基于APOS理論的中職數學概念課教學設計探析

吳紹霞

[摘 要] 介紹APOS理論的內容及其對數學教學的啟示，并以平面向量的概念為例，提出了合理的教學設計，克服了概念教學中孤立傳授概念內容，以練代講，不能熟練運用概念、聯系概念的缺點。

[關 鍵 詞] APOS理論；平面向量；概念學習

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）11-0106-02

一、提出問題

數學概念是客觀對象的數量關系和空間形式的本質屬性的反映，是數學學科知識體系的基礎，是建構數學框架的基石。因此，數學概念的學習就是數學學習的核心。數學概念排除了對象具體的物質內容，抽象出內在的、本質的屬性。在教學中，由于數學概念的抽象性和概括性，使很多學生學起來頭疼。原本中職生的數學基礎薄弱，對抽象的概念難以理解，學習中更是難上加難。如何上好中職的數學概念課，讓學生從根本上理解概念，并掌握數學概念呢？本文以《平面向量的概念》一課為例進行探討。

二、APOS理論

20世紀90年代后，建構主義理論的教育理念迅速流行，主要觀點認為學生獲取知識是通過學習主體自主構建，而不是被動接受。APOS理論是以建構主義理論為基礎的數學學習理論。由美國的杜賓斯等人提出，主要針對數學概念的學習，從心理學的角度將學生學習數學概念的過程分成四個階段：Action（操作）階段、Process（過程）階段、Object（對象）階段和Scheme（圖式）階段。

（一）Action（操作）階段——引入

本階段是學生理解概念的基礎，通過適度的“操作活動”感受概念的背景和概念之間的關系，是感性認識階段。

（二）Process（過程）階段——概括

充分發揮學生的主體能動性，通過對前一階段的操作活動進行思考，經歷思維的內化和壓縮，在頭腦中進行描述和反思，抽象出概念的定義。

（三）Object（對象）階段——分析概念的內涵與外延，揭示概念的關系

通過對概念演化過程中資料的分析、抽象，認識概念的本質，對其賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的對象。

（四）Scheme（圖式）階段——深化

學生不斷調整自身已有的認知結構，能在與其他概念聯系中系統認識新概念，形成綜合的心理圖式。

APOS理論充分反映了個體認知數學概念的思維過程，解釋了數學概念學習的本質，對中職數學概念的教與學都具有極大的啟發意義。

三、教學設計

（一）教學內容解析

本課采用的教材是由李廣全等主編，高等教育出版社出版的數學（基礎模塊）下冊（修訂版），內容選自第七章《平面向量》的第一節平面向量的概念。

向量是集“數”“形”于一身的數學概念，典型地體現了數形結合的思想，溝通了代數、幾何與三角的聯系。教材中對向量概念的學習方式是：實際例子（不同方向的力作用于小車，產生運動的效果不同）——數形對比（數量與向量）——從過程中提煉出平面向量的概念。但由于學生對數的學習已經很熟練，對物理學中的“力”比較抽象，在學習向量時形成了負遷移，導致學生對“方向”缺乏充分的理解，不利于學生深入地掌握向量的本質，發展數形結合的思維。

（二）教學重難點

本課的教學重點是平面向量的概念，平面向量的兩個要素及幾何表示。難點是理解平面向量的概念和共線向量的概念。

重難點突破：通過3個實例層層加深學生對向量“方向”的感受，剖析實例引導學生抽象出向量的概念。通過在幾何圖形中理解、歸納出相等向量、共線向量、負向量等概念，認識向量概念的本質，也就認識到它的表達式不是唯一的，表達形式是可變的。

（三）教學目標解析

通過創設情境，結合生活中的實例，引導學生深入理解向量的兩個要素——大小和方向，理解向量的概念和幾何意義。能區分數量與向量的關系，知道數量可以比較大小，向量不可比較大小，但是向量的模也可比較大小。會根據有向線段判斷兩個向量是否是相等向量、平行向量或是負向量，從實例中抽象出向量概念的活動，培養了學生的數形結合思想和抽象概括能力，慢慢學會抓住問題的關鍵。

教學過程中充分調動學生的參與熱情，鼓勵學生通過活動、生活經驗主動地參與課堂教學的每一環節，體會向量路標作用的同時感受向量運算的力量，收獲成功的體驗。

（四）教學過程設計

依據APOS理論，本課的教學分四個階段：

1.操作階段：創設情境，問題引導

（1）活動：我是模特。要求A、B兩位學生按照給定的路線行走，請大家思考：在這個過程中，出現了什么量？它們有相同之處嗎？又有什么不同？（圖1）

（2）幫幫我：我要從A地坐公交車到B地，在公交站牌上也找到了B地，上車后司機卻讓我馬上下車。為什么？

（3）一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，水流速度為5 km/h，你能指出渡船實際航行的大概方向嗎？如果渡船想以垂直于河岸的方向航行，它需要朝哪個方向航行？（圖2）

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圖1 圖2

設計意圖：（1）現場的演示，讓學生直接觀察A、B兩位同學行走的過程，對相同的距離脫口而出，而思考不同之處及如何表達，引導學生初步了解“方向”。

（2）中“我”強調上車站點準確無誤，讓學生在生活經驗中思考“搭錯車”的失誤在哪里，加深對“方向”的體驗。

（3）并不要求學生計算出準確的答案，只需根據前兩個問題的鋪墊，對渡船的大概航行方向做出判斷，感受左右渡船航向的因素仍離不開“方向”。

通過以上的活動、比較、歸納等數學操作活動，學生對平面向量的概念有了感性的認知。

2.過程階段：對照引例，形成概念

我們可以發現，在上述例子中，A、B兩位學生雖然行走的路程相同，但是起點、重點相反；“搭錯車”的根本原因就是起點、終點的判斷出錯；渡船的實際航行速度既由作用在船上的不同量的大小確定，也與它們的方向有關。即使兩個量起點與終點間的長度相等，若是方向不同，那么它們就表示不同的量。決定這些量的要素有兩個：大小和方向，大小可用線段的長度表示，方向則由起點和終點確定，用箭頭表示。由此得出只有大小沒有方向的量稱為數量，總結出平面向量的概念：既有大小又有方向的量稱為向量，記作■或■。

設計意圖：把引例中的數學問題進行壓縮、提升，將平面向量的“有向”性特征反復強化，描述出來，把向量概念加入學生已有的認知結構中。

3.對象階段：概念剖析，鞏固強化

在本階段反復強調手寫體的向量一定要加箭頭。

基于學生對平面向量概念的初步認識，采用了課本上的2道例題。

例1.一架飛機從A處向正南方向飛行200 km，另一架飛機從A處朝北偏東45°方向飛行200 km，兩架飛機的位移相同嗎？分別用有向線段表示兩架飛機的位移。

設計意圖：強調平面向量是具有大小和方向的量。在實際問題中，要求學生正確標出東、南、西、北四個方位，用有向線段表示相應的向量，進一步熟悉向量的概念。

例2.觀察圖3中的向量■與■、■與■。

（1）說出它們的關系；

（2）若小方格邊長為1，寫出圖中各向量的模。

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圖3

設計意圖：學生能很快判斷出向量■與■所在的直線平行，模相等，方向相同；向量■與■所在的直線平行，方向相反。在引導下歸納出平行向量（共線向量）、相等向量（自由向量）、負向量等概念。寫出每個向量的模使學生對向量的大小和方向理解更為深刻。

而零向量、單位向量等特殊向量的學習讓學生對向量概念的理解上升到理性階段。

4.圖式階段：對比例題，深入解析

例3.在平行四邊形ABCD（圖4）中，O為對角線交點。

（1）找出與向量■相等的向量；

（2）找出向量■的負向量；

（3）找出與向量■平行的向量。

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圖4

設計意圖：結合平行四邊形的性質，讓學生在幾何圖形中運用相等向量（大小相等、方向相同）、負向量（大小相等、方向相反）與平行向量（方向相同或相反）的概念找出滿足條件的向量。通過對例題的分析求解，深化目標，學生最終形成自身平面向量概念的心智結構。

通過本課的學習，學生的認知結構中只能形成平面向量初始階段的圖式，今后還需要長期的學習活動（如向量的三角形法則與平行四邊形法則、線性運算、數量積等）進行完善。

緊扣本節課的重難點，布置課本第28頁練習7.1.1中3道習題，幫助學生應用知識，強化訓練。

最后進行歸納小結，布置作業。

四、設計體會

APOS理論使學生對平面向量概念的理解做了四層分析，真實反映了學生對概念學習的心智建構過程，揭示了概念學習的本質。學生對平面向量概念的學習不是線性的，而是呈循環螺旋上升的形式，在必要的地方聯想到這些概念的應用。本課基于APOS理論的教學設計，本質是“以學生為主體”的理念在課堂探究中的體現，學生在形成平面向量概念時自覺地完成了由感覺、知覺到表象，由感性認識到理性認識的過程。這種將概念形成的過程交由學生自主建構，形成新的概念并納入自身已有的概念體系的教學過程，使學生對平面向量概念理解更為深刻、有意義。

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