盛水玻璃杯共振頻率的研究*

戴詩琪 林美妤 鄧 欣 黃 敏

(四川省成都市新都一中銘章學院 四川 成都 610500)

趙蕓赫

(北京師范大學物理學系 北京 100875)

酒杯一部分盛滿液體，暴露于揚聲器的聲音下會產生共振．這個問題來源于2017年IYPT(國際青年物理學家錦標賽)的賽題，也是中學物理中用來演示共振的經典現象．而對于其共振頻率的定量求解與實驗驗證卻寥寥無幾，因此，本文針對圓柱形玻璃杯容器及其盛水時的共振情況進行了模型建構，得到了空杯共振頻率的定量表達式并用實驗驗證了理論的正確性．

對于A.P.French在文獻[1]中給出的半滿玻璃杯的公式，本文進行了空杯極限和滿杯極限的解析分析，發現在盛水量較少時其頻率與空杯頻率接近，盛水量較多時其頻率隨著加水體積的增大而線性減小；對于同一玻璃杯，內盛液體密度越大，其共振頻率越小．這些結論在本文的實驗中也得到了驗證．

1 模型建立

1.1 圓柱形玻璃杯振動模型

為簡化問題，考慮一個密度為ρ圓柱形玻璃杯在平衡位置模式數為n=2的低階振動．取半徑為R，厚度為τ，高度為w的一段柱元，則圓柱上一段微元dm=ρ2πRτw的振動方程為

(1)

κ為微元的勁度系數，而根據文獻[1～3]，我們知道如圖1所示的環形圈在形變時的勁度系數為

(2)

圖1 環形圈示意圖

其中，α≈0.56，Y是圓柱的楊氏模量．則振動方程可化為

(3)

則r=r0cos(ωt+φ)，即圓柱橫截面做簡諧振動．易得

(4)

1.2 圓柱形盛水玻璃杯振動模型

根據A.P.French在文獻[1]中給出的半滿玻璃杯的公式

(5)

(6)

(7)

1.2.1 特殊情形討論

(8)

因此式(5)可化為

(10)

上式表明，當空腔體積較小，即水較滿時，發聲頻率是隨著空腔體積的增大而線性增大的，或者隨著水的增加而線性減小的．

2 實驗驗證

為了驗證上述理論的正確性，本研究利用柱形玻璃杯和高腳杯等玻璃杯進行了盛水時和未盛水時兩種情形下的共振實驗．實驗中采用的6個玻璃杯的參數如表1所示.

表1 玻璃杯相關參數

其中1,2,6號杯形狀可以近似為一圓柱，3號杯為一香檳杯底端拐角部分較短上部可視為一圓柱面,4,5號杯為高腳紅酒包絡面類似一拋物面．

實驗中我們通過敲擊玻璃杯壁讓其自由振動并用拾音器收集音頻數據，接著用FFT(傅立葉變換)聲音數據變換到頻域空間找到主頻，最終在Matlab中繪圖對比理論和實驗結果,例如經過FFT變換得到的其中一個頻譜如圖2所示.

圖2 4號杯空杯發聲頻譜圖

由圖2可以看出，玻璃杯的頻譜具有明顯的共振頻譜特征，在4號杯不加水時可以得到其共振頻率為1 758 Hz．對于其他實驗用玻璃杯在加水不同情況下得到的數據均按照該方法分析，故不在此一一列出．

2.1 空杯共振實驗

實驗采用了6種不同型號的玻璃杯，當玻璃杯內未盛水時，敲擊玻璃杯壁，收集音頻，通過數據處理找到共振頻率，并繪制空杯共振頻率實驗與理論符合結果，如圖3所示．

從圖3中可以看出，實驗與理論基本吻合，其中，編號為1，2，6的玻璃杯為圓柱形玻璃杯或接近圓柱形玻璃杯，編號為3，4，5的玻璃杯為高腳杯，可以看到，1，2，6號空杯共振頻率的理論預測值與實驗測定值符合很好，3，4，5號空杯共振頻率的理論預測值與實驗測定值之間有一定偏差，但誤差較小，說明該理論可以很好地解釋圓柱形玻璃杯的共振現象，對于非圓柱形玻璃杯，如高腳杯狀的玻璃杯的共振現象，也可從半定量角度予以解釋，定量結果誤差較小，驗證了理論的可行性．

圖3 6種玻璃杯未盛水時共振頻率理論與實驗符合結果

2.2 盛水玻璃杯的共振實驗

接著利用這6種玻璃杯繼續探究了共振頻率與水位高低之間的關系，特別地，對于圓柱形玻璃杯，液體高度與玻璃杯高度之比和液體體積與玻璃杯體積之比相等．實驗中水位高低是通過量筒控制加入水體積來實現的，6只玻璃杯的實驗結果如圖4所示．

圖4 不同玻璃杯共振頻率與水位高低的關系

由圖4可以看出，在加水體積達到一定值后，其發聲頻率與空腔體積近似成一線性關系；在加水體積達到一定值前，其發聲頻率趨于一定值；同時，圖像的斜率符合上述理論分析，即當加入少量水的時候，杯子的發聲頻率與空杯大體一致；當水較滿時，發聲頻率是隨著水的增加而線性減小的．

其中4號杯、5號杯為同一批次同款玻璃杯，從圖中可以看出頻率隨著加水量變化的曲線幾乎重合，除了4號杯有3個點的頻率在加水體積150 ml附近處突然增高，可以認為這是由于該玻璃杯在那一水位附近的厚度出現了較大變化所致，故在后文中的理論實驗對比部分，我們采用5號杯的數據．

各玻璃杯加水頻率的實驗結果與理論模擬結果相匹配的結果如圖5所示．

圖5 不同玻璃杯共振頻率與水位高低關系的理論與實驗比對圖

由圖5可以看出，對于1,2,6號杯而言，由于其外形可視為圓柱，故盛不同水量時的共振頻率的實驗測定值與理論值符合很好，而5號高腳杯的相應實驗結果在水量多時與理論有一定偏差，在水量較少時與理論符合較好，幾乎等于空杯頻率．而3號香檳杯的曲線雖然底部有一定拐角，但是拐角范圍很小，而這一范圍內加水頻率幾乎為空杯頻率，隨著水量的增加，其形狀可以視為圓柱，故實驗結果與理論也符合很好．

2.3 盛不同密度溶液的玻璃杯的共振實驗

利用3號杯盛不同密度液體進行玻璃杯的共振實驗，其中不同密度的溶液是利用氯化鈉配置的密度分別為1.1 g/cm3，1.2 g/cm3，1.3 g/cm3的溶液．實驗結果如圖6所示．盛有不同密度溶液的玻璃杯的共振頻率隨空腔體積變化的規律與理論預測曲線相符，對于同一玻璃杯，內盛溶液密度越大，其共振頻率越小，與式(5)預測的趨勢相符．

圖6 盛有不同密度的氯化鈉溶液的玻璃杯的

共振頻率隨空腔體積的變化曲線通過上述實驗我們發現，本研究的理論可以較好地計算空玻璃杯的固有頻率．對于盛水的圓柱形玻璃杯的頻率，A.P.French在文獻[1]中給出的公式可以較好地描述；對于非圓柱形玻璃杯，這一公式在水量較多時誤差較大．

除此之外，由于不同的玻璃杯的自身參數不同，即會影響其固有頻率，進而導致共振頻率不同，會造成一定的實驗誤差．

3 結論

本文分別從理論和實驗兩個角度對玻璃杯共振現象進行了問題求解，給出了圓柱形玻璃杯未盛水時及盛水時模式數為2 的振動情形下的共振頻率的定量表達式，并得到如下結論：

(1)未盛水的圓柱形玻璃杯的共振頻率正比于圓柱的壁厚度；

(2)未盛水的圓柱形玻璃杯的共振頻率反比于圓柱的橫截面積；

(3)當加入少量水的時候，杯子的發聲頻率與空杯大體一致；

(4)當空腔體積較小，即水較滿時，發聲頻率隨著空腔體積的增大而線性增大的，或者隨著水的增加而線性減小．

最后對6種不同型號的玻璃杯在不同情形下(如注水體積等)進行了共振頻率的測定，然后利用同一玻璃杯盛不同密度的氯化鈉溶液進行了玻璃杯的共振實驗．其中玻璃杯的共振頻率隨空腔體積變化的規律與理論預測曲線相符，對于同一玻璃杯，內盛溶液密度越大，其共振頻率越小，與理論預測趨勢相符，即通過定量實驗驗證了理論的正確性．

參 考 文 獻

1 A.P French.In Vino Veritas-A study of wineglass acoustics.Am.J.Phys,1983,51(8)

2 Eunjin Yang,Ho-Young Kim.Jumping hoops.American Journal of Physics,2012, 80: 1

3 A.E.H.Love,M.A.D.Sc.A treatise on the mathema-tical theory of elasticity.Second Edition.The University Press,1906.267～268

4 馬宇翰,馬欣然,李融武,等. 彈性箍彈起最大高度的研究.大學物理,2015(01):57～61