初等矩陣的教學方案探析

蘇永美 丁軍

【摘要】初等矩陣是“線性代數”課程中一個非常重要的概念，對于初等矩陣概念的引入，大多數教材一般都是直接給出，然后再去驗證三類初等矩陣的功能.本教學方案通過線性方程組兩種不同的求解方式入手提出兩個問題，在引導學生分析問題、解決問題的過程中給出了初等矩陣的概念，并得到了其在矩陣乘法中的功能.然后又以問題為導向，給出了利用初等變換求逆矩陣和解矩陣方程的方法.

【關鍵詞】線性代數；初等矩陣；啟發式教學；教學方案

一、引 言

初等矩陣是“線性代數”課程中一個非常重要的概念，它作為橋梁將矩陣的初等行變換與矩陣的乘法聯系起來，從而得到了利用矩陣的行變換求矩陣的逆、矩陣的秩、向量組的極大無關組和向量組的秩及解矩陣方程等很多重要的方法，尤其是利用矩陣的初等變換計算逆矩陣的方法對初學者更是尤為神奇.“線性代數”的教材版本較多，不同版本的體系也略有不同，但無論是哪種版本，在學習初等矩陣之前，矩陣的代數運算和矩陣的初等變換都應該已經完成學習，這就為我們設計本次的教學方案提供了保證.本文從一個具體的線性方程組求解出發，提出問題，在引導學生思考的過程中給出了初等矩陣的概念，同時得到了初等矩陣在矩陣乘法中的功能，從而得到了利用初等行變換求逆矩陣和解矩陣方程的方法.

二、教學方案

本教學方案通過線性方程組兩種不同的求解方式提出兩個問題，然后引導學生分析問題、解決問題，具體過程如下：

（一）問題的引入

我們首先給出如下線性方程組，分別用兩種方式給出方程組解的形式.

方法1 由于方程組的消元過程就相當于對線性方程組的增廣矩陣做三種類型的初等行變換，當增廣矩陣化為行最簡形時，就可以直接寫出方程組的解，過程如下：

通過上面兩種方法求解，我們發現既可以只利用矩陣的初等行變換求解線性方程組，也可以通過矩陣的逆借助矩陣的乘法來求解線性方程組.將上面兩種方法聯系起來，很自然地就可以引導學生提出問題.

矩陣的初等行變換和矩陣的乘法之間有聯系嗎？矩陣的初等行變換是否可以借助矩陣的乘法來實現？

帶著這個問題，我們進入教學的第二個環節，學生參與，探討問題.

（二）問題的探討

對于以上問題，為了方便學生們自己思考討論，課上我們可以以二階矩陣為例來探求初等行變換與矩陣的乘法之間的聯系，為了更清楚地探究初等行變換和矩陣乘法的關系，我們將二階矩陣A按行進行分塊，然后給出A的三種初等行變換：

至此，學生們已經了解了矩陣的初等變換可以通過矩陣的乘法來實現.由于有了前面的討論，學生們此時就可以自己推出初等矩陣共有三種形式，而且可以仿照上面二階矩陣，分別用記號E（i，j），E（i（k）），E（i，j（k））來記錄它們的產生方式和記載他們在矩陣乘法中的初等變換功能，此時再給出下面的定理就顯得水到渠成了.

定理1 設A是一個m×n階矩陣，對A施行一次初等行變換，相當于在A的左邊乘相應的m階初等矩陣，對A施行一次初等列變換，相當于在A的右邊乘相應的n階初等矩陣.

至此，一開始提出的問題就得到了圓滿解決.

課上學生們在自己參與的過程中得到了逆矩陣如此簡單的計算方法，學生們在感受到思考的樂趣之余又獲得了滿滿的成就感.

三、結 論

本文結合作者自身的課堂教學實踐，設計了一個初等矩陣的教學方案，該方案從利用高斯消元法解線性方程組和借助逆矩陣、矩陣乘法解方程組入手提出問題，在引導學生思考參與的過程中給出了初等矩陣的概念，并讓學生自己總結出初等矩陣在矩陣乘法中的功能，進一步得到了利用矩陣初等變換求逆矩陣和解矩陣方程的方法.由于整個教學過程都是學生們經過思考可以解決的，所以學生們的學習熱情高漲，可以達到良好的教學效果.

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