偏微分方程在數字圖像處理中的運用

摘要：偏微分方程在數字圖像處理中的運用是近幾年應用數學領域發展研究的重要方向。文章在闡述偏微分方程內涵的基礎上，具體分析偏微分方程在數字圖像處理中的運用，旨在借助偏微分方程能夠有效提升數字圖像的處理成效。

關鍵詞：偏微分方程；數字圖像處理；應用

圖像是獲取信息的重要媒介，在科技的發展下，數字圖像處理技術被人們廣泛地應用到生活和社會生產中。偏微分方程是數字圖像處理的一種重要技術形式，對偏微分方程應用的分析能夠進一步拓展圖像處理的基本思路，實現對多種數學方法的綜合應用。

一、 偏微分方程概述

在圖像處理領域，偏微分方程將數學方法和圖像處理技術充分結合在一起，并將偏微分方程方法廣泛的應用到一定空間區域內，在一個偏微分方程模型中進化圖像、曲線或者曲面，通過求解這個偏微分方程能夠得到理想的數字圖像處理結果。

一個偏微分方程對變量求導數的最高階數被稱為偏微分方程的階數，數字圖像處理過程中需要應用二階偏微分方程。

二、 偏微分方程在數字圖像處理中的運用

（一） 偏微分方程在數字圖像中的降噪應用

圖像去噪最為經典的算法是高斯低通濾波器，也被人們稱作是熱擴散方程。但是從實際應用情況來看，高斯濾波器在降噪的過程中無法有效保持邊緣性的特點。由此，在此基礎上有很多學者提出了偏微分方程這一改造方式，具體應用表現在以下幾個方面：

1. 打造用各向異性擴散的偏微分方程模型

學者在熱傳導理論基礎上提出了各向異性擴散的偏微分方程圖像去噪模型（P-M方程），具體如（1）所示。

2. 打造基于能量函數優化的偏微分方程去噪模型

變分原理為原始圖像灰度信息打造能量泛函提供了重要支持，通過對能量泛函的優化能夠在一定程度上降低圖像內的噪聲。

偏微分方程在數字圖像降噪中的應用局限具體體現在以下幾個方面：第一，偏微分方程是基于局部幾何特點的一種擴散形式，經過處理之后的圖像存在塊狀效應。第二，高階偏微分方程在計算的過程中含有大量不確定的參數信息，在使用的時候無法滿足各類圖像處理需要。第三，偏微分方程在使用的過程中僅僅局限對局部數據信息的處理，經過處理的圖像信息不具備全局性的特點。

（二） 偏微分方程在數字圖像分割中的應用

圖像分割是圖像處理和計算機視覺領域研究的重要內容，結合圖像特點，圖像分割是基于邊界的一種分割體現，在具體分割操作的過程中應用到了多種混合分割方式，結合圖像分割所使用數據工具和數學模型的不同，圖像分割具體包含以下幾種內容：基于聚類的圖像分割方法；基于統計的圖像分割方法；基于數學形態學的圖像分割方法、基于偏微分方程的圖像分割方法。偏微分方程在數字圖像分割中的應用主要體現在蛇模型方面。蛇模型是基于能量變分的活動輪廓模型。蛇模型的應用意義不僅是提出一種新的分割方法，而且還對之前學者提出的獨立分層視覺計算理論應用提出了新的應用挑戰。蛇模型主要包含闡述模型和幾何模型兩種。其中，參數模型是應用一條闡述曲線來代表蛇模型的基本活動輪廓，之后通過最小能量函數的使用使得這條曲線能夠在圖像上按照一定規律進行移動，最終結合需要收縮到等待分割的目標邊界上。幾何蛇模型是曲線理論基礎上衍變發展而來的，需要應用水平集的方法來實現。

（三） 偏微分方程在數字圖像修復中的應用

圖像修復是圖像處理研究的重要課題，應用帶有選擇性擴散的保持邊緣的各向異性擴散方程替代平滑濾波方程開創了偏微分方程在數字圖像修復中的新應用領域。偏微分方程在數字圖像修復中的應用形式具體如（2）所示。

水平集曲線能量泛函優化模型：∫|Dv|（1+curvn）dx||，vIΩ=uIαΩ

Bertalmio擴散方程：I（n+1）（i，j）=In（i，j）+ΔtInt（i，j）∈Ω∪Ω（2）

偏微分方程在數字圖像修復中的應用局限表現在以下幾個方面：第一，偏微分方程僅僅適合應用在自然場景圖像處理中，對于一些擴散部分的數據信息是很難能夠在一定時間有效恢復某些信息。因此，在處理紋理圖像的時候無法保持數據信息的周期性。第二，偏微分方程模型的打造充分參考了目標區域范圍內的已知信息，通過向內部信息的擴散來實現對各類數據信息的恢復。為了能夠進一步改善圖像處理修復效果，有學者提出了具有形態不變形的聯合擴散修復模型。

三、 數字圖像處理中的偏微分方程的應用意義和未來發展前景

在社會經濟和科技的發展之下，數字圖像處理技術得到了快速的發展，在軍事、工業、農業、航空航天等多個領域都得到了應用，在廣泛應用的背景下也使得工程師加強了對數字圖像處理的關注。但是從數字圖像處理應用發展實際情況來看，在其中沒有涉及到相關數學理論，而偏微分方程在數字圖像處理中的應用則是能夠提升各類數字信息的處理質量，比如基于偏微分方程的去噪方式，通過擴散系統能夠讓模型體現出較好的光滑性特點，并確保模型能夠沿著某一個方向擴散、移動。

四、 結束語

綜上所述，偏微分方程是一種有效的數學處理工具，在數字圖像處理領域顯示出廣闊的發展前景，將偏微分方程應用到數字圖像處理中具有以下幾個方面的現實意義：第一，能夠在連續性的區域上打造模型，從而為問題的有效解決提供更多契機支持。第二，在數學研究領域上擁有豐富的偏微分方程研究理論和數值方法，在應用的過程中能夠為圖像處理理論的分析和計算提供重要幫助。第三，偏微分方程理論為物理學和流體力學領域的研究提供了重要參考支持。但是從實際應用情況來看，偏微分方程在使用的過程中也擁有自身的應用局限，在數字圖像的處理操作上仍然存在一些需要深入思考和解決的問題。

參考文獻：

[1]張茗屋，陳勝.數字圖像處理中的偏微分方程去噪模型的研究[J].信息技術，2016，40（11）.

[2]白星華，BAIXinghua.數字圖像處理中偏微分方程方法研究[J].淮海工學院學報·自然科學版，2016，25（1）：35-38.

[3]林振文.數字圖像處理中偏微分方程的應用方式[J].北京印刷學院學報，2017，25（7）：175-177.

作者簡介：

劉艷，高級講師，新疆維吾爾自治區烏魯木齊市，新疆建設職業技術學院。