提升思維品質 發展數學素養
——從“高三導數綜合應用復習”說起

北京市第一〇一中學 謝 衛 賀麗珍

在高三的教學實踐中，求解導數綜合問題對學生的思維能力要求較高，是培養學生思維能力的好素材。我們嘗試在導數綜合問題的教學中通過有效地設計教學過程，逐步引導學生克服思維障礙，打破思維瓶頸，明晰思維過程，提升思維品質。

下面以“高三復習課：導數綜合應用復習”為例，來談一談如何在高三專題復習課中提升思維品質，發展學生的數學素養。

一、圍繞教學目標，精心設計數學問題

若想充分發展學生的數學素養，首先要留給學生充分的思考、討論、質疑的時間，讓生生對話、師生對話充分進行。一節課的教學內容不宜安排太多，應該少而精，選取能充分承載本內容所體現的數學思維特點的問題。比如，本節課只探討了一個問題。

問題：已知關于x的函數f（x）＝ ln x＋a（x-1）2（a∈R）．

（1）當a=0時，求證：不等式f(x)≤x-1在區間（0，＋∞）上恒成立；（2）若在區間 ［1，＋∞）上，函數f(x)的圖象不出現在直線y＝x-1的上方，求a的最大值。

本題改編自2016成都模擬，原題是：

已 知 關 于x的 函 數f（x）＝ ln x＋a（x-1）2（a∈R）．

（1）求函數f（x）在點P（1，0）處的切線方程；

（2）若函數f（x）有極小值，試求a的取值范圍；

（3）若在區間［1，＋∞）上，函數f（x）不出現在直線y＝x-1的上方，試求a的最大值．

原題第（1）問是求在（1，0）處的切線，我們對第（1）問進行了改編：證明一個重要不等式ln x≤x-1，無論是把不等式恒成立問題轉化為構造函數進行研究的思路，還是這個不等式本身的結論都為第（2）問不等式恒成立求參數取值范圍的解決提供思想方法和結論的支持。而且我們發現，很多函數問題都是在這些重要不等式的基礎上添加參數形成新的問題，都是由這些重要不等式生成的問題。

改編后的第（2）問的解決方法多樣，但研究函數與導數問題解決的特征：分析問題的結構、恰當構建函數、研究函數、解決問題是一致的，而且學生如果能整體分析函數解析式結構，合理作圖，整體把握問題，會找到簡潔的思路。

在高三復習課中如何精心選擇問題、改編問題？有以下幾個原則：（1）加強對數學知識本質及聯系的研究，把準教學內容的知識結構與要素。這樣，才能使所設計的問題具有“數學”性。（2）認真研究學生的思維過程。學習內容不同，學生的思維活動是不同的，認真分析學生的思維過程，才能使所設計的問題具有“思維”性。（3）精心選擇問題的起點、層次、跨度，同時注意所設計問題的系統性、整體性，使所設計的問題真正促進有效活動。（4）根據教學內容、學生情況，可以適當對原題進行改編，比如搭建臺階或者提出更加發散的問題等。

課前學生作答情況：

學生對于第（1）問的證明沒有障礙，書寫也比較嚴謹規范。對于第（2）問，所有學生都能夠將不等式恒成立轉化為作差構造函數

大部分學生把問題轉化為已知g（x）≤0，x≥1，構造差函數對a分類討論，求a的取值范圍。其中，有一多半學生注意到了可以直接應用第（1）問的結論，得到a≤ 0 時，g（x） ≤ 0 恒成立，但是a ＞ 0 時對每一類的函數特征敘述不清楚，尤其是對于a ＜這種情況，

學生能猜想g（x）≤ 0（x≥ 1）不恒成立，但找不到使得g（x）＞ 0的點，只有三、四名學生說清楚了。另外少數學生由于沒有聯系第（1）問，導致分類沒有思路，其中，有個別學生選擇用分離變量的方法構造函數，轉化為求新函數的最小值，但由于運算較煩鎖，只有一兩個同學做完整。

總體來說，第（2）問都寫得很煩瑣，但基本都沒全對，而且在獨立完成作業時沒有任何一名學生能夠從整體把握問題，抓住問題本質，得到最簡的解題思路。學生的作答情況反映了思維不夠嚴密，直觀思維欠缺、抽象能力偏弱、反思能力不強等數學思維方面的不足。

二、優化教學過程，促進學生主動思維

在課堂教學中，我們通過設計針對性問題，給學生充分思考時間，讓學生充分參與，發展學生的數學素養。在實際教學過程中，問題隨著課堂進程不斷生成和變化，教師要及時調整、反思與總結，以便真正與學生活動相吻合、促進學生主動思維，提升學生各方面的思維品質，發展數學核心素養。

在“導數綜合應用”中，根據我們對學生導數問題學習的調研和問題解答，分析得出學生運用導數等工具研究函數的初步性質掌握較好，但在解決函數綜合問題時有以下思維障礙：

（1）求導后無從下手，停留在操作層面，直觀性思維欠缺；

（2）不能恰當、有效地構建函數解決含有參數的方程和不等式問題；

（3）在解決問題過程中，數學運算能力欠缺。

針對學生在數學思維和能力上的不足，我們設計如下幾個教學環節：

（一）直觀性思維——數學的感知

第（1）問證明完畢后，我們提了如下問題：

不等式 ln x≤x-1（x＞0）的幾何意義是什么？等號成立的條件是什么？

學生畫出兩個函數的圖象（如圖1），從直觀上看到了不等式的幾何意義。

圖1

直觀性思維是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎。因此，每遇到一個代數結構，我們可以引導學生尋找它的幾何意義，幫助學生形成直觀性思維，從而優化解題過程。

在學生具有了比較好的直觀性思維的基礎上，解決第（2）問時，把問題轉化為“已知 ln x+a(x-1)2≤x-1，求a的取值范圍”后，有的學生通過觀察、研究函數結構、畫出圖象，根據圖象整體特點，直接得到了答案。

圖2

當a=0時，第（1）問已證；求a的最大值，只需看a＞0。當a＞0時，拋物線開口向上，如圖2，在x≥1時，隨著x的增大，直線的增長速度保持不變，而拋物線增長得越來越快，所以當x充分大時，f(x) ＞ x-1總是成立，原不等式就不成立。因此，a ＞ 0都不符合，最大值就是0。

這時，教師給予總結：函數圖象能夠直觀形象地表示出函數的變化狀態，是我們在解決問題中需要特別關注的。但是不能以圖代證，還需要嚴格證明求解。

（二）特殊到一般——數學的聯想

在學生證明了第（1）問的不等式ln x≤x-1后，我們引導學生思考：

（1）你能得到類似的不等式嗎？比如，含有ex的不等式？

（2）試一試給這兩個不等式添加參數，使得不等式還成立，課后可以繼續思考。

學生得到：ex≥x+1（x∈R），從圖象上看，是關于y=x對稱的反函數，也可以證明，與 ln x≤x-1（x＞0）的證明方法類似。

學生還得到了以下不等式：

命題者很多時候就是在一些重要的不等式或方程中添加參數，構造一個求參數取值范圍或證明題，我們平時不妨引導學生主動構造一些新命題，或許能得到許多有趣的命題。

這個環節我們試圖挖掘命題者的命題思路，主動添加參數，構造新命題，讓學生學會整體把握問題，領悟數形結合、轉化與化歸、特殊與一般等數學思想。其實，任何一個數學問題的解決實際上是一個不斷轉化、不斷化歸的過程，更是一個不斷追根溯源的過程；從特殊到一般是數學探究的一條基本途徑也是培養學生數學素養、提升學生科學品質的一條有效途徑，而培養學生數學素養正是目前學生核心素養培養的一個重要內容。

（三）直觀到運算——數學的抽象

如何嚴謹規范地解決第（2）問呢？在給予了學生充分思考的時間后，學生運用轉化思想得到：當a≤0時，問題直接轉化為（1）中的不等式；當a＞0時，不等式恒成立，通過作差構造函數 :設g(x)=ln x+a(x-1)2- (x-1)，x≥ 1。

問題轉化為：x≥1，g(x)≤ 0恒成立，即x≥ ，gmax(x)≤0，即轉化為求函數的單調性和最大值問題。

下面是一個學生給出的解決過程：

數學抽象的實質是把握事物的本質，以簡馭繁，對學生抽象思維能力的培養應使得學生運用數學抽象的思維方式思考并解決問題。而數學運算實際是一種演繹推理，是解決數學問題的基本手段。

遇到某個數學概念或問題有多種途徑時，學會判斷選擇，尋找最佳途徑；遇到代數式，先關注代數結構，利用代數結構中提供的信息選擇轉化方向；關注運算中的化簡與整體意識，尋求并設計合理、簡捷的運算途徑。我們在教學過程中，應抓住時機進行不同運算方向的比較，使學生體會到數學運算智慧的重要性。

三、關注思維發展，引導學生積極反思

此時，我們似乎已經完美地尋找到了問題的解決方案，但這不是思維培養的最終目標。對問題做進一步的反思能力是數學素養的重要方面，經過反思，往往會有更深刻、更全面的認識。因此教學中，在完成對問題解決的第一個階段之后，我們要引導學生對問題和解答進行反思。

（一）數學反思之簡潔美

有學生發現了這個問題本質上的解法：其實不用求導，就可以解決第（2）問：

該生的解答簡潔干練，數學的簡潔之美感染了每一個學生，讓所有的學生感到震撼！每個學生的眼中流露出的躍躍欲試形成了本節課的第一個高潮。把問題分析透徹之后，整體把握函數結構和圖象特征，可以看到問題的本質，提升學生思維高度。愛因斯坦說過：“美，本質上終究是簡單性。”他還認為，只有借助數學，才能達到簡單性的美學準則。對問題進行反思和再認識，讓學生的數學素養得到了更深入的發展。

（二）數學反思之思維的多角度

一個學生提出對于第（2）問，他用分離變量的方法解決，過程如下：法則 ) 因此a≤ 0。

我們看到，這個學生沒有注意到與第（1）問的聯系，把第（2）問作為一個新問題，轉化為構造新函數（分離變量的方法）研究函數的最小值，其實，與前面作差構造新函數都是相同的思維過程，都是把不等式恒成立問題轉化為構造新函數，研究新函數最值的問題。這種構造方式，優點是把參數完全分離出來，新函數不帶參數，不用分類討論；但像這個問題，新函數較復雜，求一次導數不能完全判斷符號，還需要把導函數作為新的函數二次求導。這個問題最后還用到了高等數學里的洛必達法則，感覺沒有直接作差來得簡單。

教師引導學生分析問題特征，對比幾種方法，體會思維的不同角度，并且盡量提煉出幾種方法的通性和本質，鼓勵學生積極思考、敢于挑戰、敢于嘗試、嚴謹分析和推理的數學研究態度。

在這個學生解答的基礎上，再次對問題進行反思和認識，發現，分離變量之后不用求導也可行：

這個解答再次震撼了所有學生，讓每一個人都很激動，形成了課堂的第二次討論高潮，學生的思維馳騁在數學課堂中，數學思維得到了升華……

以上是筆者結合高三一節專題復習課的案例對在教學中充分發展學生數學素養的探討。當然，數學思維不止是以上幾個方面，通過一節課也不能使學生所有的數學素養得到全面發展。但是，只要教師堅持有意識地在每一節課中去滲透，以問題為載體引導學生不斷思考、不斷提出問題以達到不斷優化的目的，引導學生用數學的思維思考數學，學生通過不斷地實踐，數學素養和數學思維品質也定能得到相應的提升。

參考文獻

［1］張鶴.數學教學的邏輯——基于數學本質的分析［M］.北京:首都師范大學出版社,2016.

［2］任子朝,陳昂.加快高考內容改革,增強基礎性和綜合性［J］.數學通報,2016,55(6).