兩條幾何規律在圓邊界磁場中的應用

柯 堯

(九江市第一中學 江西 九江 332000

帶電粒子在磁場中的運動是高考物理的重要考點，以考查粒子在有界磁場中的運動為主，它有效地考查了學生利用幾何知識處理物理問題的能力．磁場邊界類型主要包括直線邊界、矩形邊界、圓邊界、拋物線邊界等，每種邊界都有相應的規律，這些規律是解決問題的前提，甚至是突破口．圓邊界磁場，由于對稱性，更有特殊規律可尋．

規律1：同一平面內，兩相交圓關于連心線對稱．

圖1 例1題圖

解析：粒子在有界磁場中運動，解題思路可總結為簡單的9個字“畫軌跡、定圓心、求半徑”．本題作為該卷物理部分的壓軸題，難度較大，其原因是考生在作出軌跡圓后找不到合適的幾何關系求半徑．對于這類圓邊界問題，如果能夠利用規律“同一平面內，兩相交圓關于連心線對稱”來求解，將會十分簡便，甚至不必作出粒子的運動軌跡．

如圖2所示，過圓邊界的圓心作出入射方向的平行線與邊界交于e和f，過入射點a作入射方向的垂線段ga，且g為軌跡圓圓心，ga交線段ef于c點．

圖2 作輔助線

由題意知，出射方向與入射方向垂直，磁偏角為90°，根據對稱性有：∠Oga=45°,在Rt△Oca中

在Rt△gOc中

gc=Occot45°

因此軌跡半徑

其他解答略．

點評：此解法利用了一個很基本的幾何規律，避免了畫軌跡和找復雜的幾何關系．利用上面的幾何規律可進一步得到結論：帶電粒子射入圓磁場時，入射點處的軌跡半徑所在直線與對稱軸的交點為軌跡圓圓心，且夾角總等于粒子飛出磁場過程中磁偏角的一半．這條物理規律可以處理粒子從圓上某點沿任何方向入射的大部分問題．

如圖3所示，正粒子從P點射入垂直紙面向外的勻強磁場，P點到與入射方向平行的直徑距離為d，粒子射出磁場時偏轉角為θ． 由上面物理規律不難求得粒子軌跡半徑為

圖3 舉例

此方法極大地簡化了相關題的求解，甚至解題時直接利用公式即可，比如公式可以直接解答2013年全國新課標Ⅰ卷選擇題第18題．上面結論的特殊情況為d=0，入射點軌跡半徑所在直線與邊界圓相切，由對稱性知粒子出射點軌跡半徑所在直線亦與邊界圓相切，即粒子對著圓心入射，出射方向必過圓心，如2013年全國新課標Ⅱ卷選擇題第17題可用此規律．

規律2：同一平面內，半徑相等的兩相交圓的交點與兩圓圓心構成菱形．

【例2】(2009年高考浙江卷第25題)如圖4所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．在xOy平面內與y軸平行的勻強電場，在半徑為R的圓內還有與xOy平面垂直的勻強磁場．在圓的左邊放置一帶電微粒發射裝置，它沿x軸正方向發射出一束具有相同質量m，電荷量q(q>0)和初速度v的帶電微粒．發射時，這束帶電微粒分布在0

(1)從A點射出的帶電微粒平行于x軸從C點進入有磁場區域，并從坐標原點O沿y軸負方向離開，求電場強度和磁感應強度的大小與方向．

(2)請指出這束帶電微粒與x軸相交的區域，并說明理由．

圖4 例2題圖

解析：第(1)問解答略．

第(2)問，由上問知：mg=qE，軌跡半徑r=R，根據幾何規律“同一平面內，半徑相等的兩相交圓的交點及兩圓圓心構成菱形”，可從邊界入射點中任取一點P進行分析說明，如圖5所示.設Q為出射點,O1，O2分別為磁場邊界圓和軌跡圓圓心，順次連接4點，顯然四邊形四邊相等，知四邊形PQO1O2為菱形，PO2∥O1Q，由于入射方向水平，PO2必為豎直方向，O1Q也為豎直方向，且長度為R，Q必與坐標原點O重合,P為任意點，所以這束帶電微粒均與x軸交于原點O．

圖5 第(2)問的分析用圖

點評：粒子軌跡半徑與圓邊界半徑相等是粒子在圓邊界磁場中運動的重要特征條件，相關問題都可通過作菱形求解．利用特殊的4點構成菱形可以得到結論：大量軌跡半徑等于磁場邊界半徑的粒子若平行入射至圓形磁場區，出射時必匯聚于邊界的某一點(磁聚焦)；若從圓邊界上某點沿邊界平面向圓內任意方向發射，必平行出射．

對于幾乎所有的帶電粒子在從圓邊界入、出射的問題，都可嘗試用本文的規律，半徑相等就采用第二條規律，其他問題基本上利用第一條規律都可以得到解決．從上面兩道高考壓軸題可看出，一些需要利用復雜幾何關系或者其他數學方法才能求解的粒子運動問題，如果能結合恰當的規律，將會使題目求解變得簡單明了．作為物理教師，有必要去總結和發現這樣的有利于解題的規律．