排列與排列數公式教學設計

摘要：《排列與排列數公式》是高中選修2-3內容，是中學數學計數方法基本公式。本文中，在排列與排列數公式教學設計中引入探究式教學模式，用探究性的問題串引領數學概念的構建。

關鍵詞：排列；排列數；教學設計；數學概念；構建

教學過程

一、 問題引入

1. 請你例舉出一個車牌照號碼！

2. 隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容。交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有3個不重復的英文字母和3個不重復的阿拉伯數字，并且3個字母必須合成一組出現，3個數字也必須合成一組出現，字母在前，數字在后，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？

二、 鋪墊

從生活中三個簡單常見的計數問題出發，激發學生探究的興趣。

問題一：從紅、黃、藍三種顏色中選出兩種給地圖上的淮安市和南京市上色，有多少種不同的著色方案？

問題二：從1、2、3、4、5、6這六個數字中，每次取出3個不同的數字排成一個三位數，一共可以得到多少個不同的三位數？

問題三：10名同學站成一排照相，有多少種不同的排法？

第一個問題以淮安市和南京市上色作為背景，讓學生了解顏色區分地圖的背后，蘊涵了豐富的數學知識和文化，既為抽象概括排列定義，也為最后回到著色問題埋下伏筆。

第二個問題排數問題來自教材，既為抽象概括排列定義，也為后面探究二中順利加大排數問題的難度做好的鋪墊。

第三個排隊問題，排隊照片為本班10名同學，激發學生對問題本身感興趣的同時，能深入挖掘問題的本質屬性，也為后面全排列概念的順理成章地得出及課后探究中有條件的排隊做好鋪墊！

【教師提問1】：你能利用前面所學計數原理的知識解決問題嗎？

【學生探究1】：鞏固復習分步計數原理（可借助框圖直觀表示），同時會用列舉法或樹形圖把結果一一列出。

三、 特點探尋，歸納提煉

【教師提問2】：這三個問題有哪些共同特征？

【學生探究2】：引導學生得出都是分步計數問題，運算有規律，都是從若干個不同元素選出元素，選出的對象都要排序，順序不同方案不同。

難點突破：引導學生從三個問題的事情本身出發，將顏色、數字、同學抽象為元素，元素順序不同結果就不一樣。

四、 探究歸納，形成概念

排列：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列（Arrangement），這樣的所有排列的個數叫排列數。

【教師提問3】：這三個問題有無不同點？

【學生探究3】：學生探究得出全排列、選排列的定義。

五、 概念辨析，引出排列數符號

引導學生對排列定義的再理解，讓學生歸納出值得注意的關鍵詞：

（1）n個不同的元素；（2）取出m（m≤n）個元素；（3）一定的順序。

對排列定義的鞏固，判定下面問題哪些是排列問題，如果是排列數是多少？

（1）從四個男生中，任選兩名同學組成一隊參加年級乒乓球男雙比賽；

（2）從四位男同學中，任選兩位同學分別參加上下午的活動；

（3）從0～9這9個數字中，任選4個不同的數字（可重復）作為手機的密碼；

（4）從8名同學中選4人參加4×100米接力賽；

（5）圓上10個不同點，過每2個點，畫一條弦；

（6）圓上10個不同點，以其中每2個點作有向線段；

（7）1、3、5、7、11這5個質數任選兩個相乘；

（8）1、3、5、7、11這5個質數任選兩個相除；

（9）一個學生有20本不同的書，這些書以不同的方式排在一個單層的書架上；

（10）53位同學隨機選8位派往8個不同的地方參加活動，每個地方派一人。

學生爭論辨析判定后再追問，其中的排列問題各有多少個不同的排列？類比問題一、二、三用分步計數原理解決問題，分別得到：

4×3，8×7×6×5，10×9，5×4，4×3，

20×19×18×17×…×2×1，

53×52×51×50×…×47×46

【教師提問4】：結合前面的三個問題，這些排列數有哪些共同特征？

【學生探究4】：學生找出規律的同時，指出書寫繁瑣的共同點，類比小學引入乘號簡化加法運算，自然引入數學符號Amn，對比運算符號Amn更簡潔，從而體現了數學符合的簡潔美，隨之簡單介紹排列數符號的發明者法國數學家范德蒙德，體現數學豐厚的文化背景。

六、 揭示規律，導出公式

【教師提問5】：A23、A34，A410、A48，A2n、A3n表示什么？等于多少，繼續追問更為一般的Amn表示什么？等于多少？

【學生探究5】：學生獨立思考分析解決并展示。

Amn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1），（m，n∈N*，且m≤n）。

引導學生對公式的理解：

（1）從n開始依次遞減連續m個正整數的積；

（2）m、n都是正整數且m≤n；

（3）符號Amn既表示一個結果，又表示一種運算。

這樣，一個問題若是排列問題，就可用上式求出具體的排列個數。（簡化了運算過程）

說明特殊情況Ann=n（n-1）（n-2）…3×2×1。

簡單記為n！，讀作n的階乘，強調這個符號更為簡潔的同時，順提階乘符號的發明者法國數學家基斯頓·卡曼。

七、 公式應用，突出優越性

探究二：從0～6這7個數字中，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？

學生結合所學知識多角度對問題進行思考，對比分步計數原理的解題方法，突現排列優化步驟的特點，并進一步跟進對引例步驟的優化：

隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容。交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有3個不重復的英文字母和3個不重復的阿拉伯數字，并且3個字母必須合成一組出現，3個數字也必須合成一組出現，字母在前，數字在后，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？

學生獨立思考并完成優化6個步驟簡化為2個步驟，再次讓學生體會排列的優越性。

八、 強化公式，跟進新公式

學生計算排列數（1）A38；（2）A88A55；（3）A37；（4）7！4！。

【教師提問6】：學生給出答案后問，有何數學發現？

【學生探究6】：猜測出一般的結論Amn=n！（n-m）！，

根據課堂時間讓學生嘗試證明，讓學生展示并點評，否則作為課后作業，順便說明公式中如果m=n時，Ann=n！0！，Ann=n！，故規定0！=1。

九、 小結

1. 本節課我們學到了哪些基本概念和公式？

2. 研究過程中體會了哪些數學思想和方法？

3. 通過本節課的學習有哪些收獲和困惑？

參考文獻：

[1]胡松.以數學素養導引數學活動[J].數學通報，2017（1）：26-29.

[2]張先龍.基于數學核心素養的教學設計[J].數學教學參考，2017（1）：16-18.

[3]石志群.對數學核心素養幾個問題的思辨[J].教育研究與評論，2016（11）：15-21.

[4]何桂琴.高考數學邏輯推理試題分析[J].數學通訊，2017（1）：41-47.

作者簡介：

陳海波，江蘇省淮安市，江蘇省盱眙中學。