極小值原理及應(yīng)用

劉海燕 麻芮

摘要：本文主要由偏微分方程的極大值原理推廣到偏微分方程的極小值原理以及極小值原理的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：極大值原理；一致橢圓方程

假設(shè)Ω是一個(gè)在Rn中的有界連通域，在Ω中考慮算子L

[JZ]Lu=aij（x）Diju+bi（x）Diu+c（x）u

對于u∈C2（Ω）IC（Ω[TX-]），我們總假設(shè)aij，bi，c是連續(xù)的，因此在Ω[TX-]上有界，L是Ω中的一致橢圓方程有下面情況：

[JZ]aij（x）ξiξj≥λ|ξ|2x∈Ω，ξ∈Rn

〖KH*2〗對于存在正常數(shù)λ。

引理1.1假設(shè)u∈C2（Ω）IC（Ω[TX-]）滿足Lu>0且c（x）≤0，如果u在Ω[TX-]上有非負(fù)極大值，則u在Ω中不能達(dá)到極大值。

由此推出當(dāng)Lu<0時(shí)，如果u在Ω[TX-]上有負(fù)的極小值，則u在Ω中不能達(dá)到極小值。

推廣1.1假設(shè)u∈C2（Ω）IC（Ω[TX-]）滿足Lu<0且c（x）≤0如果u在Ω[TX-]上有負(fù)的極小值，則u在Ω中不能達(dá)到極小值。

證明 假設(shè)u在x0∈Ω上獲得Ω[TX-]上的負(fù)極小值，則Diu（x0）=0且矩陣B=（Diju（x0））是半正定的，通過橢圓率矩陣A=（aij（x0））是正定的，因此矩陣AB是半正定的，所以aij（x0）Dij（x0）≥0，所以Lu≥0，與假設(shè)矛盾，所以u在Ω中不能達(dá)到極小值。

定理1.2（極小值原理）假設(shè)u∈C2（Ω）IC（Ω[TX-]）滿足Lu≤0且在Ω中c（x）≤0則u在Ω上有Ω[TX-]上的負(fù)極小值。

證明：對于ε>0，考慮w（x）=u（x）εecα1且α有待確定，則我們有

[JZ]Lw=Luεecα1（a11α2+b1α+c）

因?yàn)閎1，c有界，又因?yàn)閍11（x）≥λ>0，對于xΩ，通過選擇α>0足夠大，我們有

[JZ]a11（x）α2+b1（x）α+c（x）>0

對于xΩ，意味著Lw<0在Ω中，通過引理1.1，w在Ω上獲得負(fù)極小值，即

[JZ]su[DD（X]Ω[DD）]pw≥sup[DD（X]Ω[DD）]w

則

[JZ][XCimage88.tif；%95%95，JZ]

通過ε→0得證。

極小值原理的應(yīng)用

命題1 假設(shè)uC2（Ω）∩C（Ω[TX-]）滿足

[JZ][JB（{]Lu=finΩ[SX（]u[]n[SX）]+α（x）u=φonΩ[JB）]

這里n[TX-]是指向Ω的外向法向量，如果在Ω中c（x）≤0且在a（x）≥α0>0則有

[JZ][XCimage97.tif；%60%60]

這里c是正常數(shù)僅依賴與λ，Λ，α0和diam（Ω）。

證明：特殊情況：c（x）≤c0<0我，我們將得到

[JZ][XCimage101.tif；%50%50]

定義[XCimage102.tif；%50%50，JZ]則有

[JZ][XCimage103.tif；%50%50]

如果u在Ω[TX-]中有負(fù)的極小值，則通過定理1.2v在Ω上獲得負(fù)的極小值，也就是說x0εΩ。這意味著對于n[TX-]=n[TX-]（x0）在x0處的外法向量有[SX（]v[]n[SX）]（x0）≤0，因此可得

[JZ][XCimage112.tif；%50%50]

這是矛盾的，因此我們有在Ω[TX-]中v≥0。特別的

[JZ][XCimage115.tif；%50%50]

對于特殊的情況c0，α0比依賴于λ，Λ

一般情況：對于xΩ有c（x）≤0。

考慮輔助函數(shù)u（x）=z（x）w（x），這里z在Ω[TX-]中是一個(gè)正函數(shù)且有待確定，直接計(jì)算w滿足

[JZ][XCimage123.tif；%50%50]

[JZ][XCimage124.tif；%50%50]

這里[XCimage125.tif；%50%50，JZ]，我們需要在Ω[TX-]中z>0使得有

[JZ][XCimage127.tif；%50%50]

[JZ][XCimage128.tif；%50%50]

或

[JZ][XCimage129.tif；%50%50，JZ]

[JZ][XCimage130.tif；%50%50]

成立

假設(shè)領(lǐng)域Ω取決于{0

[JZ][XCimage135.tif；%50%50]

如果選擇β使得β2a11+βb1≥1，則我們有

[JZ][XCimage138.tif；%50%50]

如果選擇A足夠大，有歸結(jié)到了特殊情況。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：劉海燕（1993），女，漢族，新疆烏魯木齊人，碩士，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。