人口預測數學模型分析

孟鵬洋

摘 要：解決人口問題對國家的穩定和社會經濟的發展都有很重要的作用，因此學術界一直以來都十分關注人口預測的研究課題。本文首先選取Logistics模型對人口規律進行了描述，對未來5年的人口進行預測，再運用灰色系統GM（1，1）模型對我國的人口進行了中短期的預測。引入Leslie模型，根據需要將育齡婦女生育率進行歸一化，定義了年齡別水平，利用matlab軟件對增長矩陣進行有限次的迭代，預測出來我國的人口高峰達到的時間，并會在之后的一段時間里趨于穩定。

關鍵詞：人口預測；數學模型；分析

一、人口預測數學模型

人口預測方法體系中的數學和統計學方法一直被學術界沿用至今，下面根據研究結果分別選定Logistic模型對我國人口做短期預測；對我國人口進行中期預測時選定了灰色GM（1，1）模型；長期預測則由Leslie模型來完成。

1.Logistic模型

Logistic模型的原型是Malthus模型：學術界的增長矩陣選擇灰色GM（1，1）模型預測人口的自然增長率為固定值，即單位時間內的人口增長與人口成比例。

并且假定人口的增長按照指數增長的函數進行；其模型的離散形式為：

[ （+ ） （）] = 住？

其中 （）表示時刻的人口總數， 就是人口的自然增長率。這個模型說明人口增長一倍所需要的時間是定值，且在未來無限增長。但是當人口總數達到環境最大承載數目時，凈增長率趨于零。在這種情況下得到了預測人口增長更為合理的Logistic模型

再進行數據處理。根據中國人口總數的數據，用matlab求解該非線性擬合。得到 = 0.0678， = 0.048 ，擬合的殘差resnorm=0.0016。由繪制的Logistic的增長型函數的圖像，得出當∞時，p（t）==14.1250。

然后進行 Logistic模型誤差分析。我們通過統計年鑒等工具得到了相應的年代的人口的統計數據，然后利用matlab軟件對數據進行處理后，得到了預測值，為了更好做誤差分析，先定義誤差率為d，預測值為a，真實值為c，然后根據公式求得誤差率。

根據中國統計年鑒可以得到1989年到2005年年末的實際總人口總數，然后與函數預測的數值進行計算，我們可以得到相對應的誤差率。可以得出隨著時間的增長Logistic模型的誤差率波動呈上升的趨勢，但是該模型在短時間內的誤差值比較小，2008年以后的誤差率的數值是呈直線上升的趨勢，所以我們可以用Logistic模型對我國的人口總數進行短時間內的粗略預測并以此對2018到2023年的人口總數進行預測。

根據數據推測出未來五年全國人口的總數分別為13.25億、13.31億、13.42億、13.47億和13.52億；并且全國的總人口在未來趨近14.125億.但是由誤差率合一看到，Logistic模型適用于短期的預測，在中長期的情況下預測的效果不是很好，原因是在現代影響人口增長的因素有很多，除了環境的承載能力，還要受包括醫療水平提高、人口政策的變化，甚至是戰爭、生育觀念等因素影響，而這些都不會在數據表面體現出來，Logistic模型在這方面的缺乏降低了人口預測的精確度。

2. GM（1，1）模型的建模與預測

建立GM（1，1）模型：設為已知的原始數據序 = {}，先對原數據累加以弱化個別數據對整體的影響，生成的新表達式為=（ = 1，2…，，從而得到新序列，然后構造背景序列= （2）， （3），…， （）。一般取 = 0.5建立影子方程為 =。離散化，得到GM（1，1）灰微分方程 + = ，其中c，v待定的系數。

求解GM（1，1）模型，應用最小二乘法可經下面的式子求得記 [c，v]，[（0），（0），…，（0）]。基于matlab軟件編程求出參數c，v的值，得出預測方程（1）=[（0）]+，則還原為原始預測值。

灰色模型進行長期的預測時候，時間序列長短和數據的隨機波動都會對預測造成誤差，因此，通過對數據進行等維遞推的方法一定程度上可以消減灰色的區間，提高預測精度。等維遞補方法的原理：首先按照已有的數據列建立灰色模型并且預測出第一個數值，再將這個值添加到之后的同事間去除的第一個數值，讓它一直保持著等維度，然后再預測下一個 數值，以此類推，直到達成預測精度并完成預測目標。然后用matlab套用灰色模型的公式進行擬合并建模，為編程方便，將時間相應方程簡化為= ？ （a ？） +，根據程序輸出的結果得到原始時間響應方程，然后根據上訴方程預測2008年到2016年的人口數據。并用matlab求出模型的后驗差比值C=0.0059468506和小概率的P = 1。將C值和P值與原數值進行對比，得出該模型的擬合的精度等級為“好”，且可以從上表看到其相對誤差的變動范圍基本維持在0.1%之間.這些可以進行接下來的人口預測。

根據上述得到的時間相應方程用matlab進行數據處理，得出我國2017年到2052年人口預測值。

2017年的預測值是13.67億，并以線性的趨勢持續增長，到2023年是14.078億，2033年為14.78億，2050年突破了16億。從誤差檢驗上看，灰色模型在短期和中期的預測效果非常好，要優于Logistic模型，但是從預測值整個變動的趨勢上看，它的擬合值是呈現直線增長的方式并且長期發展下去，僅以單人口的因素進行推算而沒有考慮其他因素，這個是本模型的缺點，所以可以肯定地說灰色系統模型不適合人口長期發展的預測，其誤差也會隨著時間的推移而逐漸增大。

3.人口增長的長期預測――Leslie模型

Logistic模型能夠較好地反映短期人口增長的規律，但是限制的條件也很多，對長期的預測肯定不符合現實，因此本文引入第三個模型，Leslie模型進行人口增長的預測。