復合函數中的剝洋蔥理論

[摘 要] 以復合函數為焦點，應用生活中剝洋蔥的理論來闡述復合函數的復合原理和分解過程以及在復合函數的導數過程中的靈活理解運用。意在化抽象為具體，化復雜為簡單通俗易懂的闡析數學中的復合函數，以此更加深刻地理解復合函數的求導過程。

[關 鍵 詞] 復合函數；剝洋蔥理論；生活原理

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）11-0104-01

復合函數是函數中重要的知識點，也是函數知識中的難點。在求導數中，復合函數的求導是導數章節中的重難點。文章先從剝洋蔥事件開始，將其理論和原理用于解析復合函數的知識點。在復合函數的合成中，以剝洋蔥原理來一層層合成，使合成過程更清晰、明了、易于加深掌握。分解復合函數可以理解為從外到內一層層剝洋蔥，每次剝一層函數，剝去一層函數再剝里面一層，直到剝到最里面的基本初等函數為止。求復合函數的導數，是在復合函數的分解基礎上來理解求導。對第一層求導時，把第二層及以內看成整體，這個整體也是一個復合函數，可稱為第二層復合函數，就是說第一層關于第二層復合函數求導數，第二層復合函數當成函數自變量。對第二層求導時，把第三層復合函數看成自變量，以此類推，直到求到最里層的基本初等函數的導數為止。

所以，關于復合函數的知識點，引用剝洋蔥的生活原理，把抽象復雜的數學問題轉化為淺析的生活常識，讓數學體現于生活，生活又體現數學，生活與數學緊密聯系起來。

一、剝洋蔥理論

學習復合函數的相關知識可以運用生活中的剝洋蔥原理，剝洋蔥先撕去最外層的薄膜，再撕第二層，再撕第三層……

復合函數中的剝洋蔥理論：復合函數因為一個個函數復合累積，最后的表現形式復雜龐大；當沒有做好準備去面對復合函數時，直觀上會覺得無從下手；在解題之前先仔細思考深度探究，選用剝洋蔥理論，一層層分析處理，穩定的由外而內逐漸剖析開來，從而達到良好的解題效果，化深層高難度問題為逐漸清晰的簡單問題。

復合函數中的“剝洋蔥”的過程是一個逐漸探索的過程。首先要仔細觀察，客觀認識問題、發現問題、研究思路直至解決問題。

二、復合函數

（一）復合多個函數

將幾個基本初等函數復合成一個函數的過程，可以看成是由內而外觀察洋蔥構成的過程。如：v=x+2，u=■，y=cosu則y=cos■，y=cos■。將v=x+2看成是洋蔥的最里層，u=■看成是中間層，y=cosu是最外層，y=cos■是三層洋蔥。同理：v=3x，u=sinv，y=eu則：y=esinv，y=esin3x。v=3x是最里層，u=sinv是中間層，y=eu是最外層，y=esin3x是三層洋蔥。這樣來理解分析幾個基本初等函數復合成一個函數，簡單明了，化繁瑣為簡易，化深奧的數學為簡單的生活常識原理。

在這里值得注意的是并非任何兩個函數都可以復合. 例如，y=arcsinu和u=x2+2就不能復合，因為x2+2≥2，而y=arcsinu的定義域是[-1，1]，不是任何兩個函數都可以構成一個復合函數的。

（二）復合函數的分解

所謂的復合函數，是指以一個函數作為另一個函數的自變量。復合函數的分解就如剝洋蔥，先剝最外層，把除最外層之外里面的所有層全部看成一個整體，剝第二層的時候，把第三層及里面的層看成一個整體，剝第三層的時候，第四層和第四層以內的層看成一個整體，直到剝到最里層。要掌握好將一個復合函數分解成幾個基本初等函數，同樣可以用洋蔥理論來理解，其步驟是自外層向內層逐層分解，不能漏層。指出復合函數的復合過程時，分清楚復合函數的最外層，第二層，第三層……

如：y=sin2■是由最外層y=u2，第二層u=sinv，第三層■和第四層w=x2+1復合而成.

如：y=ln（■）是由最外層y=ln u，第二層u=tanv，第三層v=ew，第四層w=x2+2sinx復合而成，其中x2+2sinx是簡單函數，所以到第四層就是最內層了。

（三）復合函數的求導

復合函數的求導宗旨是指以一個函數作為另一個函數的自變量進行求導。復合函數的求導運用生活中的剝洋蔥原例來理解，第一步求導中，把第二層及以內的層看成一個整體，對最外層關于這個整體求導，第二步對第二層關于第三層及以內的整體求導，第三步對第三層求導，第四層及里面的層看成一個整體，直到求導到最里層關于單獨的自變量求導為止。

函數y=（1-2x）7可以看成外層和里層是由外層y=u7，里層u=1-2x兩個函數復合而成的。求導時先把最里層u=1-2x看成一個整體，外層關于里層求導后，再對里層這個函數u=1-2x關于自變量求導，則y′=y′u·u′x=7u6·（-2）=-14（1-2x）6。

對復合函數的分解比較熟練之后，可快速看出復合函數的分層，就不必寫出中間變量，直接采用由外及里，逐層處理復合關系的方式進行求導.如：y=ln sin ex是三重復合函數，則y′=■·（sin ex）′=■·（ex）′=ex·cot ex。

三、結論與建議

復合函數的學習以剝洋蔥的事例來理解，將生活原理應用于數學的學習中，這樣使難以理解的數學問題得以簡單清晰化，便于更好地理解和掌握。深奧抽象的數學學習猶于剝洋蔥，剝掉表面的最外層才能更好認識第二層，剝掉第二層，才發現第三層的美妙，剝到最里層才明白數學的周密嚴謹和偉大。每剝掉一層都會發現其中的奧妙和本質構成，層層剝落間，難以攻克的數學難題以完美解答呈現在眼前。

用淺顯易懂的生活原理表達原本復雜的數學知識，并進行了深入淺出的分析討論，用簡單的文字清楚地表達復雜的意思，是剝洋蔥理論應用于復合函數學習的宗旨，也是數學教學中的最高境界所在。

參考文獻：

[1]農建誠.復合函數求導方法教學教法探討[J].課程教育研究，2012（19）.

[2]梁婉婉，劉繼成.復合函數的可積性及應用[J].大學數學，2017（5）.

[3]曹曉斌，馬向陽.效能監察“剝洋蔥”層層內控見效益[N].中國石油報，2010-10-08.