教學植樹問題，建構植樹模型

許強

假期研修中，認真觀看了趙剛老師的“植樹問題”的及教學視頻，收獲頗多，啟發很大.現在進行以下梳理，以期進行更好的學習吸收.

縱觀這節課，趙老師上課的思路非常清晰，遵從“從生活中來到生活中”的原則，以“感知—探究—應用”為主線，讓學生通過“觀察、操作、探究、思考、歸納”等活動，初步體會解決植樹問題的思想方法（模型思想），建構起“植樹模型”，培養學生從實際問題中探索解決問題有效方法的能力.

一、從生活中感知植樹問題.

數學知識生活化，是一個教學大趨勢.學習數學的目的就是為了在生活中能自如地應用.教學中，如果例子舉得好，可以起到“四兩撥千斤”的功效.趙老師這節課從始至終，都很好地貫徹了這一原則.

1.導入新課生活化.上課伊始，趙老師向學生展示出學生們最司空見慣的手掌，拋出問題：“在我的手上，你看到了數字幾？”學生很容易回答：“數字5.”“數字5表示什么？”“手指數.”接下來，趙老師再問：“你還看到了數字幾？”“數字4.”“數字4表示什么？”“手指與手指之間的距離有4個.”趙老師引出了“間隔”這個詞，很容易就過渡到了“植樹問題”這個課題，讓學生初步感知到了數學的模型思想.

2.探究問題生活化.在引導學生探究時，趙老師跟學生談話：“學校榆山校區準備對校園做進一步綠化，要求設計植樹方案一份，擇優錄取.大家愿意嘗試一下嗎？我們先來看看學校的設計內容吧.在小路的一邊種5棵樹.請按照要求設計一份植樹方案，并說一說為什么這樣設計？”聽說要為學校設計植樹方案，很顯然，學生的探究熱情被調動起來了.

3.應用問題生活化.探究結束后，趙老師給學生的問題也都是學生生活中很容易見到的.譬如，懸掛氣球問題、剪彩帶問題.包括課后的檢測題：16名小學生排成一列縱隊，每兩名小學生之間相距1米，這列隊伍長（）米；校運會的運動場上，1條跑道有2條石灰線，4條跑道有（）條石灰線；在一條全長2 km的街道兩旁安裝路燈（兩端也要安裝），每隔50 m安一盞.一共要安裝多少盞路燈？這樣生活中常見的問題讓學生感覺到學習數學是有用的，從而提高學習興趣，激發學習熱情.

二、在探究中思考植樹問題

新修訂的課標強調學生的感知與體驗、想象與歸納，教師適時地創造讓學生動手操作、自主探究的機會，有利于學生對知識的理解，也能幫助學生積累學習經驗，讓學生有體驗、有積累、有收獲.

1.經歷觀察、操作過程，積累體驗性經驗.趙老師在教學“植樹問題”時，先引導學生進行動手操作，用學具擺一擺怎么種樹，自己設計植樹方案，讓學生逐漸地意會、體驗、感悟.為了讓學生“動”起來，在“動”的過程中體驗知識的形成過程，趙老師不斷地提出問題：“按照你的設計方案，你把這條小路分成了幾段？”讓學生想一想、做一做、說一說，既滿足了學生的表現欲望，又培養了學生自主探究的能力.學生對植樹棵數和段數的關系有了初步的感性認識，豐富了學生的感性材料，為學生順利發現并總結規律打下了基礎.

2.經歷探究、思考過程，積累方法性經驗.這里的“探究”指的是融行為操作與思維操作于一體的活動.本冊的“數學廣角──植樹問題”，教材編者意圖是讓學生初步認識“化繁為簡”的思想，并通過各種活動，借助直觀圖理解“間隔數與棵數”之間的數量關系.趙老師通過不斷地提問：“兩端都栽時，種5棵樹有幾個間隔？”“4棵呢？”“3棵呢？”……逐一類推，“50棵呢？”“100棵呢？”來引導學生不斷積累方法性經驗.

3.經歷概括、反思過程，積累“數學地思考”的經驗.概括是形成和掌握概念的直接前提.如果沒有概括，就無法進行邏輯推理，就達不到思維的深刻性.趙老師在學生積累了足夠的方法性經驗后，有意識地引導學生進行數學思考，“同學們，你們有沒有發現，在兩端都種時，種的棵數和間隔數有什么關系？”學生最后很容易就得出了兩端都栽時，棵數和間隔數的關系：“棵數=間隔數+1”“間隔數=棵數-1”.

三、在應用中建構“植樹模型”

教材中設置“數學廣角”單元教學內容的目的不是教會學生機械的公式和抽象的模型，而是讓學生體驗探索建立模型的過程和數學思想方法.在“植樹問題”的教學中，趙老師引導學生根據實際問題情境，從簡單的情況入手，在解決問題的分析、思考過程中，逐步發現隱含的規律，經歷建立數學模型的過程，幫助學生積累數學活動的經驗，提高學生解決實際問題的能力.

當然，這節課的不足之處也有待商榷.學生在做“剪彩帶”的問題時，表現得不太自信，有一部分學生會求間隔數，但不能運用規律+1，這說明，學生的“一一對應”的思想沒有得以確立，“植樹模型”還沒有得以牢固建立.“植樹問題”的本質就是點與段之間的對應問題.“模式建構”與“一一對應”的思想要比“植樹問題三種情況的區分”更為重要.趙老師的這節課在這方面還有所欠缺.

在現實生活中，植樹問題披著形形色色的外衣，存在著復雜多樣的情況，如安裝路燈、走樓梯、鋸木頭、掛氣球、剪彩帶等，而學生常常會被這些美麗的外表所迷惑.因此，我們必須抓住它們的本質，從這些復雜的現象中抽象出它們最本質的數學模型.我們在設計時要考慮到實際生活的紛繁復雜，以兩端都種為基礎展開研究，充分利用線段圖幫助學生在頭腦中建構起一個完整的植樹問題的數學模型.在練習設計時，要注重習題的靈活性、開放性，避免學生死記規律機械化操作.讓學生在解決具體問題情境的過程中，發現并感悟植樹問題其他兩種情況下棵數與間隔數之間的聯系，并學會根據實際情況選擇合適的方式解決問題.

趙老師反思得好，他說：“教學是一門遺憾的藝術.”每種教法都是一種大膽的嘗試過程，總在摸索中不斷完善.任何一個數學模型的建構都不可能是一蹴而就的，如同制作建筑模型般，它需要充足的材料、充足的時間，更需要充足的耐心來搭建它.切莫讓結果代替過程，與學生一起共同經歷這個不可或缺的美妙的建構過程，讓師生共同成長吧！