函數定義域的若干求法

吳香娥

[摘 要] 函數是中學數學中最重要的概念之一，而定義域作為函數的三要素之一尤為重要。介紹了函數定義域的類型和求法，目的在于使學生能夠全面地認識定義域，深刻地理解定義域，并能學會如何求定義域及會解與定義域有關的題，提高學生的數學思維能力。

[關 鍵 詞] 定義域；類型；集合

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）08-0070-01

函數的定義域是函數的三要素之一。而函數的定義是：設集合A和B集合是兩個非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為集合A到集合B的函數。記作y=f（x），x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域。

函數的定義域是使函數有意義的自變量取值的集合，它是函數不可缺少的組成部分，研究函數問題必須樹立“定義域優先”的觀念。注意定義域必須寫成集合的形式。

題型一、求給定函數解析式的定義域

求給定函數的定義域往往轉化為解不等式（組）的問題，在不等式（組）取交集時可借助于數軸。

解答的主要依據有：

1.分式的分母不為0；

2.偶次根式的被開方數大于等于0；

3.零次冪的底數不為0；

4.對數的真數大于0；底數大于0且不等于1；

5.正切函數f（x）=tanx（x≠k？仔+■ k∈Z）

6.實際問題對自變量的限制；

7.若函數由幾個式子構成，求其定義域時要滿足各式子都有意義。（取交集）

定義域問題的兩個易錯點為：忽略定義域；化簡后求定義域。所以在解題時，要時時考慮定義域是什么，不能忽略。否則會解答不出。還有，切記不能化簡后求定義域。

下面用幾道例題來說明這種題型的解法。

例1.求函數f（x）=■的定義域。

解：要使函數有意義，須使x+1-2≠0 （1）x2-3x-4≥0 （2）

由（1）得：x+1≠2，即x+1≠2或x+1≠-2

∴x≠1或x≠-3

由（2）得：方程x2-3x-4=0的根為：-1，4

∴x≥4或x≤-1

∴函數的定義域為：x■x≥4或x≤1且x≠-3

例2.函數f（x）=■的定義域是 .

解析：要使函數有意義，須使2-x≥0x>0lgx ≠0即x≤0x>0x ≠1

∴0

函數f（x）的定義域為（0，1）∪（1，2]∴

例3.函數f（x）=tan（2x-■）的定義域是

解析：要使函數有意義，須使2x-■≠■+k？仔 k∈Z

即：2x≠■+k？仔 k∈Z

x≠■+■ k∈Z

∴函數的定義域為：x│x≠■+■ k∈Z

題型二、求抽象函數的定義域

注意：1.函數的定義域是指自變量x的范圍；

2.法則相同，范圍一致。

（1）已知f（x）的定義域為A，求f[g（x）]的定義域。

可通過解關于g（x）∈A的不等式，求出x的范圍。

例1.已知f（x）的定義域為[1，2]，求f（2x+1）的定義域。

解：∵f（x）的定義域為[1，2]

∴1≤2x+1≤2 即0≤2x≤2 ∴0≤x≤■

∴f（x）的定義域為：[0，■]

（2）已知f[g（x）]的定義域為A，求f[u（x）]的定義域。

可由x∈A，求g（x）的范圍（y=g（x）的值域B）。再通過解關于U（x）∈B的不等式，求出x的范圍。

例2.已知f（2x-1）的定義域為[-1，1]，求f（3x+2）的定義域。

解：∵f（2x-1）的定義域為[-1，1]

∴-1≤x≤1 即-2≤2x≤2 ∴-3≤2x-1≤1

于是，-3≤3x+2≤1 即-5≤3x≤-1 ∴-■≤x≤-■

∴f（x）的定義域為：[-■，-■]

題型三、已知定義域確定參數問題

例 已知f（x）=■的定義域為R，求a的取值范圍。

解：將逆向思維化歸為順向思維

原函數有意義？圳ax2+4ax+3>0 （*）

f（x）的定義域為R？圳ax2+4ax+3>0對x∈R恒成立。

當a=0時，（*）為3>0，恒成立。

當a≠0時，（*）恒成立？圳a>0Δ=（4a）2-12a<0？圳0

綜上所述，a的取值范圍：[0，■）

總之，函數的定義域是求解函數一切問題的基礎，解決函數的一切問題必須認真考察函數的定義域，學會并掌握求函數定義域的常用方法，是學習好函數有關知識的關鍵所在。

參考文獻：

何志平.高中創新學習[M].中國人民大學出版社，2002.