小球離開墻面問題探析

魏明遜

(昆明第三中學(xué) 云南 昆明 650500)

劉春生 杜雷鳴

(云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 云南 昆明 650500)

1 提出問題

D．桿與小球A和B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

圖1 題圖

根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒得

由于桿不可伸縮，故兩球沿桿子方向上的速度相等，則有

vAcos60°=vBcos30°

聯(lián)立兩式解得

對A球應(yīng)用動(dòng)能定理

得

故C,D正確．

2 解決問題

解法一：利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，得到離開墻面的條件就是A，B小球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心向右的加速度為零．建立如圖2所示的坐標(biāo)系，C為系統(tǒng)的質(zhì)心．

圖2 建立坐標(biāo)系

對上式進(jìn)行時(shí)間求導(dǎo)，當(dāng)水平速度為最大值時(shí)，小球脫離墻面．

ω為相對于A球的角速度即剛體的角速度，由于剛體相對自身任何一點(diǎn)的角速度都相等，因此ω也是A，B球相對系統(tǒng)質(zhì)心的角速度．

根據(jù)機(jī)械能守恒

(1)

質(zhì)心的位矢為

將上式中的rC對時(shí)間求導(dǎo)．可得質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的速度為

把質(zhì)心的速度分別向x軸和y軸投影，得

vA=2vCyvB=2vCx

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

如果脫離，vCx存在極值即

可解得

解法二：根據(jù)機(jī)械能守恒

(4)

A，B小球沿杠方向投影的速度相等即

vAcosθ=vBsinθ

(5)

代入式(4)可得

(6)

令

y2=cos2θ(1-cosθ)

y2=cosθcosθ(1-cosθ)=

利用均值不等式

求解極值

cosθcosθ(2-2cosθ)≤

(7)

(8)

因此當(dāng)

cosθ=cosθ=2-2cosθ

即

時(shí)小球脫離墻面．

解法二在高一物理相關(guān)章節(jié)的教學(xué)中學(xué)生利用已有的知識(shí)儲(chǔ)備就可以求解．

3 深入探討

3.1 當(dāng)mA≠mB，桿仍然為輕桿

解法一：

令

根據(jù)機(jī)械能守恒

令u=cosθ

解法二：換一種求解的方法讓學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的角度看問題．

(9)

如圖2的幾何約束為

(10)

對式(10)求導(dǎo)得

2vAyA+2vBxB=0

令

代入式(9)可得

(11)

n的限制條件與解法一所得的結(jié)論是相同的．

3.2 當(dāng)mA=mB=m桿=m，桿的質(zhì)量分布均勻

這個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能包括質(zhì)心的動(dòng)能和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，下降過程質(zhì)心的勢能變化3mΔyC．

根據(jù)機(jī)械能守恒

(12)

系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

(13)

將式(13)代入式(12)得

化簡得到

代入

可得

(14)

令

u=cosθ

3.3 當(dāng)mA=mB=m，m桿=m1，桿的質(zhì)量分布均勻

根據(jù)機(jī)械能守恒