文便用適合于中學生的初等數學方法進行推導，幫助學生搞清公式的來龍去脈，對學生徹底地理解有效值的含義是十分有益的.下面將介紹兩種簡單推導方法，供讀者參考.

1 初等理論推導法

那么I就是交變電流的有效值，則有

(1)

設交變電流i=Imsinωt在周期T內的瞬時功率為P,則

而

(2)

由式(2)可知：交變電流的瞬時功率等于兩項的和，第一項是不隨時間變化的常量，第二項是按余弦規律變化的變量，第一項的平均值就是它本身，而第二項是一個余弦量，有時為正，有時為負，在一個周期內的平均值等于零.因此交變電流在一個周期內的平均功率是

(3)

將式(3)代入式(1)，得

再結合歐姆定律，就可以得到

2 圖像面積割補法

當交變電壓u=Umsinωt對電阻R供電時，通過電阻R的電流為

該交流電壓做功的瞬時功率為

而

(4)

根據式(4)可畫出瞬時功率P與時間t的關系圖線如圖1所示.

圖1 瞬時功率P與時間t的關系曲線

因為電功W=Pt,所以交變電流i在一個周期內對R所做的功為P-t圖線中曲線與t軸所圍的面積

當直流電壓U對電阻R供電時，在一個周期內對R所做的功為

則有

即得

再結合歐姆定律，就可以得到

上述兩種推導方法簡單明了，幫助學生搞清了正弦交變電流有效值與最大值關系式的來源，進一步深化了有效值概念的理解.