上證綜合指數(shù)波動率的建模分析

林晨

緒論

（1）課題的背景、研究意義

1.1.1收益率

收益率指的是投資者在進(jìn)行一項投資時所獲得的回報率。假設(shè)是標(biāo)的資產(chǎn)在時刻的價格。

當(dāng)期簡單收益率：若投資者持有某種標(biāo)的資產(chǎn)，持有期從第t-l天到第f天，則對應(yīng)的簡單收益率為：

其中：P_t= InP_t在實際的金融實踐分析過程中，我們經(jīng)常是利用連續(xù)復(fù)合收益率，這是因為連續(xù)復(fù)合收益率有著簡單收益率所不具備的特點，而這些特點是金融研究中需要具備的。首先，連續(xù)復(fù)合收益率比簡單收益率更能夠反映資產(chǎn)的收益情況。其次，連續(xù)復(fù)合收益率具有一些更好處理的統(tǒng)計性質(zhì)，方便我們進(jìn)行一些金融研究。

（2）波動率

波動率是在金融交易中的一個重要指標(biāo)，它是資產(chǎn)收益率的條件標(biāo)準(zhǔn)差，是在金融衍生品的定價中扮演著重要的角色。然后，由于波動率的一個特殊的性質(zhì)，它是不能夠被直接的觀測的，于是這對異方差模型的預(yù)測帶來一定影響。

股票收益率ARMA模型

（1） AR模型

其中：p是非負(fù)整數(shù)。

（2） MA模型

滑動平均模型在金融收益率的建模過程中具有很重要的作用，是另一種簡單模型。移動平均模型：將白噪聲過程進(jìn)行推廣或者將白噪聲過程看做一個自變量滯后相應(yīng)時期的模型。

一階滑動平均模型（MA（1）模型）：

（3） ARMA模型

在我們實證分析的過程中，我們會發(fā)現(xiàn)單一利用AR模型以及MA模型，其實在刻畫真實數(shù)據(jù)時效果并不是很好的。從而，學(xué)者們就需要建立更好的模型來刻畫一些數(shù)據(jù)，通過結(jié)合AR模型以及MA模型，有幾位學(xué)者建立了自回歸滑動平均模型（ARMA模型）。在實際的金融研究過程中，我們一般不需要直接利用ARMA模型來描述收益列序列，但在波動率建模的過程中ARMA模型扮演很重要的角色。對于最簡單的自回歸滑動平均模型ARMA（1，1），有：

股票收益的波動率模型

（1）經(jīng)典的標(biāo)準(zhǔn)差模型

我們這里所講的標(biāo)準(zhǔn)差是資產(chǎn)收益率的條件標(biāo)準(zhǔn)差，也就是資產(chǎn)收益率的波動率。波動率建模過程中，我們經(jīng)常會運用經(jīng)典的標(biāo)準(zhǔn)差模型，這些模型有著各自的特點，在做參數(shù)估計時有著不同效果，有著各自的優(yōu)缺點，需要我們在建模分析過程中充分利用好這些模型。下面簡單介紹一下不同波動率模型的提出者。

（2）股票等金融資產(chǎn)波動率的常見特性

股票等金融資產(chǎn)波動率并不能被直接觀測的，例如，在計算金融資產(chǎn)波動率時，我們一般只需要交易日的每日收盤價。雖然波動率并不能被直接觀測的，但我們能夠在資產(chǎn)收益率的時間序列里看到波動率的一些特征。

1.波動率時間序列存在波動率聚集。金融資產(chǎn)如股票價格或者是本文所研究的上證綜合指數(shù)在大的波動之后還存在大的波動，而小的波動之后往往是伴隨著小的波動的，在圖像上呈現(xiàn)m來的是在一段時間內(nèi)表現(xiàn)為高波動率，而在有的時候就會出現(xiàn)一定的低波動率。很多的金融市場都存在波動率聚集的，A股市場亦是如此的。

2.波動率的時間序列在實際過程中一般都是連續(xù)的，波動率間斷比較難得出現(xiàn)，上下波動跳躍也是很難得見到的，這樣為分析波動率有一定的好處。

（3） ARCH、GARCH模型

3.3.2 GARCH 模型

比較ARCH模型，可以看出 GARCH模型比ARCH模型的表達(dá)式更加復(fù)雜，從而在刻畫金融資產(chǎn)收益率的波動率時，能夠更好的描述這一過程。

上證綜合指數(shù)收益率、波動率建模分析

要對上證綜合指數(shù)收益率、波動率進(jìn)行建模分析，那么必然需要下載建模過程中所需的數(shù)據(jù)。于是，我們先在網(wǎng)易財經(jīng)中找出上證綜合指數(shù)的歷史數(shù)據(jù)，一般我們只需要下載近幾年上證綜合指數(shù)的收盤價就夠了。

（1）上證綜合指數(shù)收益率ARMA建模實證

從網(wǎng)易財經(jīng)中下載的上證綜合指數(shù)收盤價并不能直接使用，需要我們先進(jìn)行數(shù)據(jù)的預(yù)處理。這里我們選取的時間區(qū)間為：2016年7月25日到2017年1月18日，共有120個樣本數(shù)據(jù)。

根據(jù)Box-Jenkins的理論研究，在建模的步驟中需要如下進(jìn)行：首先，我們需要判斷原始數(shù)據(jù)時間序列的平穩(wěn)性，這是因為不同時期上證綜合指數(shù)的波動性是不同。若時間序列是不平穩(wěn)，原序列不能夠直接用來建模分析，需要利用差分變化等方式使得時間序列滿足平穩(wěn)性條件。

第一步：打開Eviews8軟件，點擊Open a Foreign （such as），點擊View-Graph-Line graph，得出了原始數(shù)據(jù)

從圖1我們可以發(fā)現(xiàn)，這一時期內(nèi)的上證綜合指數(shù)的波動還是較大，也就是說時間序列是不平穩(wěn)的。畫出一階差分后的序列圖，rt為收益率數(shù)據(jù)的時間序列，輸入代碼：series dx=d（ rt），生成一個一階差分序列，再畫m一階差分序列的折線圖，如下圖所示：

從圖2中，我們可以看出：對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一階差分之后的一階差分時間序列在一定程度上是平穩(wěn)的。然而，這僅僅只是我們從圖中直接觀察得出的初步結(jié)論，要知道其是否是平穩(wěn)序列，我們?nèi)赃€需要進(jìn)行ADF檢驗。

利用Eviews8對一階差分序列做單位根的檢驗，需要如下操作：選取一階差分序列dx，點擊View-Unit RootTest-lst difference-OK，得出結(jié)果，如下圖所示：

從圖3中，我們可以看出： ADF的t值為-7.848756，在1%、5%、10%的置信水平下的t值分別為-3.489659，、-2.887425、-2.580651。7.848756要大于3.489659， 2.887425，以及2.580651，從而我們可以根據(jù)這一對比得出拒絕原假設(shè)，因此該一階差分序列是平穩(wěn)的。

第二步：在對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一階差分后，得出了一個平穩(wěn)序列，即完成了平穩(wěn)性處理。于是，接下來我們需要求ACF和PACF等一些能夠描述序列特征的相關(guān)統(tǒng)計量，然后再利用AIC準(zhǔn)則來確定ARMA模型的階數(shù)P和Q。

求ACF和PACF的操作方式如下所示：第一種方式（菜單方式），點擊X序列，選擇菜單中的View--Correlogram，在跳出的對話框中選擇Level和lstdifferent.第二種方式（命令方式），在命令框中輸人命令：ident rt.同樣在跳出的對話框中選擇Level和lst different。下圖即所求的ACF和PACF：

從圖4中，我們可以觀察到：上證綜合指數(shù)收益率數(shù)據(jù)的相關(guān)圖并不是急劇變化的，而是一步步慢慢衰減的，因此收益率時間序列便是一個不平穩(wěn)序列，與我們最初的直觀判斷是一致的。

第三步：在選取模型的階數(shù)的過程中，我們一般是利用ACF和PACF的截尾性，即是否截尾或者拖尾來確定。若我們選擇AR模型：應(yīng)當(dāng)根據(jù)ACF是拖尾的，PACF是截尾的；若我們選擇MA模型：應(yīng)當(dāng)根據(jù)ACF是截尾的，PACF是拖尾的；若我們選擇ARMA模型：應(yīng)當(dāng)根據(jù)ACF和PACF都是拖尾的。根據(jù)上圖所示，ACF以及PACF無截尾性，因為我們選擇ARMA模型。接著，我們需要利用t值以及AIC法則來確定ARMA模型滯后性的P與Q。

在數(shù)據(jù)擬合的過程中，P和Q的取值一般都只取1或者是2，一般很少有取值超過2的。利用Eviews8分別得出四個模型的估計結(jié)果，具體步驟：在主窗口中點擊Quick--Estimate Equation，然后再Equation specification的窗口下分別輸入：dxma（l）ar（l）； dxma（l）ar（2）；dxma （2） ar （1）； dxma （2） ar （2）.分別得出以下四種結(jié)果：

ARIMA（1，1，1）中AR （1）的t值為-0.3 86162，p值為0.7001，AR （2）的t值為-66.11124：

ARIMA（1，1，2）中AR （1）的t值為-71.74361，P值近似為0，MA （2）的t值為-46.79320，P值也近似為0。

ARIMA（2，1，1）中AR （2）的t值為-0.301777，P值近似為0.7634，MA（1）的t值為-106.4222，P值近似為0。

ARIMA（2，1，2）中AR （2）的t值為0.689724，P值近似為0.4918，MA（1）的t值為-801157，P值為0.4247。

根據(jù)上圖的四個實驗結(jié)論，我們能夠發(fā)現(xiàn)：ARIMA（1，1，2）中AR模型和MA模型都通過了檢驗，而ARIMA（1，1，1），ARIMA（2，1，1）以及ARIMA（2，1，2）這三個模型擬合效果相對較差，因此我們就利用了ARIMA（1，1，2）模型。

結(jié)論分析：在對上證綜合指數(shù)收益率ARMA建模實證分析過程中，根據(jù)Box-Jenkin建模思想，首先對收益率進(jìn)行平穩(wěn)性分析，若該時間序列是不平穩(wěn)的，我們需要對不平穩(wěn)序列做差分變化，使得時間序列滿足平穩(wěn)性條件。通過以上的實證分析，我們可以知道所取時間段的上證綜合指數(shù)收益率序列是不滿足平穩(wěn)性條件的，這里我們選擇做一階差分變化，得出了一個一階差分序列。接著，得出收益率時間序列的ACF以及PACF。

（2）基于標(biāo)準(zhǔn)差的金融資產(chǎn)波動率實證

在實際的金融研究過程中，方差或者標(biāo)準(zhǔn)差通常是用來衡量金融資產(chǎn)價格變動的一個重要指標(biāo)，標(biāo)準(zhǔn)差同樣也用來做為風(fēng)險測度的標(biāo)準(zhǔn)。標(biāo)準(zhǔn)差用符號σ表不，計算標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

其中：Ⅳ表示研究數(shù)據(jù)的個數(shù)；μ表示樣本均值，這里指的是所選取樣本上證綜合指數(shù)收益率的均值。

波動率是金融資產(chǎn)收益率的條件標(biāo)準(zhǔn)差，反映了標(biāo)的資產(chǎn)投資回報率的變化程度，波動性代表了未來價格取值的不確定性。上證綜合指數(shù)同股票價格一樣，上證綜合指數(shù)的波動程度代表了上證市場的風(fēng)險變化。本文中，我們將基于標(biāo)準(zhǔn)差對上證綜合指數(shù)波動率和深證綜指波動率進(jìn)行實證分析。

第一步：首先從網(wǎng)易財經(jīng)網(wǎng)站中分別下載上證綜合指數(shù)和深證綜指的收盤價的歷史數(shù)據(jù)，由于歷史數(shù)據(jù)較多，于是我們就研究最近一段時間兩個綜合指數(shù)的實際波動狀況。選取的時間區(qū)間為：2016年3月29日到2017年1月18日，共200個收盤價的歷史數(shù)據(jù)。

第二步：先利用excel，根據(jù)收益率的計算公式分別求兩個綜合指數(shù)的收益率，這樣我們分別得出了上證綜合指數(shù)和深證綜指收益率的時間序列，每個綜合指數(shù)都有199個收益率數(shù)據(jù)。

第三步：利用標(biāo)準(zhǔn)差計算公式求各自收益率的均值，上證綜合指數(shù)收益率的平均值計算公式為：

根據(jù)公式（4.2.5），我們計算出了上證綜合指數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.008695211，深證綜指的標(biāo)準(zhǔn)差為0.012497197。

結(jié)論分析：在基于標(biāo)準(zhǔn)差的金融資產(chǎn)波動率實證分析過程中，本文通過計算上證綜合指數(shù)和深證綜指的標(biāo)準(zhǔn)差來判斷這兩個綜合指數(shù)的變化程度。我們知道：如果計算得出的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值大，則可以表明該時間序列的偏離程度大，即該組數(shù)據(jù)穩(wěn)定性不好。通過上述的分析，上證綜合指數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比深證綜指的標(biāo)準(zhǔn)差要小很多，這就表明了深證綜指的變化程度越大，越不穩(wěn)定。而且，我們還可以看出，上證綜合指數(shù)和深證綜指收益率都是正，說明在所選取的這一時期內(nèi)，我們投資上證綜合指數(shù)和深證綜指都可以獲利。

（3）基于ARCH模型、GARCH模型描述波動率實證

4.3.1 基于ARCH模型描述波動率實證

這里，我們選擇ARCH模型來刻畫所研究對象的波動性。以上證綜合指數(shù)為研究對象，從網(wǎng)易財經(jīng)中獲取所需的歷史數(shù)據(jù)，一般只選取收盤價，選取時間段為2015年5月1日到2017年1月18日共500個日收盤價。用P表示收盤價，則{P_t}為此收盤價的時間序列。根據(jù)以相鄰兩個交易日收盤指數(shù)的對數(shù)一階差分公式來計算出上證綜合指數(shù)收益率，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：