都是定義域“惹”的“禍”

高磊

[摘 要] 對口單招高考數學有關函數考題，學生常因忽略了定義域導致出錯失分.在單招高考數學函數復習中有針對性地訓練學生牢固樹立“定義域優先”意識，數學對口單招考試成績有效提升，考生質疑辨析能力大幅提高，有利于學生良好的數學思維品質培養，有利于學生思維能力的提高，最終達到學生思維創造性的培養。

[關 鍵 詞] 單招高考；函數；定義域；優先原則

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）08-0142-02

函數是對口單招高考數學最基本的內容之一，函數思想貫穿于整個對口單招數學學習的始終.函數三要素對應法則、定義域、值域，定義域是研究函數時不可忽略的一個重點，是函數最本質的特征，在解決問題過程中，如果忽視函數的定義域，常常會事倍功半，甚至誤入歧途.對口單招考試在函數問題研究中學生常常因忽略了定義域，導致不知不覺中“犯錯”，常常對此感到懊惱，認為自己“太粗心了”.究其原因都是忽略定義域“惹”的“禍”，下面結合對口單招迎考復習過程中的實例剖析錯因，歸納在函數復習過程中“定義域優先”原則的應用，強化學生關注定義域的解題意識，切實解決“粗心”問題，提升復習成效.

一、求函數值域時應優先研究“定義域”

例1 求函數y=4x-5+■的值域.

錯解：令t=■，則2x=t2+3.

∴y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2（t+■）2+■≥■.

故所求的函數值域是[■，+∞）.

解析：經換元后，應有t≥0，而函數y=2t2+t+1在[0，+∞）上是增函數，

則t=0時，ymin=1.

所以原函數值域為[1，+∞）.

評注：許多數學問題的求解出錯都是因忽略了函數的定義域，優先考慮定義域有利于理清解題思路，啟迪線索.

二、研究函數單調性時“定義域”優先

例2 函數f（x）=ln（4+3x-x2）的單調遞減區間是

.

錯解：[■，+∞）

分析：在定義域（-1，4）內研究單調區間，正解[■，4）.

例3 若f（x）=log2（3-ax）在區間[1，2]上遞減，求a的范圍.

錯解：由復合函數的單調性知f（x）=log2（3-ax）在區間[1，2]上遞減，則有a>0.

分析：f（x）=log2（3-ax）在區間[1，2]上遞減時蘊含著f（x）=log2（3-ax）在區間[1，2]上有意義，即a>03-ax>0對x∈[1，2]恒成立，則a>0a<■min，解得0

例4 （2013年江蘇對口單招22題） 設二次函數f（x）=ax2+（b-2）x+2b-3a是定義域在[-6，2a]上的偶函數.

（1）求a，b的值；

（2）解不等式（■）f （x）>2-2x；

（3）若函數g（x）=f（x）+mx+4的最小值為-4，求m的值.

解析：（1）函數f（x）在[-6，2a]上為偶函數，優先考慮定義域關于原點對稱，則得a的值；（2）略；（3）學生在求函數g（x）的值域時容易誤認為定義域為R，忽略f（x）的定義域而導致在解題過程中分析問題不全面，造成無謂丟分.

評注：在研究有關問題中有定義域優先原則的意識，能夠充分挖掘題目中的隱含信息即定義域優先原則有“顯隱功能”.

三、研究函數奇偶性時“定義域”優先

例5 判斷函數f（x）=（x+1）■的奇偶性.

解：要使f（x）有意義，則■≥0，解得-1

很好地巧用函數的定義域優先法則，既提高了解題思維的敏捷性，又可以避免復雜的變形與討論，使問題簡潔獲解.

例6 判斷函數f（x）=■的奇偶性.

解：因為函數定義域為[-■，0）∪（0，■]關于原點對稱，

所以f（x）=■，則f（-x）=-f（x），所以函數f（x）為奇函數.

評注：在研究有關問題中有定義域優先原則的意識，能夠充分挖掘題目中的隱含信息即定義域優先原則有“化簡功能”.

四、研究極值、最值時“定義域”優先

例7 若函數f（x）=x+■+ln x，試討論函數f（x）的極值存在情況.

解：f ′（x）=1-■+■=■（x>0） 令g（x）=x2+x-a，

因為g（x）對稱軸x=-■<0，所以只需考慮g（0）的正負，

當g（0）≥0即a≤0時，在（0，+∞）上g（x）≥0，即f（x）在（0，+∞）單調遞增，無極值.

當g（0）<0即a>0時，g（x）=0在（0，+∞）是有解，函數f（x）存在極值.

綜上所述：當a>0時，函數f（x）存在極值；當a≤0時，函數f（x）不存在極值.

例8 求函數f（x）=sin x+■，x∈（0，π）的最小值.

解析：本題若忽略定義域特別是sin x∈（0，1]，換元后容易誤用基本不等式求最小值.實質上換元后用導數法判斷單調性，由單調性求最值.

評注：若忽略定義域則需繁雜的討論，解題中需充分挖掘定義域的“顯隱功能”.

五、研究函數在實際問題應用中“定義域”優先

在用函數方法解決實際問題時，必須注意到函數定義域不僅要滿足函數關系式有意義，還要滿足實際問題本身有意義即實際問題對函數定義域的影響.比如函數自變量為人數時，就要考慮定義域為某個范圍內的整數。

六、解對數不等式時“定義域”優先

例9 解不等式log2（8-2x-x2）≤3.

錯解：∵log2（8-2x-x2）≤log28

∴8-2x-x2≤8，得不等式解集為（-∞，-2]∪[0，+∞）.

因忽略定義域，而容易導致以上錯解，解對數不等式應在定義域的范圍內求解即所求范圍與定義域取交集.因此在解對數不等式時，要有定義域優先原則的應用意識.

綜上，在求解函數的解析式、值域、單調性、奇偶性等有關問題中，要密切關注函數的定義域，牢固樹立“定義域優先”意識.先研究挖掘隱含條件對函數定義域是否有影響，對解題過程是否有影響，有利于學生質疑辨析能力的提升，有利于學生思維品質的培養，逐步培養學生的數學思維能力，最終實現學生思維的創造性培養.