巧借數學工具 妙解物理極值

何紀達

(浙江省春暉中學 浙江 上虞 312300)

在大量的物理情景中，物理量之間總是存在相互聯系，一些物理量會隨著另一些物理量的變化而變化，或不斷增加，或不斷減小，或先增加后減小或先減小后增加等等．在一定范圍內，這些物理量都存在著極大值或極小值，這就是所謂的“極值問題”．

極值問題往往綜合性較強，能力要求較高．要有效解決這類問題，需要學生具備較高的思維水平、推理能力以及應用數學知識處理問題的能力．因此，極值問題也往往成為每年高考中的一類常考題型[1]．

下面，筆者通過實例，闡述如何靈活借助數學工具，巧妙解決高中物理中的極值問題．

1 借助數學圖像求極值

圖像具有直觀、可視性強等特征，巧妙地借助數學圖像能更好地幫助學生理解物理過程，得出物理規律和解決物理極值問題．比如，在某個物理過程中，速度隨時間先增大后減小或先減小后增大時，通過作“v-t”圖像就能直觀地得出結論．圖像最高點表示速度最大，此時圖像斜率為零，即加速度a=0．

【例1】如圖1所示，用絕緣細線豎直懸掛一質量為m帶正電小球，其帶電荷量為q，小球處于方向水平向右，場強為E的勻強電場中．現把小球由靜止釋放，問小球在電場力作用下偏離豎直方向的角度θ為多大時，小球的動能最大，最大動能為多少？

圖1 例1題圖

解析：在如圖1受力分析的基礎上，結合牛頓第二定律，可得小球在沿切線方向有

Eqcosθ-mgsinθ=ma

隨著角度θ增大，小球沿切線方向先做加速度不斷減小的加速運動，再做加速度不斷增大的減速運動，運動圖像如圖2所示．

圖2 v-t圖像

從圖像可以直觀地得出，在最高點時，速度達最大(即動能最大)．此時，圖像斜率為零，加速度a=0時

Eqcosθ=mgsinθ

Ekmax=EqLsinθ-mgL(1-cosθ)

在動力學分析的基礎上，巧妙結合數學圖像確定物理量的極值，能起到事半功倍的效果．

2 借助矢量圖示求極值

所謂矢量圖解法就是通過作矢量圖來分析或求解某個物理量的大小及變化趨勢的一種解題方法．通過作矢量圖來揭示物理過程、物理規律，具有直觀形象、簡潔明了等優點．它特別適合處理物體受3個力作用而處于動態平衡的問題，既容易定性判斷和分析，也可作定量計算．

【例2】如圖3所示，用OA與OB兩根輕繩將物體懸于兩豎直墻之間，開始時OB繩水平．現保持O點位置不變，改變OB繩長使繩端由B點緩慢上移至B′點，此時OB′與OA之間的夾角θ<90°．求此過程中θ為多少時OB繩的拉力最小？拉力的最小值為多少？

圖3 例2題圖

解析：選結點O為研究對象，其受到FA，FB和mg3個力的作用而平衡．此3個力構成一個封閉的動態三角形，如圖4所示．由矢量圖容易看出，FB先減小后增大，當FA⊥FB時，FB取到最小值，最小值為mgsinα．

圖4 受力分析

通過矢量圖的分析，可以避開較繁瑣的數學運算，能更為直觀、便捷地得出物理量的變化情況，從而快速確定極值．

3 借助三角函數求極值

高中生對三角函數的知識并不陌生，已經基本具備借助三角函數解決物理極值問題的能力．當物理量隨角度變化時，通過物理分析，得出其與三角函數之間的關系．結合三角函數的取值范圍，就能確定物理量的極值．

【例3】有兩根光滑的絕緣桿，可在同一豎直平面內繞O點轉動，兩桿上各穿著一個質量為m，電荷量為q的小球．兩桿與水平面的夾角都等于θ時，兩球在同一水平面上處于靜止狀態．如圖5所示，現使兩桿同時繞O點在紙面內緩慢轉動，此時小球在桿上的位置隨之改變．問θ取何值時，小球到O點的距離L為最小？L的最小值為多少？

圖5 例3題圖

解析：取其中一個小球為研究對象，通過受力分析，容易得到

整理可得

利用sin2θ=2sinθcosθ，即得

隨著角度的變化，兩球間距離、庫侖力及兩球相對桿的位置都會發生動態變化，物理過程復雜，難以直接從物理視角得出極值．然而，所有量的變化都是由角度的變化引起的，當確定了L與θ的關系，結合三角函數知識，便能快速得出極值．

4 借助一元二次函數求極值

【例4】如圖6所示為某種彈射小球的裝置．每次彈射前，推動小球將彈簧壓縮到同一位置后釋放，已知彎管BC半徑R=0.40 m，小球質量m=0.1 kg．當調節豎直細管AB的長度L至L0=0.80 m時，發現小球恰好能過管口C端．問：L取多大時，小球飛出后水平位移最大？ ( 不計小球機械能損失，

g=10 m/s2)．

圖6 例4題圖

解析：根據題意可得彈簧每次對小球做功W=mg(L0+R)．設AB長為L，由動能定理得

當L=0.2 m時，水平位移最大，最大值為1.2 m．

這類極值問題往往能同時考查學生對圓周運動、平拋運動及動能定理等多個知識點的掌握情況．因此，更受出題者的青睞．

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5 借助均值不等式求極值

數學中，均值不等式的一般形式為

當滿足不同的條件時，可分別取到極大值或極小值．

5.1 積定和最小

當滿足a1a2a3…an=C1(C1為定值)時，a1+a2+a3+…+an存在極小值，當且僅當a1=a2=a3=…=an時，取到極小值．這種情況可總結為“積定和最小”．

(1)求此人落到坡面時的動能；

(2)此人水平跳出的速度為多大時，他落在坡面時的動能最小？動能的最小值為多少？

圖7 例5題圖

解析：(1)此人飛出后做平拋運動，設經過時間t落到坡面上，落點坐標為(x,y)．

其中

將x，y代入坡面方程可解得

從拋出到落地的過程運用動能定理

即得人落到坡面時的動能

(2)將Ek變形后可得

5.2 和定積最大

當滿足a1+a2+a3+…+an=C2(C2為定值)時，a1a2a3…an存在極大值，當且僅當a1=a2=a3=…=an時，取到極大值．這種情況可總結為“和定積最大”．

【例6】如圖8所示，質量為m的小球用細線懸掛于O點，細線長為L，現將細線拉至水平位置，使小球從A點由靜止擺下，求輕繩與水平方向夾角為多少時重力的功率最大，最大功率為多少？(小球可視為質點)

圖8 例6題圖

解析：設經過一段時間后，輕繩與水平方向的夾角為θ，小球速度為v．如圖9所示.

圖9 過程分析

根據動能定理

(1)

重力的功率為

P=mgvcosθ

(2)

由式(1)、(2)可得

另外，在大學物理或高等數學中，借助導函數等于零[f′(x)=0]求極值也是一種常用的方法．但根據《普通高中物理課程標準》[2]，這不屬于高中的教學要求．所以，關于這種方法在文中不作討論．

綜上所述，解決物理極值問題，既不能脫離物理，將問題徹底數學化，使物理問題淪為純粹的數學習題．同時，也不能因為害怕把物理問題數學化，而刻意排斥和回避數學知識在解決物理問題時所起的作用．在物理分析的基礎上，合理地借助相關數學知識，才是解決物理極值問題時的最好選擇．只有巧借數學知識，才能妙解物理極值．

本文所述幾種借助數學知識巧解物理極值問題的方法，僅僅是筆者在有限的教學經歷基礎上，所作的淺顯總結，并不涵蓋所有的方法．筆者希望借此“拋磚引玉”，激發廣大讀者對這類問題的更深入探討．

參 考 文 獻

1 侯紅彬,范曉波.保持物理本色 原味求解極值.物理教師,2017(3):87～89

2 中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標準(實驗).北京:人民教育出版社,2014