弓形蟲傳播模型的穩定性分析

任麗霞 薛亞奎

摘 要：為了研究控制弓形蟲病傳播的臨界值，對疾病進行有效預防，并進行相關的理論分析與研究，針對弓形蟲的生活史以及傳播途徑建立數學模型，分析得到了決定疾病是否繼續存在以及傳播的基本再生數，當基本再生數小于1時，疾病將逐漸消亡，最終滅絕，當基本再生數大于1時，模型存在唯一的地方病平衡點，此時疾病將一直持續下去，形成地方病。通過建立合適的Lyapunov函數等方法，給出了無病平衡點和地方病平衡點全局漸近穩定的充分條件，同時對建立的數學模型進行了系統、完整的定性和穩定性研究。研究結果對后續弓形蟲病的研究及其數學模型的建立有一定的借鑒意義。

關鍵詞：穩定性理論;弓形蟲;最終宿主;基本再生數;全局穩定性;Lyapunov 函數

中圖分類號：O175?MSC（2010）主題分類：34D20?文獻標志碼：A

文章編號：1008-1542（2018）06-0511-07

弓形蟲病是由一種剛地弓形蟲（Toxoplasma gondii）引起的人畜共患病[1-6]。貓和其他貓科動物是弓形蟲的最終宿主[2]，它寄生在這些動物的小腸上皮細胞內，形成囊合子隨糞便排出，其他哺乳類動物和鳥吃到體內發生感染，在它們組織內發育成為包囊，囊合子和包囊是弓形蟲的不同發育階段。除了終宿主以外，在其他動物體內只能進行無性繁殖，不能向外界散播它的后代。

弓形蟲病病情輕重不一，免疫功能正常的宿主表現急性淋巴結炎的較為多見，免疫缺損者，如艾滋病、器官移植、惡性腫瘤（主要為霍杰金病等）常有顯著的全身癥狀，如高熱、肌痛，并發生腦炎、胃腸炎等[7-10]。

弓形蟲多藏在被貓狗糞便污染的土壤中，生的、半生不熟的家禽類肉食中，未經消毒的羊奶中，沒洗干凈和未經過烹飪的蔬菜水果中，人類作為弓形蟲病傳播過程中的中間宿主，感染弓形蟲病的幾率是非常大的，尤其貓作為寵物被越來越多的人飼養，使得人感染弓形蟲的病例在逐年上升。弓形蟲病分先天性和獲得性2類，先天性弓形蟲病只發生于初孕婦女[11-12]，經胎盤血流傳播，受染胎兒多數表現為隱性感染，也可造成孕婦流產、畸胎或死產，尤以早孕期感染而引起的畸胎發生率高[13-14]。研究表明，嬰兒出生時出現癥狀或發生畸形者病死率為12%，而存活下來的80%有精神發育障礙，50%有視力障礙[15-16]。

1?模型介紹

根據弓形蟲的生活史以及傳播途徑，建立如下的數學模型：

t時刻的數量;E指的是環境中t時刻的蟲卵密度，由最終宿主釋放到環境中的蟲卵以及蟲卵的死亡率決定;Ai（i=1，2，3）和di（i=1，2，3）分別表示人群、中間宿主以及最終宿主的輸入率和死亡率;δ和r分別表示人群和最終宿主的治愈率;q表示宣傳措施的影響力系數，是中間宿主中可以傳染給最終宿主的比例（貓吃掉老鼠、松鼠等小動物感染弓形蟲）;m指最終宿主弓形蟲的釋放率。

2?基本再生數以及平衡點的存在性

在這一部分，給出模型（1）的基本再生數，并證明無病平衡點E0和地方病平衡點E*的存在性。

2.1?基本再生數和無病平衡點的存在性

2.2?地方病平衡點的存在性

通過對模型（2）的分析發現，后面5個方程不受前3個方程的影響，所以可以將模型（1）分成2個子模型：

3?全局漸近穩定性

在這一部分，對無病平衡點E0以及地方病平衡點E*的全局漸近穩定性進行分析。

3.1?無病平衡點的全局漸近穩定性

定理2?當R0<1時，無病平衡點E0是局部漸近穩定的，當R0>1時，無病平衡點E0是不穩定的。

3.2?地方病平衡點的全局漸近穩定性

4?結?語

弓形蟲病包括先天的和后天的2種類型，筆者主要研究了弓形蟲病傳播的數學模型，得到了基本再生數以及平衡點全局漸近穩定的充分條件。當R0<1時，疾病最終滅絕，當R0>1時，疾病將持續下去。本文在證明地方病平衡點穩定性時，不再局限于構造Lyaponov函數，而是通過研究其極限系統的方法得出結論，

對于該病存在垂直傳染的數學模型還在探討之中。現在社會上流浪貓的數量不斷增加，將最終宿主分成家養貓和流浪貓建立新的數學模型，研究流浪貓的數量變化對弓形蟲病傳播的影響將是一個新的突破，有待于進一步研究。

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