CT系統(tǒng)介質(zhì)形狀參數(shù)標(biāo)定

王航 崔尚 鄭維連 張振榮

摘要：將數(shù)據(jù)進(jìn)行解析變換，引入 Radon 逆變換，推導(dǎo)出各種不同形式的逼近表達(dá)式，再離散計算，最后運用MATLAB進(jìn)行編程得到關(guān)于未知介質(zhì)形狀的幾何圖形與圖形的吸收率數(shù)據(jù)。

關(guān)鍵詞：MATLAB；解析變換；Radon 變換

1 未知介質(zhì)幾何形狀與吸收率的確定

首先將數(shù)據(jù)導(dǎo)入到MATLAB，畫圖。

根據(jù)已有結(jié)果知該系統(tǒng)的初始掃描位置為，鉛直方向直線逆時針旋轉(zhuǎn)29.6463°處（鉛直線向下正方向）。需要對圖形數(shù)據(jù)進(jìn)行修正。經(jīng)修正后，才能真正反映未知介質(zhì)在正方形托盤中的位置關(guān)系。修正后附件3的數(shù)據(jù)畫出圖形：

由圖可知，未知介質(zhì)在xy 平面內(nèi)分布不均勻，即衰減系數(shù) μ =μ（x， y） ，則可得在某一方向l ，沿某一路徑 L 的總衰減為：

[JZ（][XCimage310.tif；%50%50，JZ][JZ）][JY]（1）

衰減的集合[XCimage311.tif；%50%50，JZ]稱為投影，即接收信息，反投影重建圖像的原理就是根據(jù)一系列的投影[XCimage311.tif；%50%50，JZ]，求出被積函數(shù)[XCimage312.tif；%50%50，JZ]，從而得出[XCimage313.tif；%50%50，JZ]分布（密度分布）的

圖像，即我們所要求的圖形經(jīng)過CT掃描之后的最終圖像以及個點的吸收率。所以我們引入Radon 變換。

Radon 變換的定義為：若[XCimage314.tif；%50%50，JZ]基本空間[XCimage315.tif；%50%50，JZ]，[XCimage316.tif；%50%50，JZ]對于所有的[XCimage317.tif；%50%50，JZ]是已知的，則稱[XCimage316.tif；%50%50，JZ]是二維函數(shù)[XCimage318.tif；%50%50，JZ]的Radon變換，記為Rf。

由于研究的圖形為二維圖形所以，在Radon 變換中考慮直線表達(dá)為[XCimage319.tif；%50%50，JZ]

其中[XCimage320.tif；%50%50，JZ]為法線長（即原點到直線的垂線長），[XCimage321.tif；%50%50，JZ]為法線與[XCimage322.tif；%50%50，JZ]軸的交點。[XCimage323.tif；%50%50，JZ]為直

線[XCimage324.tif；%50%50，JZ]的位置參數(shù)。

積分表達(dá)為：

[JZ][XCimage325.tif；%50%50，JZ]

現(xiàn)令[XCimage326.tif；%50%50，JZ]為直線[XCimage327.tif；%50%50，JZ]的方向，[XCimage328.tif；%50%50，JZ]為[XCimage329.tif；%50%50，JZ]的法線方向，則可得到[XCimage330.tif；%50%50，JZ]得新的坐標(biāo)系，

[JZ（][XCimage331.tif；%50%50，JZ][JZ）][JY]（2）

則有積分[XCimage332.tif；%50%50，JZ][JY]（3）

記[XCimage333.tif；%50%50，JZ]

[JZ][XCimage334.tif；%50%50，JZ]

其中[XCimage335.tif；%50%50，JZ]表示[XCimage336.tif；%50%50，JZ]方向，[XCimage337.tif；%50%50，JZ]表示[XCimage338.tif；%50%50，JZ]的法線上的單位向量。

最后得到直線[XCimage339.tif；%50%50，JZ]的方程為

[JZ（][XCimage340.tif；%50%50，JZ][JZ）][JY]（4）

即[XCimage341.tif；%50%50，JZ]

所以經(jīng)過Radon變換的Rf函數(shù)為[XCimage342.tif；%50%50，JZ]

[JZ（][XCimage343.tif；%50%50，JZ][JZ）][JY]（5）

Radon 變換的求逆公式：

[JZ（][XCimage344.tif；%65%65，JZ][JZ）][JY]（6）

其中被積函數(shù)[XCimage345.tif；%50%50，JZ]為的集合矩陣為我們要求的未知介質(zhì)的幾何形狀的圖形；[XCimage346.tif；%50%50，JZ]為[XCimage347.tif；%50%50，JZ]的投影，即我們已知的數(shù)據(jù)；圖形[XCimage348.tif；%50%50，JZ]在點[XCimage349.tif；%50%50，JZ]的值稱為[XCimage349.tif；%50%50，JZ]的密度，即未知介質(zhì)每個點的吸收率。[1]

通過MATLAB對Radon變換模型變成進(jìn)行運算，可以得到結(jié)果如下：

未知介質(zhì)的形狀為一橢圓形，橢圓內(nèi)部又分布著5個不同的小橢圓。

2 確定介質(zhì)在正方形托盤上的位置

由已有的結(jié)論可知：附件提供的是CT系統(tǒng)512個射線與探測單元以第256與257個單元中點為中心旋轉(zhuǎn)180度得到的接收數(shù)據(jù)，邊界數(shù)據(jù)是CT系統(tǒng)探測器的探測邊緣，而不是正方形托盤的的邊緣，所以，需要先確定正方形托盤在圖形中的具體位置。

由已知數(shù)據(jù)可知正方形托盤的邊長，中心點，和CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在托盤上的位置。所以旋轉(zhuǎn)中心至中心點的水平距離與豎直距離為：9.2663mm、6.2729mm。

將兩個距離分別除以問題一中求解的兩個單元點的距離得到兩點相差33、19.5個單元點。最終求出關(guān)于正方形托盤中心在圖形上的位置（289.5，276）。

然后求出正方形邊長為[XCimage350.tif；%50%50，JZ]，則正方形邊界到托盤中心的距離為180.6358。由此可列出求解正方形邊界單元點的式子：

[JZ][XCimage351.tif；%50%50，JZ]；[XCimage352.tif；%50%50，JZ]。

3 確定給定的托盤上的10個點的吸收率

根據(jù)上面求出的正方形托盤在圖形中的位置，將10個點在圖中的位置用單元點表示出來并找到對應(yīng)的吸收率。例如，在正方形托盤中坐標(biāo)為（10，18）的一個點，它在由附件3重建出來的圖形中的位置可由以下公式表示：

得到它的吸收率為0。

同理得到十個數(shù)據(jù)點在圖中的位置，由于接受信息與圖形形狀吸收率已知，所以根據(jù)附件的數(shù)據(jù)用以上方法進(jìn)行推導(dǎo)，經(jīng)過求解后，得到圖形與成像圖基本一致。所以證明此方法有效，模型通過驗證。

參考文獻(xiàn)：

[1]孔慧華.加速圖像重建的迭代算法研究[D].中北大學(xué)博士論文，2006：511.

[2]劉成龍.精通MATLAB圖像處理[M].北京：清華大學(xué)出版社，2015.

基金項目：天津農(nóng)學(xué)院高校教師教育改革創(chuàng)新引導(dǎo)發(fā)展項目“高校數(shù)學(xué)教師創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育能力的提升”（20170301）

*通訊作者：張振榮（1978），女，河北正定人，碩士，講師，研究方向為數(shù)理統(tǒng)計應(yīng)用及高等數(shù)學(xué)教學(xué)。