對均值不等式的進一步探討

楊楚怡 管明峰

摘 要：本文通過討論均值不等式的一般形式，對調和平均數、幾何平均數和算術平均數之間的關系及其應用條件、注意事項進行了分析，以解決實際生活、生產中對這幾種平均數的誤用問題，具有一定意義。

關鍵詞：均值不等式；調和平均數；幾何平均數；算術平均數

中圖分類號：O212文獻標識碼：A

高中階段學習的均值不等式非常重要，它在高考數學命題中出現的頻率也特別高，故高中數學老師在講解這個知識點的時候都會花費大量力氣。但是，在高中階段學習均值不等式更多地是通過變換技巧來應付考試。因此，對于均值不等式的學習，還需要我們拓展研究它的一些具體應用。高中階段學習的均值不等式的形式為

2 算術平均數的選擇

在社會經濟生活、生產中，當總體單位總量一定時，且總體標志值總量是由總體中各單位標志值求和而得，則計算平均指標使用算術平均數。

例1：設某工廠有4個車間生產同一型號產品，八月份的產量分別為80臺、76臺、68臺和84臺，問八月份這四個車間的平均產量是多少？

分析：總體單位總量（車間總數）為4個，各單位標志值（每車間生產臺數）分別為80臺、76臺、68臺和84臺，總體標志值總量（總臺數）為308臺，故八月份這四個車間的平均產量為：

平均產量=3084=77（臺）

3 幾何平均數的選擇

在社會經濟生活、生產中，當討論的總比率或總速度是由各項變量值的連乘積獲得的時候，要計算對應的平均速率或平均速度，應使用幾何平均數來求。

例2：某瓷器生產廠在備好料泥以后，要依次經過成型車間、刻繪車間、施釉車間和燒制車間的處理，最終才能生產出精美的瓷器，某一月份這四個車間的生產合格率分別為98%、95%、99%和90%，求這一月份這四個車間的平均合格率？

分析：由于這四個車間生產是四道工序，是對同一對象進行處理，前一車間合格品是后一車間加工對象，四個車間的總合格率是每個車間合格率的連乘積。在這里，要使用幾何平均數處理平均合格率問題，也即：

除了例2中討論的情況外，一般在描述事物前后單位時間內的連續增長變化的環比情況時，處理平均數問題也要使用幾何平均數。比如，經濟逐年環比增長、人口逐年環比增長、復利計息問題[2]等。

4 調和平均數的選擇

從實際應用的角度看，調和平均數可由算術平均數變形得到，是由掌握不同資料對同一問題以兩種形式加以解決。故實際應用中，能使用調和平均數的地方，也常可用算術平均數來解決。

例3：有三種款式的書簽標價分別為0.1元/張、0.2元/張和0.5元/張，小明買下三款書簽分別花費1元錢，求小明買的書簽每張平均價格是多少？

分析：直接使用調和平均數來求，可得

對于調和平均數和算術平均數的關系問題，也存在不同看法，如有的學者認為從平均數的數理意義上理解，調和平均數和算術平均數是兩種不同的平均數，不存在變形的問題[3]，從數理意義上理解也有其道理，也是我們應該了解的。

5 加權平均數

在平均數應用中，經常還要考慮總體中不同個體的作用或貢獻度的區別，也就是要考慮權重因素，最常見的就是在跳水比賽中每個運動員每一跳得到的平均成績都是使用了加權平均數的處理方式。

加權平均數中的“權數”的表現形式多樣，當權數發生變化時，對應得到的結果可能會大相徑庭，這一特殊性，越來越受到人們的重視，在實踐中應用越來越廣泛，使得分析問題更公正客觀。

以上主要通過對高中階段學習的均值不等式進行進一步探討，給出一般的均值不等式的形式。對不等式中的平均數概念進行了討論，更好的明確了各平均數應用的條件，及注意的事項，為實際生產中正確使用平均數提供了較清晰的方法，防止張冠李戴，具有一定意義。

參考文獻：

[1]舒曉慧，劉建平.關于幾種平均數關系的構造法證明及推廣[J].懷化學院學報，2004，23（2）：20-21.

[2]朱艷，季桂林.淺談統計中算術平均數與幾何平均數的正確應用[J].濟南職業學院學報，2012，6：54-55.

[3]馮勝群.正確認識平均數、平均指標、集中趨勢的涵義和關系[J].江蘇統計應用研究，2001，9：13-16.

作者簡介：楊楚怡（2002-），女，安徽蚌埠人，安徽省固鎮縣第一中學高三二班學生；管明峰（1982-），男，安徽蚌埠人，理學學士，安徽省固鎮縣第一中學一級教師。