四則運(yùn)算解數(shù)列通項(xiàng)

王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學(xué)，浙江 紹興 311824)

四則運(yùn)算解數(shù)列通項(xiàng)

王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學(xué)，浙江 紹興 311824)

數(shù)列的通項(xiàng)是分析數(shù)列問題的基礎(chǔ).在中學(xué)數(shù)學(xué)中，主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列.但在實(shí)際求解數(shù)列問題時(shí)，我們經(jīng)常遇到遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng).

歸納；遞推；方法

數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容之一，也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn).數(shù)列通項(xiàng)的求解對(duì)學(xué)生而言總覺得有所困難，尤其是給出一些復(fù)雜的遞推關(guān)系時(shí)更是不易.文中主要通過用四則運(yùn)算(+-×÷)對(duì)一些常見遞推題型進(jìn)行剖析與講解，從中學(xué)會(huì)如何入手求解數(shù)列通項(xiàng)問題.

一、“+”型

例1 已知數(shù)列{an}滿足an-an-1=n(n≥2)且a1=1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析由于要求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，只要將遞推式中的an-1消去即可，可利用遞推性質(zhì)將其逐一遞推消去.

解根據(jù)題意：an-an-1=n，

an-1-an-2=n-1，…，a2-a1=2.

通過迭加方法得：

歸納：一般地，若數(shù)列{an}滿足“an-an-1=f(n)”的形式，經(jīng)常可以通過迭加可以將中間各項(xiàng)消去得到有限項(xiàng)的關(guān)系式.特別地，當(dāng)f(n)為常數(shù)時(shí)，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，正如等差數(shù)列求通項(xiàng)通過迭加來實(shí)現(xiàn).

變式an-Aan-1=f(n)(n≥2)型

an-Aan-1=f(n)，A(an-1-Aan-2)=Af(n-1)，A2(an-2-Aan-3)=A2f(n-2)，…，

An-2(a2-Aa1)=An-2f(2).

通過各項(xiàng)迭加即可得到：

an=f(n)+Af(n-1)+A2f(n-2)+…+An-2f(2)+An-1a1.

分析還發(fā)現(xiàn)，2016年診療費(fèi)次均費(fèi)用構(gòu)成比呈現(xiàn)較大幅度上升，較2014～2015年相比，2015～2016年診療費(fèi)結(jié)構(gòu)變動(dòng)情況已由負(fù)向轉(zhuǎn)變?yōu)檎颉＿@在一定程度上反映了該院臨床診療規(guī)范方面仍存在一定不足，可能會(huì)對(duì)醫(yī)療衛(wèi)生資源造成不必要的浪費(fèi)。因此，醫(yī)院應(yīng)配合衛(wèi)生部門盡快建立合理科學(xué)的單病種臨床路徑，規(guī)范疾病分類系統(tǒng)，以便準(zhǔn)確地測(cè)算各種病種的標(biāo)準(zhǔn)成本，建立診療規(guī)范體系[15, 16]；與此同時(shí)，院方還應(yīng)對(duì)醫(yī)生加強(qiáng)臨床路徑相關(guān)知識(shí)的培訓(xùn)與教育工作，提高醫(yī)生對(duì)臨床診療規(guī)范的認(rèn)同感，以確保臨床路徑得以有效開展與實(shí)施，從而控制診療費(fèi)用合理增長(zhǎng)。

二、“-”型

例2 已知數(shù)列{an}對(duì)n≥1都有a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析求出數(shù)列的通項(xiàng)，只需要消去左邊前面的n-1項(xiàng)即可達(dá)到.

解由于a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2).

故a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1

=n(n-1)(n+1).

通過作差得：nan=3n(n+1)，

化簡(jiǎn)得：an=3n+3.

歸納：一般地，若數(shù)列{an}滿足“f(1)a1+f(2)a2+…+f(n)an=g(n)”的形式，經(jīng)常可以通過作差的思想方法來求解.特別地，當(dāng)f(n)為常數(shù)時(shí)，就轉(zhuǎn)化為數(shù)列中的一個(gè)重要題目，即已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,求通項(xiàng)an.

三、“×”型

分析由于題目中相鄰兩項(xiàng)存在比值，故可考慮用乘法思想來消去中間項(xiàng).

解由于(n-1)an=nan-1對(duì)任意n≥2的自然數(shù)都成立，則(n-1)an=nan-1，(n-2)an-1=(n-1)an-2，…，2a2=a1.

通過對(duì)上述n-1個(gè)式子相乘可得：an=na1，由于a1=2，故an=2n.

歸納：一般地，若數(shù)列{an}滿足“an=f(n)an-1”的形式，可考慮通過乘積的思想方法來求通項(xiàng)公式.特別地，當(dāng)f(n)為常數(shù)時(shí)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，正如教材等比數(shù)列求通項(xiàng)是通過累乘來實(shí)現(xiàn).假如數(shù)列各項(xiàng)為正，本題還可通過兩邊取對(duì)數(shù)，即lgan=lg[f(n)an-1]，轉(zhuǎn)化為lgan-lgan-1=lgf(n)，利用迭加來求解通項(xiàng).

四、“÷”型

例4 已知數(shù)列{an}滿足a1a2…an-1an=n2+n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析求出通項(xiàng)，只要消去前面n-1項(xiàng)即可.

解根據(jù)題意：a1a2…an-1an=n2+n，則a1a2…an-2an-1=(n-1)2+n-1.

歸納：一般地，若數(shù)列{an}滿足“a1a2…an-1an=f(n)”的形式，可考慮通過除法的思想方法來求數(shù)列通項(xiàng)公式.

通過對(duì)上面四種簡(jiǎn)單遞推式的分析發(fā)現(xiàn)其中采用的方法絕大多數(shù)與教材中的求解等差數(shù)列與等比數(shù)列的思想方法類似，正如平時(shí)所講解決問題的方法總會(huì)來源于我們的教材.

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(必修)數(shù)學(xué)4(A版)[M].北京：人民教育出版社，2014.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0049-02

2017-07-01

王蘇文(1975.7- )，男，浙江省紹興人，中學(xué)高級(jí)，大學(xué)，從事數(shù)學(xué)解題教學(xué).