載流圓線圈磁場的MATLAB數值計算

程 軍

(安徽信息工程學院基礎教學部 安徽 蕪湖 241000)

從理論的角度來說，利用畢奧-薩伐爾定律原則上可以給出任意形狀的載流導線在空間產生的磁場．但是，在實際計算過程中，如果載流導線的形狀不規則，一般情況下無法給出磁感應強度的解析形式，此時可以利用數值計算方法來求解載流導線的磁場．MATLAB是進行數值計算的強大工具，將其應用于物理教學過程中，不僅能夠提升教學效果，還可以激發學生學習物理的興趣，并且提高學生分析和解決問題的能力．本文利用MATLAB數值計算，對載流圓線圈的磁場進行求解．

1 載流圓線圈的磁場

如圖1所示，半徑為R，通有逆時針方向電流I的圓線圈處于xy平面內，且其圓心在原點O．在線圈上與x軸正向夾角為α處取一電流元Idl，即

Idl=IRdα(-isinα+jcosα)

(1)

圖1 載流圓線圈

該電流元Idl的位置坐標為

x′=Rcosα

y′=Rsinα

z′=0

(2)

空間任一點P(x,y,z)可用球坐標表示為

x=rsinθcosφ

y=rsinθsinφ

z=rcosθ

(3)

因此，由電流元Idl引向場點P的矢量為

r′=(x-x′)i+(y-y′)j+zk

(4)

根據畢奧-薩伐爾定律，載流圓線圈在P點產生的磁感應強度為[1]

(5)

由式(1)～(5)，可得磁感應強度的分量分別為

(6)

(7)

(8)

根據電流分布的軸對稱性可知，磁場分布也具有軸對稱性，不妨取P點在xz平面內．因此，由式(6)～(8)可簡化為

(9)

(10)

(11)

特殊地，當P點位于圓線圈軸線上時，磁感應強度為

(12)

2 MATLAB編程求解

根據畢奧-薩伐爾定律，原則上可以求解任意形狀的載流導線在空間產生的磁場．但是對于形狀不規則的載流導線，通常無法給出磁感應強度的解析形式．此時，我們可以借助MATLAB程序對磁感應強度進行數值積分求解[2]．

計算載流圓線圈的磁場所用的MATLAB程序如下：

I = 1; R = 0.1;

n1 = 5; n2 = 6;

r = [0.05,0.15,0.3,0.5,1.0];

t = [0,10,30,45,60,90];

B = zeros(n1,n2); s = zeros(1,n2);

n = 1000; h = 2*pi/n; x = [0:h:2*pi];

for i = 1:n2

s(i) = t(i)*pi/180;

end

for i = 1:n1

for j = 1:n2

Bx = 0; By = 0; Bz = 0;

for k = 1:n

Bx = Bx+I*R*r(i)*cos(s(j))*

cos(x(k))./(R.^2+r(i).^2-2*R*r(i)*

sin(s(j))*cos(x(k))).^(1.5)*h;

By = By+I*R*r(i)*cos(s(j))*

sin(x(k))./(R.^2+r(i).^2-2*R*r(i)*

sin(s(j))*cos(x(k))).^(1.5)*h;

Bz = Bz+I*R*(R-r(i)*sin

(s(j))*cos(x(k)))./(R.^2+r(i).^2-2*R*

r(i)*sin(s(j))*cos(x(k))).^(1.5)*h;

end

B(i,j) = sqrt(Bx.^2+By.^2+Bz.^2);

end

end

在計算中取圓線圈半徑0.1 m，通有電流1 A．根據上述MATLAB程序，求解特定的空間位置處的磁感應強度，如表1所示．特殊地，線圈圓心處的磁感應強度大小為6.283×10-6T．

表1 特定空間位置( r, θ )處磁感應強度的大小 (單位：×10-7 T)

3 總結

本文根據畢奧-薩伐爾定律和磁場疊加原理，給出載流圓線圈在空間產生的磁感應強度計算公式的一般形式，利用MATLAB編程對磁場進行數值計算，并且給出一些特定空間位置處的磁感應強度的大小．將MATLAB應用于大學物理教學，有助于提升教學效果，提高學生學習物理的積極性，并且可以培養探索和求解物理問題的能力．

參 考 文 獻

1 賈起民，鄭永令，陳暨耀.電磁學.北京：高等教育出版社，2009.161～163

2 王健，趙國生.MATLAB數學建模與仿真.北京：清華大學出版社，2016.357～359