創設情境例題培養數學能力

方開娟

[摘 要] 中職數學以能力結構為導向，強調內容的基礎性、應用性與發展性，重視學生學習的過程體驗。以空間幾何體這一章節為例，創設情境例題，旨在研究如何培養中職學生數學建模、解模、釋模的能力，提升學生用數學的思維解決實際問題的應用意識。

[關 鍵 詞] 情境實例；建模、解模、釋模能力；數學應用

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）29-0155-03

根據最新的《上海市中等職業學校數學課程標準》，當前中職數學課程的任務是讓學生通過學習獲得新的數學知識與方法，形成在未來生產生活中所必備的自覺發現數學信息、運用數學知識和數學方法解決問題的意識和能力。因此，在中職數學教學中，開展建模、解模、釋模的教學活動顯得尤為重要，它是數學知識與數學應用的橋梁，幫助學生探索數學的應用價值，產生對數學的學習興趣，培養學生的創新意識和實踐能力。

所謂數學建模、解模、釋模的能力，就是把數學和現實生活聯系起來，促進數學概念和方法的理解，讓學生學會分析各種數據，選擇和應用適當的數學方法和工具解決現實問題，形成理性思維。建模能力，即從具體情境中篩選出與數學相關的有效信息，抽象概括成數學問題，建立相應的數學模型；解模能力，即選擇解題策略，分析相關信息進行提煉、加工，找出它們的數量關系，做出解題計劃，明確解題步驟，獲得數學問題的正確結果，從而解決實際問題；釋模能力，即能在原情境中解釋解模結果的含義，對是否符合實際情境做出適用性判斷，在現實情境下對結果進行闡釋以及拓展性探索。因此，數學的建模、解模、釋模能力與現實情境中的問題具有如下關系圖[1]：

中職數學教學中有一章重要的內容是空間幾何體，與以往教材相比，新課程標準中這部分內容無論在目標的要求還是內容的選擇上，都發生了很大的變化。依據最新的課程標準，空間幾何體是建立學生空間觀念和形成幾何直覺的重要載體，教學中應該注重學生空間想象能力及識圖、畫圖、辨圖能力的培養，讓學生在實際生活中體會幾何現象的存在，并利用所學的幾何知識對現象進行解釋[2]。下面我就以空間幾何體這一章教學為例，創設情境實例數學新題，通過建模、解模、釋模進行中職數學教學改革的探索。

一、情境實例題目源自生活，化枯燥為鮮活，使學生在快樂中學習

例1：上海迪士尼六大景區之一的“明日世界”，設計上采用大量弧線和穹頂造型，頗具科幻色彩，展現了高科技未來的無盡可能。其中“創極速光輪”項目，如圖所示，是全球迪士尼樂園中最刺激的過山車項目之一。請問“創極速光輪”的一個車輪所形成的幾何體可以近似地看成是（ ）。

【建模】上海迪士尼中深受大家喜歡的“創極速光輪”的車輪，抽象成學過的簡單空間幾何體，建立數學模型。情境實例數學問題歸結為認識簡單幾何體。

【解模】以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，將矩形旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱，圓柱的上底面與下底面是全等的圓，圓柱的高與母線的長相等。所以，“創極速光輪”的車輪所形成的幾何體就可以看成是上底面和下底面都與水平面垂直的圓柱，因此選B。

【釋模】圓柱的上、下底面是全等的圓。

【設計意圖】數學題目的創設源于實際，服務于生活，旨在引導學生關注身邊的數學，從生活中發現或提出數學問題。數學解題的著力點是觀察，“觀”即看，是數學閱讀，“察”即覺察，是明察秋毫，把題目的數學“鑰匙”找到，從而解決這個問題。學生在閱讀理解題目的過程中發展自學能力，獲取知識，有效地培養學生的理解能力、思維能力、數學語言運用等方面的素養，培養對現實世界中數學現象的好奇心，培養學習數學的興趣并增強學好數學的信心，形成良好的學習習慣，提高審美情趣。

二、情境實例題目應強調學生的思維參與，激發探究性

例2：如圖所示，左邊是一款小蝴蝶配對盒玩具，右邊是一些幾何體的積木，將這些積木從形狀口中放入，培養兒童鍛煉精細動作的技能。請問下邊所給的幾何體積木中，總共有（ ）幾何體可以放入。

【建模】玩具積木就是一些簡單幾何體，將這些積木抽象成學過的簡單幾何體，建立直觀圖的數學模型。情境實例數學問題歸結為直觀圖。

【解模】一個物體，從直觀看上去的圖形，叫作直觀圖，學生需要認識正方體、正三棱柱、圓柱等的直觀圖。右圖從左到右分別是圓柱、正方體、正方體、圓柱、五角星棱柱、正三棱柱的直觀圖，其中兩個圓柱放入左圖右上方圓形的形狀口中，兩個正方體放入左圖右下角正方形的形狀口中，五角星棱柱放入左圖左上方五角星的形狀口中，正三棱柱放入左圖左下方等邊三角形的形狀口中。總共6個幾何體都可以放入相對應的形狀口中，因此選D。

【釋模】生活中需要將某件物品放置到某個固定的位置或區域，數學理論就是認識簡單幾何體的直觀圖，考查學生的發散思維和解決問題能力。

【設計意圖】設置新穎的問題情境來發現或檢測學生的創新思維的靈活性，將數學的本質隱藏在新穎的問題情境中，要求學生充分挖掘其中的信息，揭示其中的數學本質，使學生學會用數學的思維方式解決問題、認識世界，逐步認識數學的科學價值、應用價值和文化價值。

三、情境實例題目創設要得體，體現真實性，展示數學價值

例3：2016年6月16日，上海迪士尼在慶典主會場“奇幻童話城堡”前舉行盛大的開幕典禮，如圖（1）所示，歡迎國內外游客前來參觀游玩。隨后，某開發商將“奇幻童話城堡”做成了旅游紀念品冰箱貼，供游客留作紀念，如圖（2）所示。請問這款冰箱貼上的圖案是三視圖中的哪種視圖（ ）。

【建模】將生活中常見的建筑場景圖片與所學的視圖知識進行對應。情境實例數學問題歸結為三視圖。

【解模】三視圖一般能夠反映物體的真實形狀，而且能夠說明各視圖之間的對應關系及投影規律，應用非常廣泛。從物體正前方看過去，畫得的圖形叫做主視圖。本題中“奇幻童話城堡”所做成的冰箱貼圖案就是此城堡從正前方看過去所得到的主視圖。因此選A。

【釋模】主視圖可以從前方反映物體的某些特征。

【設計意圖】本題以考查學生的空間觀念為主要目標，要求學生能夠熟練進行三視圖與直觀圖的轉化，有一定的邏輯思維能力，能夠對給定的圖形性質進行反思，展現知識形成和發展的過程，為學生提供感受數學文化和體驗學習過程的機會，使學生在數學學習活動中獲得新知、培養能力、發展情感。

四、情境實例題目應揭示數學的本質，讓學生樹立在生活中發現和解決數學問題的意識

例4：如圖所示是迪士尼世界商店，坐落于上海迪士尼小鎮，它的主體外形可以看成是由圓錐和圓柱構成。測得商店的最高頂點到地面的垂直距離為15米，圓柱的底面半徑為12米，高為10米。

（1）畫出此商店的主視圖。

（2）求出此圓錐和圓柱的側面積（π取3.14，結果取整數）。

（3）開業之時，商店的圓錐形頂部外墻涂上了綠色的乳膠漆，圓柱形的外墻（除去窗子的部分）涂上了白色的乳膠漆，假設所有窗子的總面積為360平方米，外墻乳膠漆的規格為每桶5升，理論上每升乳膠漆可以涂10平方米外墻，那么至少需要購買綠色的乳膠漆和白色的乳膠漆各幾桶？（結果取整數）

【建模】如圖1，創建組合體的主視圖ABCDE，已知BC=2r=2×12=24米，AB=10米，E點到線段的CD距離為15米，求圓錐的側面積和圓柱的側面積。窗子的面積為10平方米，每桶乳膠漆5升，每升可以涂10平方米墻壁，求綠色和白色乳膠漆各需要幾桶。情境實例數學問題歸結為求圓錐和圓柱的側面積以及相關的數學計算和應用。

【釋模】商店的頂部圓錐側面積為490平方米，需要10桶綠色乳膠漆，圓柱側面積為754平方米，除去窗子的面積，需要白色乳膠漆8桶。

【設計意圖】通過貼近生活的問題情境關注應用，看學生能否靈活運用所學數學知識解決數學問題以及在解決問題的過程中進行反思，提出有建設性的思考，用數學的方式進行交流合作。建模、解模、釋模讓學生見證數學怎樣走進生活，又怎樣從生活實際中提煉出完整過程，把探索實踐的機會留給學生，把知識的形成過程還給學生。培養學生用數學觀點和方法來考察周圍事物的習慣，培養學生應用數學的實踐能力，強化學生對數學應用的領悟能力和解決能力。

五、情境實例題目數據真實，以綜合培養學生數學能力為主，讓學生提煉數學的思想方法

例5：如圖所示，是我們在飯店吃飯時餐桌上常見的沙漏，用于計算上菜的時間。

（1）假設當所有的細沙都在上半部分的容器內時，此時細沙所形成的幾何體可以近似地看成是一個 。

（2）假設當所有的細沙都在上半部分的容器內時，測得細沙最上面的截面的最大跨度是5厘米，細沙的高是6厘米，請畫出如圖所示細沙都在上半部分容器時所形成的幾何體的主視圖，并且求出細沙所形成的幾何體的體積（π取3.14，精確到0.01）。

（3）假設這款沙漏中的細沙從上到下流動的速度為0.02立方厘米/秒，飯店規定，每超時15分鐘就送給顧客一杯飲料，那么如果沙漏中的所有細沙從上半部分全部流到下半部分，飯店還沒有上菜，應該送給顧客幾杯飲料呢？（結果取整數）

【建模】沙漏中的細沙在容器的上半部分時，形成的是一個倒置的圓錐，如下圖所示，在△ABC中，AB=5，h=6，細沙從上到下流動的速度v=0.02立方厘米/秒，每超過15分鐘送一杯飲料。情境實例數學問題歸結為求圓錐的體積，并根據體積和細沙的流速，分析應該送幾杯飲料。

【解模】（1）假設當所有的細沙都在上半部分的容器內時，此時細沙所形成的幾何體可以近似地看成是一個圓錐。

（2）如下圖所示為幾何體圓錐的主視圖。

【釋模】沙漏中細沙所形成的幾何體是圓錐，整個體積大約為39.25立方厘米，如果所有細沙從上半部分全部流到下半部分，飯店服務人員還沒有上菜，按照每超時15分鐘就送一杯飲料的方案，則需要送2杯飲料。

【設計意圖】本題考查學生是否能夠把所學知識應用到現實生活情境中，是否能夠用數學知識和技能對實際問題進行解釋、分析和推理，對解答的過程和結果進行交流、檢驗和反思。數學學習要與實踐相結合，利用與生活實際有關的具體情境，使學生體驗由生活情境中抽象出來的數學問題，即學會運用數學建模、解模、釋模的思想方法，發展學生的空間觀念和推理能力，培養學生用數學思維分析世界的數學素養[3]。

建模、解模、釋模是從實際問題情境開始，運用數學知識，最后回到實際問題的螺旋式上升過程。如果我們把數學比喻成一艘船，那么船頭就是數學的源頭，是生活情境；數學解決就是船身，是知識方法；數學應用就是船尾，其實船尾對船是很重要的，強調了數學的應用價值，教師給學生的數學應該是整艘船，讓學生感受到數學是有生命力的，數學的教育是鮮活的。

在解決數學情境實例題目的過程中，通過體驗、感受、探究、應用等過程，提高數學建模、解模和釋模的能力，針對源于生活實際的情境，提高提出問題、分析問題和解決問題的能力，提高數學思考、數學表達、數學交流和合作的能力，體會數學知識內容所蘊涵的基本數學思想、方法，培養學生未來發展所需的數學素養。

參考文獻：

[1]上海市教育委員會.上海市中等職業學校數學課程標準[S].上海：華東師范大學出版社，2015.

[2]馬萍，孫萍.PISA評價對“空間幾何體”部分教學的啟示[J].數學通報，2008，47（8）：13-18.

[3]胡松.以“數學素養”導引數學活動[J].數學通報，2017，56（1）：26-29，44.