兩均勻帶電半球殼靜電相互作用力解法討論

張 勇 潘 磊 桑芝芳

(蘇州大學(xué)物理與光電·能源學(xué)部 江蘇 蘇州 215006)

兩個(gè)帶電體之間的靜電相互作用問題是大學(xué)物理和高中物理的重要內(nèi)容，也是高考和競賽中考查的熱點(diǎn)，本文對(duì)兩個(gè)均勻帶電半球殼之間的靜電相互作用問題進(jìn)行了討論．

【題目】如圖1所示，兩個(gè)均勻帶電半球殼A，B的半徑為R，總帶電荷量為Q，兩半球殼緊密接觸在一起，求A，B之間的靜電相互作用力？

圖1 題圖

1 問題分析

如圖2所示，取右半球殼B為研究對(duì)象，求A，B之間的靜電相互作用力即要求左半球殼A對(duì)右半球殼B的靜電作用力．

圖2 半球殼A，B分別取面電荷元

式中r的方向從面電荷元σdS1指向面電荷元σdS2，根據(jù)疊加原理，作用于面電荷元σdS2的總靜電力等于半球殼A上所有電荷元作用于該面電荷元的靜電力的矢量和，所以半球殼A上所有電荷對(duì)面電荷元σdS2的靜電作用力為

因此半球殼A對(duì)半球殼B的靜電作用力為

式中SA和SB分別為半球殼A和B的面積．但上述雙重面積分比較復(fù)雜，很難得到解析結(jié)果，下面我們作進(jìn)一步分析．

如圖3所示，在半球殼B上取面電荷元σdS，設(shè)半球殼A上的所有電荷在面電荷元σdS處產(chǎn)生的電場為EA，半球殼B上除面電荷元σdS外的所有電荷在面電荷元σdS處產(chǎn)生的電場為EB．

圖3 半球殼B上取面電荷元

半球殼A對(duì)面電荷元σdS的靜電作用力為

dF=σEAdS

均勻帶電半球殼A對(duì)B的作用力為

(1)

這便是我們所要求的問題．

半球殼B上除面電荷元σdS外，其他所有電荷對(duì)面電荷元σdS的靜電作用力為

dF′=σEBdS

組成均勻帶電半球殼B的各面電荷元之間總的靜電相互作用力為

由于組成均勻帶電半球殼B的各面電荷元之間靜電相互作用力總是成對(duì)出現(xiàn)的，因而相互抵消，因此有

式(1)也可以寫為

(2)

其中E=EA+EB，即為除面電荷元σdS外半球殼A,B上其他所有電荷在面電荷元σdS處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度．

設(shè)面電荷元σdS在其附近產(chǎn)生的電場為E0，因此E+E0即為均勻帶電整個(gè)球殼在面電荷元σdS處的電場強(qiáng)度．由均勻帶電球殼的電場分布可知，在球殼外表面附近有

(3)

式中er為球心指向面電荷元σdS的單位矢．

在球殼內(nèi)表面附近有

E+E0=0

(4)

考慮到面電荷元σdS在球殼內(nèi)外表面產(chǎn)生的電場方向相反，由式(3)、(4)可得

(5)

將式(5)代入式(2)即為所求結(jié)果．

2 問題的求解

解法1：如圖4所示，取球坐標(biāo)系，使z軸與半球殼A，B的接觸面垂直，由對(duì)稱性可知，A對(duì)B的作用力沿z軸方向.

圖4 取球坐標(biāo)系

由式(2)得

又

dS=R2sinθdθdφ

所以有

解法2：用類比法求解．

由對(duì)稱性可知，半球殼B的任意面電荷元所受靜電力大小相等，因此可以將半球殼所受靜電力類比成半球殼在均勻氣體中氣體對(duì)半球殼面的作用力．

如圖5所示，氣體壓強(qiáng)為p，有底封閉半球殼在均勻氣體中所受的合力為零，其底面受到氣體的作用力大小為

F′=pS=pπR2

所以氣體對(duì)球殼面的作用力大小也為

F=F′=pπR2

(6)

圖5 球殼在氣體中受力

類似地，均勻帶電球殼A對(duì)B的作用力也可以通過式(6)來進(jìn)行計(jì)算．任意面電荷元受到的電場力對(duì)其產(chǎn)生的壓強(qiáng)為

(7)

將式(7)代入式(6)可得兩均勻帶電半球殼之間的靜電相互作用力為

與解法1結(jié)果一致．本解法學(xué)生更容易理解．

參 考 文 獻(xiàn)

1 梁紹榮,劉昌年,盛正華主編. 電磁學(xué)(第3版).北京：高等教育出版社，2005

2 第八屆全國三年制高中理科試驗(yàn)班招生統(tǒng)一考試物理試題及解答．物理教學(xué)，2003(6)：25