《兩角差的余弦》教學設計

張娜

本節課是高中數學人教A版第三章第一節第一課時的內容，是三角函數線、誘導公式等知識的延伸，是我們后續學習兩角和差公式、二倍角公式等一列公式推導的核心和基礎.對三角變換、三角恒等式的證明和三角函數式的化簡、求值等問題的解決有著重要的支撐作用.

【學情分析】

學生已經掌握了利用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數，也學習了同角三角函數式的變換，理解了平面向量及其運算的意義，并能用數量積表示兩個向量的夾角，具有一定的推理能力、運算能力和解決實際問題的能力，但利用向量的數量積公式證明兩角差的余弦公式時，學生容易犯思維不嚴謹、不嚴密的錯誤，教學時需要引導學生搞清楚兩角差與相應向量夾角的聯系與區別.

【教學目標】

1.知識與技能

通過讓學生探索、猜想發現并推導“兩角差的余弦公式”，通過公式的簡單應用，使學生初步理解公式的結構及其功能，并為建立兩角和差的正余弦公式和正切公式打好基礎；

2. 過程與方法

在探究公式的過程中，逐步培養學生學會分析問題、解決問題、合作交流的能力，并體會數形結合的數學思想；

3. .情感態度

通過課題背景的設計，增強學生的探究、應用意識，認識到數學來源于生活又應用于生活，激發學生的學習積極性.

【重難點】

重點：兩角差的余弦公式的探索和推導過程及簡單應用。

難點：兩角差的余弦公式探索過程中的組織和適當引導。

【教學過程】

閱讀課本第124頁.

（一）創設情境，引入課題

一年之計在于春，同學們有沒有自己的計劃？相信很多同學已經在心里暗下決心，要在萬物復蘇，充滿希望的春天里努力學習達到預期的學習目標，為之后邁向理想的大學鋪路！不過，身體要保持健康強壯是前提，生活在泰山腳下，課件播放泰山景點圖片.有沒有經常爬個山坡鍛煉一下呢？爬山的時候有沒有時刻體會到數學呢？我們取一段山坡，如果山坡長度約為8米，坡度（與地面夾角）約為30度，請問當我們爬完山坡后，在水平方向上前進了多少米？

設前進量為 米，則 米

提問：當山坡坡度為45度時，其他不變， 等于多少？

答： 米

提問：當山坡坡度為15度時，此時 又等于多少？

答： 米

問題1： 等于多少？能否用特殊角三角函數值來表示？

【設計意圖】從學生的實際生活出發，自然地引出問題，基于人的由低到高的認知規律，把新內容的起點定得越低，學生越易入門，所以我將教材中的例子做了修改，從而培養學生把實際問題抽象為數學模型來解決的能力，讓學生感知數學來源于生活，并應用于生活，激發學生的學習興趣.

（二）自學探究，提出猜想

問題2：對任意的 ， 是否成立？

1. 思考： 能否用特殊角表示？

預案1：

問： 是否成立？為什么？

【設計意圖】讓學生經歷提出假設 證明假設的過程，知道要證明一個假設不成立，只需舉出反例即可，即明白特殊與一般的辯證關系.

2. 探究： 能否用特殊角三角函數來表示？如何表示？

提示：利用單位圓、向量知識，插入微課復習舊知.

其實我們之前已經接觸過兩角差的余弦，想想在哪里接觸過呢？

【設計意圖】從新舊知識之間的聯系入手，通過插入微課復習舊知，讓學生對新知不陌生，讓學生發現 與 的值都有關系，為最終公式的得出做鋪墊.

（三）合作解疑，證明猜想

【設計意圖】這個推導過程對于學生來說，比較繁瑣.所以我制成動畫課件把探索過程逐步展示出來.

問題3：以上結果是在 都是銳角且 的情況下得到的，對一般情況下的角是否成立？

探究：證明對任意的 都有 .

方案2：利用單位圓、向量知識.

【設計意圖】作為第一個和差公式，通過趣味性的記憶，加深學生印象.

（四）精講點撥，鞏固訓練

例1：利用差角余弦公式求 的值.

【設計意圖】通過公式的簡單應用，使學生初步理解公式的結構及其功能，并為建立其他和差公式打好基礎；通過變式的應用，培養學生用多種方法解決問題的能力.

例2：已知 是第三象限角，求 的值.

解：由 可得

【設計意圖】訓練學生思維的有序性、思維過程表述的準確性與簡潔性，這些都是三角恒等變換能力所不能忽視的；注意角 、 的象限，也就是符號問題.

變式2：若將例2中的條件 去掉，對結果和求解過程會有什么影響？

【設計意圖】將例2作此延伸，體現討論的數學思想.

練習：1、 的值為

2、化簡 =

3、已知 則 的值為

4、已知 是第三象限角，求 的值.

【設計意圖】1、2題考察公式的逆用，3題考察特殊角與非特殊角在兩角差的余弦公式中的結合；4題強調解決三角變換問題的基本要求：思維的有序性和表述的條理性。

（五）課堂小結，回顧反思

1.這堂課你學到了什么內容？如何學習的？

①學習了差角余弦公式；

②假設猜想—反證否定—用向量、三角函數線探究公式—證明結論—公式應用

2.學習與應用過程中，你有什么體會？

①證明一個假設不成立，只需舉出反例即可.

②探究證明公式過程中，可以通過特殊情況去討論證明一般情況.

③公式應用中，可以有不同的解題方法.

【設計意圖】讓學生對探究的過程與思路、方法有一個清晰的認識，進一步達到“教思維”的目的.

（六）當堂達標

【設計意圖】考察公式的逆用，特殊角與非特殊角在兩角差的余弦公式中的結合，強調解決三角變換問題的基本要求，從而加強鞏固本節課的知識.

（七）布置作業

課本第127頁練習2、3、4題.

【設計意圖】課下鞏固練習。