時滯切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究

趙永馳?仲福建

本文研究時滯線性切換系統(tǒng)滿足 性能條件。推導(dǎo)了當(dāng) 時，給定的條件保證時滯線性切換系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；當(dāng) 時，給定的條件滿足時滯線性切換系統(tǒng)滿足零初始條件下 性能。最后給出了給出了仿真例子，表明了時滯線性切換系統(tǒng)給出的條件是合理的，同時驗(yàn)證了時滯對切換系統(tǒng)的影響。

在工業(yè)控制系統(tǒng)中，因測量、以及采樣，而后傳輸?shù)榷嘀匾蛩爻霈F(xiàn)時滯。一方面，時滯存在會影響控制系統(tǒng)性能。另一方面，具有滯切換系統(tǒng)的有關(guān)研究也面臨巨大挑戰(zhàn)和困難，值得繼續(xù)深入探討。時滯問題造成不利系統(tǒng)特性，例如導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。故時滯切換系統(tǒng)在什么情況下是漸近穩(wěn)定的就有研究的必要。近年來有許多人研究切換系統(tǒng)，研究的成果也很多[1-4]，如確保任意切換穩(wěn)定所利用的共同Lyapunov函數(shù)方法，多Lyapunov函數(shù)方法[2，3]，平均駐留時間方法[4，5]等，也對各個方法進(jìn)行了總結(jié)與歸納[6，7]，提出了切換系統(tǒng)發(fā)展的新方向。Zmaes提出的控制理論使系統(tǒng)具有魯棒性條件，使魯棒控制得到了發(fā)展。當(dāng)確保切換系統(tǒng)穩(wěn)定時，也將干擾對系統(tǒng)的影響抑制在可控水平之下，利用切換Lyapunov函數(shù)方法和切換與脈沖奇異系統(tǒng)的解，其控制問題被推廣到H無窮控制理論，同時在延遲系統(tǒng)問題方面也有研究，例如研究了具有H無窮保性能的網(wǎng)絡(luò)切換時延系統(tǒng)， 設(shè)計(jì)動態(tài)輸出反饋控制在擾動衰減水平可控下以確保閉環(huán)時延系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。*表示對稱矩陣對應(yīng)部分。

一、 問題描述

考慮線性時間系統(tǒng)：

（1）

其中是狀態(tài)向量，是系統(tǒng)被調(diào)輸出，是一個q維擾動輸入，屬于。是滯后時間，滿足和；，；，，，，是分段常數(shù)函數(shù)。

在本文中研究時滯切換系統(tǒng)滿足問題，確保如下條件：

（1）當(dāng)時，時滯切換系統(tǒng)（1）是漸近穩(wěn)定的；

（2）令擾動，在零初始條件下，有標(biāo)量，信號z偏差符合如下要求：

（2）

二、時滯切換系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

在該節(jié)中針對時滯切換系統(tǒng)（1），研究時滯切換系統(tǒng)要符合 條件問題。

定理1 針對時滯切換系統(tǒng)（1），若存在矩陣和，，，，，，使得下面線性矩陣不等式成立

（3）

并且正定矩陣有如下關(guān)系：

（4）

平均駐留時間滿足如下條件：

（5）

故時滯切換系統(tǒng)（1）符合性能指標(biāo)。

證明：假定第i個子系統(tǒng)在區(qū)間運(yùn)行，且定義如下李雅普諾夫Krasovskii函數(shù)：

（6）

首先證明當(dāng)時，時滯切換系統(tǒng)符合條件（3）的漸近穩(wěn)定。

導(dǎo)數(shù)，根據(jù)時滯切換系統(tǒng)的軌跡，能得到：（7）

求的導(dǎo)數(shù)：

（8）

依據(jù)（7）-（8）推導(dǎo)：

（9）

根據(jù)公式（3），刪除系統(tǒng)被調(diào)輸出及外部擾動部分，得到：

（10）

把（10）代入（9），可以得到：

（11）

讓表示系統(tǒng)切換時間左極限，表示在切換之前瞬間，通過（4）和（11），獲得切換系統(tǒng)從第i子系統(tǒng)切換到第j個子系統(tǒng)情形，推導(dǎo)如下：

（12）

依據(jù)切換系統(tǒng)切換規(guī)則，當(dāng)，有如下推導(dǎo)：

（13）

又根據(jù)切換系統(tǒng)的切換序列有如下推導(dǎo)：

（14）

又由（5）有如下推導(dǎo)：

（15）

令，則根據(jù)（15）和（5）兩式，推導(dǎo)出如下：

（16）

其中是常數(shù)

從上看出，隨時間t逐漸減小，滿足條件（3）、（4）和（5）的時滯切換系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

下面考慮當(dāng)時，時滯切換系統(tǒng)具有 性能指標(biāo)，令：

（17）

從零初始條件開始，可以獲得如下：

（18）

繼而有如下推導(dǎo)：

（19）

又由可以得到：

（20）

其中：

綜合（9）和（20）兩式，可以推導(dǎo)如下：

（21）

把（21）代入（19），可以得到：

（22）

公式（3）利用Schur補(bǔ)性質(zhì)得到：

（23）

把（23）代入（22），可以得到如下推導(dǎo)：

（24）

把（24）代入（18），可以得到如下推導(dǎo)：

（25）

把（25）代入（17），可以得到如下推導(dǎo)：

因此當(dāng)時，時滯切換系統(tǒng)具有 性能指標(biāo)，定理得到證明。

假如，時滯切換系統(tǒng)具有共同的Lyapunov函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，時滯切換系統(tǒng)的各子系統(tǒng)均是穩(wěn)定的，則在任意切換信號下時滯切換系統(tǒng)是指數(shù)漸近穩(wěn)定。

三、仿真分析

例1.考慮線性時滯切換系統(tǒng)（1）有2個子系統(tǒng)，其中參數(shù)分別為：

，，，，，，，，，，，，令，，， w（t）=（ sin（t） sin（t） sin（t））T，。

根據(jù)定理1，求出和； 和。

切換規(guī)則是單數(shù)秒激活第一個子系統(tǒng)，雙數(shù)秒激活第二子系統(tǒng)，第一、二系統(tǒng)時滯依切換規(guī)則依次為=0.5，0.7，1.2，1.5，2，初值為（1；0.8；0.9），得到誤差切換系統(tǒng)的仿真圖形1所示。圖1體現(xiàn)了切換系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，總體表明切換系統(tǒng)滿足 性能指標(biāo)，表明了定理1的有效性。

又當(dāng)=2，3，4，5，得到如圖2仿真圖形?？煽闯?，時滯時間的增加，時滯切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性收斂有所放緩，表明了時滯對切換系統(tǒng)的影響。

四、結(jié)語

本文對時滯線性切換系統(tǒng)進(jìn)行研究，給出的條件保證了當(dāng) 時，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；當(dāng) 時，時滯切換系統(tǒng)滿足 性能。最后給出了仿真案例表明了系統(tǒng)給出條件有效性。同時從給出的圖形可以看出：時滯時間的增大，導(dǎo)致系統(tǒng)收斂到零有所延緩。 （作者單位為綿陽師范學(xué)院信息工程學(xué)院）

基金項(xiàng)目：四川省教育廳基金 （No.17ZB0212，16ZB0312）和綿陽師范學(xué)院基金（No.QN-2016-A05）。