繩、桿牽連模型中的加速度關系剖析

李志強

(濟寧市任城區教育體育局教研中心 山東 濟寧 272000)

繩、桿牽連模型是高中物理中常見力學模型，也是高考、自主招生和物理競賽的熱點．解決這類問題的關鍵，是要搞清用繩或桿相連的兩物體的運動關系．高中物理中一般地只涉及到兩物體的速度關系，對此人們已總結出了一些可行的方法．一種簡單且易接受的方法是，利用繩或桿不可伸縮的特點，根據兩物體在繩或桿長方向的速度分量相等，建立起兩物體間的速度關系．但加速度關系就不是那么簡單了．這里就此問題略作探討，希望對讀者能有所幫助．

下面用一個實例來具體說明.

如圖1所示，長為L的均勻直桿兩端固定著兩個小球A和B，A球在豎直墻壁上運動，B球在水平地面上運動．當桿與豎直墻壁的夾角為α，B球向右的速度為vB時，A球的速度和加速度分別為多少？

圖1 題圖

解析：如圖2所示，B球速度沿桿長方向的分量為

vA=vBtanα

圖2 A球、B球速度分解

假如B球有向右的加速度aB，那么A球的加速度為多少呢？

不少人認為：因繩、桿不可伸長，當其受到彈力作用時，繩和桿上各點的加速度在繩和桿方向上的投影相等．故常常這樣得出A球的加速度.

將B球的加速度沿桿方向投影，則

設A球的實際加速度為aA，其方向豎直向下，將它沿桿方向投影，則有

考慮到沿桿方向的加速度大小相等，所以

aBcos(90°-α)=aAcosα

解得

aA=aBtanα

其實上述兩球的加速度關系是錯誤的．正確的分析思路如下.

以B球為參考系，桿做逆時針轉動，A球的速度是B球的速度vB與A球隨桿轉動速度的矢量和，如圖3所示．由矢量關系得到

圖3 以B球為參考系

A球的運動可以看作是B球平動與繞B球逆時針轉動的合運動．B球有向右運動的加速度aB，它沿桿長方向的加速度分量

那么A球也具有這個加速度分量

另外由于轉動，A球還有沿桿的加速度分量

A球實際加速度aA豎直向下，所以有

通過討論我們認為：繩、桿牽連模型中的加速度關系超出了高中物理課本的知識范圍(但不超出高中學生的智力范圍，不超出高中物理競賽要求的能力范圍)，一般地不要求學生掌握．但作為教師應正確理解繩、桿牽連模型中的加速度關系，以免“以其昏昏，使人昭昭”，把錯誤傳給學生，謬論流傳，誤人子弟．

參 考 文 獻

1 舒幼生.物理學難題集萃(增訂本).北京：高等教育出版社，1999.1 108～1 111

2 周衍柏.理論力學教程(第2版).北京：高等教育出版社，1986

3 王春勝.繩桿兩端物體速度的幾種處理方法.物理通報，2015(4)：56～57