用運動分解解決帶電粒子在復合場中的運動問題

王曉寧

(南宮中學 河北 邢臺 055750)

帶電粒子在復合場中的運動常見類型:電場力、洛倫茲力、重力三者平衡,做勻速直線運動；或是電場力、重力平衡,在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動.但如果不是這樣完美、熟悉的規律,我們在高中階段又如何將復雜的運動,化解為熟悉的運動規律呢?我們可以用運動的分解解決一類帶電粒子在復合場中的運動問題.

我們以一道例題為例.

【例1】如圖1所示，空間存在著勻強電場E和勻強磁場B,勻強電場E沿y軸正方向,勻強磁場B沿z軸正方向.質量為m，電荷量為+q的帶電粒子,t=0時刻在原點O,以沿x軸正方向的速度v0射入.粒子所受重力忽略不計.關于粒子在任意時刻t的速度沿x軸和y軸方向的分量vx和vy,請通過合理的分析,判斷下列選項中可能正確的是

圖1 例1題圖

解法一:本題中粒子所受的電場力與洛倫茲力不一定平衡,問題描述的情景非常復雜,速度的表達形式也非常復雜,作為一個選擇題,當然可以用選擇題的解法——特殊值法.

初始時刻,粒子速度為v0，即

vx=v0vy=0

由數學知識

sinθ=0 cosθ=1

將t=0代入選項立即可得選擇B對學生而言,沒任何問題,可以認為是特殊值方法的一個絕佳運用.

對教師而言，能否得出題目的詳細的解答過程呢?

解法二：我們在學習曲線運動時有一個基本的方法——運動的分解：我們可以將初速度v0分解,將其看成水平向右的兩個速度的合成:其中一個速度v1滿足洛倫茲力和電場力平衡

圖2 速度分解

這樣粒子的復雜的圓周運動就可以等效為沿x方向的勻速直線運動和一個勻速圓周運動的合成對于圓周運動而言,經過時間t,轉過的角度滿足

這樣我們通過速度的分解,完美解決了這個復雜的曲線運動問題.

任意時刻的速度為

知道了粒子的速度情況，我們也可以得出粒子運動方程.

設粒子做勻速圓周運動的半徑為R，有

則粒子的運動方程為

上述以時間t為參數的方程表明,粒子的運動軌跡為擺線.

另外，我們對運動過程用動能定理

得

將上述y的表達式代入

與利用速度的分解得出的結果是一致的,用運動分解的思路沒問題.

由此我們想到如果粒子由靜止釋放,是不是也能這樣處理呢？

我們可以“無中生有”，給帶電粒子配上一對等大反向的速度.

如圖2所示，若電荷量為+q的粒子從復合場中的O點有靜止釋放(重力不計),我們可以認為此時粒子是水平向右的速度v0和水平向左的速度v0的合成,其中向右的速度v0恰好滿足qv0B=qE,這樣電場力被抵消,粒子的運動可以看成以-v0為初速度的勻速圓周運動和以v0向右的勻速直線運動的合成粒子在任意時刻的位移

粒子在任意時刻的分速度

其合速度大小

從上式可以得到，當粒子運動到最低點時

速度最大為

這個結果也可以由速度的合成得到,當粒子運動到最低點時,圓周運動的速度方向與直線運動的速度方向一致,兩個分速度等大同向.

有了這個知識,再看2008年江蘇高考物理14題.

【例2】在場強為B的水平勻強磁場中,一質量為m,帶正電q的小球在O靜止釋放，小球的運動曲線如圖3所示．已知此曲線在最低點的曲率半徑為該點到x軸距離的2倍，重力加速度為g．求：

(1)小球運動到任意位置P(x，y)的速率v；

(2)小球在運動過程中第一次下降的最大距離ym；

圖3 例2題圖

第(2)、(3)問中,題目所給條件“曲線在最低點的曲率半徑為該點到x軸距離的2倍”就是多余的.

(3)設想小球具有-v1和v1的初速度,其中v1對應的洛倫茲力沿+y方向,滿足

mg+qv1B=qB

小球以-v1沿-x方向做勻速直線運動,同時以v1為初速度做逆時針的勻速圓周運動,最大速率時，圓周運動的速度方向與直線運動的速度方向一致.

這類復雜的曲線運動,我們等效為沿某一方向的勻速直線運動和一個勻速圓周運動的合成,借助等效原理和運動的分解原理,在全新的數理模型基礎上,簡化了問題,使之得到了較好的解決.