數(shù)學(xué)教學(xué)如何合理運(yùn)用數(shù)學(xué)中的對(duì)稱方法

高尚斌

[摘 要] 現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中對(duì)稱方法的內(nèi)容比比皆是。教師如何挖掘教材中蘊(yùn)含體現(xiàn)對(duì)稱方法的內(nèi)容，并通過一定的教學(xué)手段和學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)直觀形象地概括，歸納所涉及內(nèi)容的對(duì)稱性質(zhì)，這樣才能使數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練與數(shù)學(xué)方法的培養(yǎng)有機(jī)地結(jié)合，才能合理達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

[關(guān) 鍵 詞] 對(duì)稱方法；數(shù)學(xué)教學(xué)；合理運(yùn)用

[中圖分類號(hào)] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2018）07-0146-01

一、對(duì)稱方法的背景

自然辯證法告訴我們：世界上的萬事萬物都處在運(yùn)動(dòng)變化中。運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，靜止是相對(duì)的。許多事物的運(yùn)動(dòng)變化狀態(tài)呈現(xiàn)出各種各樣的對(duì)稱特征。例如，一些植物的葉片、動(dòng)物的形體；中國古代的建筑設(shè)計(jì)、工藝美術(shù)圖案；天體的固有周期運(yùn)動(dòng)相對(duì)于時(shí)間；地理學(xué)中的經(jīng)度與時(shí)差；大量的平面圖形，空間幾何圖形相對(duì)于基本元素——點(diǎn)、線、面，呈現(xiàn)的對(duì)稱等。運(yùn)用數(shù)學(xué)理論和方法定量精準(zhǔn)地刻畫數(shù)學(xué)問題中的對(duì)稱性便產(chǎn)生了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱方法。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何有效合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)中的對(duì)稱方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)和創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)能力具有十分重要的意義。

二、根據(jù)圖形對(duì)稱的特征，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)

1.在《平面幾何》的教學(xué)中，我們把具有軸對(duì)稱性質(zhì)的一類圖形（如等腰三角形、等腰梯形、圓等）要求學(xué)生通過畫圖—折疊—剪紙等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，探索發(fā)現(xiàn)圖形關(guān)于某直線（對(duì)稱軸）兩旁的部分能完全重合。同樣，把具有中心對(duì)稱特征的圖形（如平行四邊形、圓、雙曲線等）通過翻轉(zhuǎn)180度能夠與原來的圖形重合。通過數(shù)學(xué)活動(dòng)使學(xué)生加深了對(duì)軸對(duì)稱、中心對(duì)稱概念的理解和認(rèn)識(shí)，為進(jìn)一步探求兩類圖形的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。

2.在《平面解析幾何》的教學(xué)中，為了通過方程討論曲線（或直線）的性質(zhì)，我們可以將具有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱和坐標(biāo)軸對(duì)稱的曲線對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程（例如，圓、橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程）引導(dǎo)學(xué)生通過分析方程中變數(shù)x與y具有的輪換對(duì)稱不變性，利用這個(gè)特征通過對(duì)方程的討論得出它們既是中心對(duì)稱（原點(diǎn)對(duì)稱）圖形又是軸對(duì)稱（坐標(biāo)軸對(duì)稱）圖形的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)與形的完美統(tǒng)一。

3.在二項(xiàng)式定理的教學(xué)中，利用對(duì)稱方法引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)具有等距對(duì)稱性，得出二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。

三、根據(jù)數(shù)學(xué)問題中字母或變量系數(shù)具有的對(duì)稱性，研究數(shù)式的性質(zhì)

1.在三角函數(shù)關(guān)系式的教學(xué)中，由于許多恒等式在表達(dá)形式上具有簡單明了的對(duì)稱關(guān)系，所以，教學(xué)中通過分析對(duì)稱特征可以加深對(duì)這些公式的理解與記憶。

2.對(duì)命題及其關(guān)系，簡單的邏輯關(guān)系的教學(xué)中，一些命題的結(jié)構(gòu)形式具有對(duì)稱性，例如，原命題與逆否命題可以通過它們的題設(shè)與結(jié)論的否定轉(zhuǎn)換，使復(fù)雜抽象的命題轉(zhuǎn)化為簡單具體的

命題，從而使問題得以解決。

3.根據(jù)數(shù)學(xué)美感要素中的對(duì)稱美創(chuàng)設(shè)課堂情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲。數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美從古到今充滿著數(shù)學(xué)發(fā)展的每一個(gè)角落。縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的勾股定理，他認(rèn)為直角三角形具有簡明和諧的對(duì)稱關(guān)系；笛卡兒創(chuàng)立的解析幾何，在方程與曲線之間建立了相應(yīng)關(guān)系，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展；愛因斯坦創(chuàng)立的相對(duì)論，一些結(jié)論的產(chǎn)生是現(xiàn)代物理學(xué)研究中采用數(shù)學(xué)中運(yùn)用平衡對(duì)稱法的范例。教學(xué)中遴選那些在數(shù)學(xué)發(fā)展史上對(duì)自然科學(xué)的發(fā)展和研究方法具有影響的內(nèi)容，作為引入新課內(nèi)容的“敲門磚”以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索科學(xué)的精神。例如，在講解橢圓性質(zhì)時(shí)可在電腦搜集“中國大劇院”“鳥巢”“神舟七

號(hào)”的太空運(yùn)行軌道等圖片，由于它們的設(shè)計(jì)風(fēng)格與運(yùn)行軌道具有橢圓的對(duì)稱性。在講正弦定理和余弦定理的公式推導(dǎo)時(shí)，可緊扣“邊與對(duì)應(yīng)角正弦的比相等”“任意邊與其余兩邊及夾角的

關(guān)系”具備數(shù)學(xué)中輪換對(duì)稱式的特征，這樣，學(xué)生也能正確表述寫出其余三組公式，并加深對(duì)公式的記憶。

四、根據(jù)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱方法，合理達(dá)成課堂教學(xué)目標(biāo)

依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)制定的課堂教學(xué)目標(biāo)——知識(shí)與技能目標(biāo)；過程與方法目標(biāo)；情感態(tài)度與價(jià)值觀。必須突出：（1）知識(shí)目標(biāo)符合課程標(biāo)準(zhǔn)——具體性。（2）教學(xué)方法符合學(xué)生易掌握的實(shí)際——可操作性。（3）有利于學(xué)生智力開發(fā)和能力提高——可檢測性。三維目標(biāo)實(shí)際上是教學(xué)目標(biāo)的子目標(biāo)，它們既相互聯(lián)系又相互依存，因此，在課堂教學(xué)中通過創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課的環(huán)節(jié)讓學(xué)生觀察一些對(duì)稱圖形，動(dòng)手實(shí)踐（折疊、剪紙、畫圖等）直觀感悟?qū)ΨQ圖形的特征。接著，在直角坐標(biāo)系平面內(nèi)，通過數(shù)形結(jié)合精辟分析對(duì)稱圖形的性質(zhì)。當(dāng)他們得出結(jié)論時(shí)，不僅感悟到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，而且體驗(yàn)到數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿探索與創(chuàng)造，感受到數(shù)學(xué)的對(duì)稱美。通過練習(xí)與檢測獲得的成功與喜悅，獲得情感體驗(yàn)，使不同層次學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值得到了體現(xiàn)，價(jià)值觀隨之發(fā)生了變化。

總之，數(shù)學(xué)中的對(duì)稱方法和對(duì)稱思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有廣

泛的運(yùn)用。從數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一即培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)和創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)來看，在傳授知識(shí)的同時(shí)必須注重學(xué)生數(shù)學(xué)思想和方法的培養(yǎng)。因?yàn)閿?shù)學(xué)中許多概念的產(chǎn)生、公式及定理的得出都是人們從大量的生產(chǎn)生活實(shí)踐及科學(xué)技術(shù)發(fā)展過程中積累的事實(shí)，通過人腦抽象思維的形式逐步呈現(xiàn)出來的。所以，重視數(shù)學(xué)中一些特定的數(shù)學(xué)方法——對(duì)稱方法等的數(shù)學(xué)教學(xué)有助于學(xué)生觀察能力、應(yīng)變能力、猜想歸納能力的培養(yǎng)，對(duì)形成抽象思維能力具有重要意義，同時(shí)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的改革與發(fā)展具有積極的促進(jìn)作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]王仲春，李元中，顧莉蕾，等.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論[M].高等教育出版社，1989（11）.

[2]徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].華中理工大學(xué)出版社，2000.