多維體驗 整體勾聯 智性思考

周敏

【摘要】平方千米對于五年級的學生來說，抽象而難于直接感知，因此在實際教學中存在著不少問題與教學困惑。在這樣的背景下，筆者帶領團隊，緊扣教材，就地取材，開發了具有鮮明地方特色的主題長線實踐活動，利用數學活動生成的鮮活素材進行課堂深度學習，幫助學生進一步梳理活動經驗，在面積單位概念的整體勾聯中建立觀念，發展思維，讓平方千米的認識變得多維、厚重，充滿兒童的情趣和數學的理趣。

【關鍵詞】平方千米? 整體勾聯? ?多維體驗? ? 智性思考

日常教學中，“平方千米”難教是老師們深有體會的，而翻閱各類文獻，綜觀各種教研活動，涉及“平方千米”的教學更是少之又少。

一、教學困惑

“公頃”和“平方千米”一般用于測量較大的土地面積，不同于之前學習的三個面積單位（平方米、平方分米和平方厘米），由于無法在課堂上直接感知，生活中也缺少相關的經驗積累，學生很難建立起1公頃（1平方千米）實際大小的觀念。因此，教材在設計公頃的認識時，編排了“28個同學在操場上手拉手圍一個100平方米的正方形”的實踐活動，而對于“平方千米”的教學，則主要落實在“認識1平方千米的實際含義，掌握平方千米與公頃、平方米之間的進率”，而不把體會1平方千米的實際大小作為教學要求。

1.學生調研：

在這一單元教學完成之后，我們抽取兩個班（共98人）進行了一次短平快的書面檢測。

（1）10平方千米= （? ? ?）公頃=（? ? ? ）平方米

（2）我國第三大島崇明島的面積大約是1040（? ? ?）。

平方米? ? ? ? ? ? ?公頃? ? ? ? ? ? 平方千米

（3）邊長是1英寸（1英寸=2.54厘米）的正方形，它的面積是（? ? ? ）。

[ 正確人數 錯誤率 典型問題 第1題 65 33.67% 學過就忘了：混淆平方米、公頃、平方千米之間的進率。 第2題 37 62.24% 61位學生選了“公頃”，因為感覺1040公頃已經很大了，而1040平方千米大的無法想象，超出了他們已有的經驗積累。當面積很大時，公頃和平方千米不能很好地進行區分和選擇。 第3題 52 46.94% 不理解面積單位的含義，不能將“面積和對應邊長之間的關系”進行遷移和應用。 ]

2.教師訪談：

教師1：我覺得這節課的知識點都是一些規定，記牢就好了，沒有什么好探究的！

教師2：這節課內容少，看似簡單好教，但教學效果卻常常很差強人意。比如進率的教學，明明講得很清楚了，但到用的時候，面積單位之間，面積單位和長度單位的進率關系就混淆厲害，真不知道問題出在哪了？

教師3：如果是考試，這個內容頂多一個填空或一個選擇題，所以并不是重要的知識點。不過，如果要上公開課，還真不知道怎么上，也從來沒有聽過，感覺挺難上的！

教師4：公頃的教學，因為有一些活動體驗，孩子們對其實際大小的觀念還是自己的理解，能建立一些典型的參照進行比較、推理和想象;但平方千米的教學，因為沒有相應的活動體驗，學生學的枯燥，對知識缺少親近感，不能建立相關的參照系統進行比對。因此，學生只知道大，但有多大呢，沒有概念。所以我覺得，這一課教得很空泛。是不是可以嘗試改變一下習以為常的教學方式？

……

二、分析與思考

從日常教學、學生調研和教師訪談來看，關于“平方千米”的教學，至少有以下幾個方面值得關注：

1.教學過程碎片化，重點狀輕整體勾聯，缺少靈動

作為面積單位教學的最后一課，教師們更多地關注了這一節課，而缺少“把相關的幾節課”進行整體審視的視角。因此，“平方千米”這一課的教學，既要注重延續和發展之前學習面積單位的經驗，完善知識結構;又要讓學生體會到學習面積單位的新方法和途徑，獲得新的收獲。然而，日常教學中，在教學完“平方千米的含義和相關的進率”之后，教師們就會將大量的新授時間花費在完成練習，尤其是進率的識記以及解決相關的面積計算和單位轉化上。碎片化的教學，使得教師只重視知識技能的目標要求，學生學的被動，缺少思考和感悟，教學也因此缺少了一份靈動。

2.教學方式單一化，重識記輕活動體驗，缺少情趣

多媒體技術的發展，使得教師們更愿意采用圖片、課件演示等方式來替代學生的親身體驗。那么，平方千米的教學有進行活動體驗的必要嗎？

首先，讓我們回到教學中來分析一下。教材將公頃和平方千米分為兩個課時教學，但往往到接下來的練習課時時，學生才會突然間出現大量的錯誤。究其原因，因為前兩課時學生面對的練習都是本節課新學的，他們下意識地就會選擇剛學的單位;而練習課是綜合性的，需要學生比較、推算、估計和想象，于是學生就會因抽象、缺少生活經驗、進率跨度大等困難而辨別不清了。我們的檢測題的第2題，也很好地說明了這個問題。

其次，同樣是大面積單位，公頃的大和平方千米的大有什么不同，如何幫助學生進行溝通和區別？顯然，僅僅依靠死記硬背是不行了。只有讓學生親身經歷，體驗活動，在此過程中建立起自己熟悉的參照系統，讓抽象的概念得到實際直觀體驗的支撐，學生的學習才會多一份情趣和智慧！

3.思想方法淺表化，重技巧輕思維參與，缺少厚重

教學中，我們常常會遇到這樣的尷尬：學生忘記了平方千米與公頃、平方米之間的進率，但又不會回到知識的源頭，去重溫知識發生、發展的過程，去重新獲得結果。或者，描述一個面積單位的大小，常常無從下手。知識從哪里來，到哪里去，教學要始終關注知識背后的數學思考和數學方法。如此，學生在碰到實際問題時，才會主動地運用思想方法靈活解決問題。

三、課堂重建

那么，“平方千米”一課又該如何教學，如何給教師們提供可供參考、學習的實施路徑呢？在本學期的卷入式校本教研中，我們進行了如下的教學實踐：

（一）開發長線活動課程，帶領學生進行多維體驗

1.長線實踐活動的設計與實施：

以長線浸潤的方式開展系列活動體驗，能有效延伸課堂教學的時空，整合各種學習資源，拓展學生的學習視野。

為期兩周的長線體驗活動，我們不僅注重活動形式的多樣性，如調查記錄、實驗體驗、知識梳理、網絡學習、自主探索等，也力求凸顯活動體驗的深刻性。通過已知和未知的勾聯，線上和線下的互補，課內和課外的切換，家校的密切配合，為學生構建起一個立體式的、生長式的探究空間，引導學生去發現數學規定的內在規律，知識之間的密切聯系，數學含義與直觀體驗的呼應等，把實踐、體驗和思維三者有效地整合起來。

（二）進行課堂教學研究，探索平方千米的教學密碼

【教學實踐】

1.著眼整體，在梳理溝通中理解1平方千米的數學含義

師：根據面積單位與它對應邊長的關系（圖1），你知道比公頃更大一級的面積單位是什么？說說你的想法。

生1：表中相鄰邊長的進率是10，由此我可以推想出比公頃更大一級的面積單位對應的邊長是1千米，邊長乘邊長，那就是1平方千米。

生2：邊長1千米，面積可以用“1000×1000=100 0000平方米”表示，所以平方千米與平方米之間的進率是100 0000。

生3：平方千米和公頃之間的進率是100，因為1平方千米=100 0000平方米，1公頃=10000平方米，100 0000÷10000=100。

生4：我還可以用圖（見圖2）來說明。邊長1千米，用邊長100米的正方形去擺，一排正好10個，可以擺10排，也就是10×10=100，所有公頃和平方千米之間的進率也是100，符合面積單位進率是100的規律。

師：這張格子圖只能表示平方千米和公頃之間的進率關系？

生：不是的，任何兩個相鄰面積單位之間的進率都可以用這張圖表示……

這一板塊的教學，我們著力對接學生已有的學習經驗，通過梳理已有的面積單位，引導學生橫向觀察，找到邊長與面積之間的命名規律;縱向觀察，發現相鄰兩個面積單位邊長與面積的進率規律;接著，利用規律推想出比公頃更大一級的面積單位是平方千米，并引導學生聯系舊知，遷移定義方法，嘗試自己來解釋1平方千米，構建平方千米與平方米、公頃之間的進率關系;最后，利用幾何直觀，將相鄰面積單位的關系直觀化，模型化。通過以上三個層次的教學，讓學生經歷“觀察——推想——驗證——模型化”的過程，知識從哪來，到哪去就清清楚楚了。

2.融合實踐活動，借助直觀體驗建立1平方千米的觀念

1平方千米究竟有多大呢？對于這個看不見摸不著的概念，我們想到了從前期的實踐體驗活動來尋求突破。

首先，利用學生手繪地圖再現1平方千米的區域，激活前期對1平方千米的直觀體驗;接著轉換視角，利用航拍俯視圖強烈的直觀沖擊力，強化1平方千米直觀感受;最后，通過衛星地圖，找到1平方千米區域內包含的住宅小區、房屋和居住人口的數據，來再一次體會平方千米的實際大小。

其次，利用前期實踐活動中建立的參照，進行比較、推算和想象，把抽象的概念具體化、量化和可感化。

以上兩個層次的教學，先立足于整體的、宏觀的感知;再利用學生熟悉的參照進行比較、推算和想象。雖然教材并未有“體驗1平方千米”的教學要求，但要突破抽象面積單位的“大小”，將“大”具體化、直觀化和層次化，需要學生有實實在在的直觀體驗的支撐。因此，前期開展的長線實踐活動不僅必要，而且值得鼓勵。在核心素養理念下，發揮師生的創造性，對教材做必要的補充和豐盈，是用課程超越課堂的具體體現。

3.綜合運用，體會平方千米在生活中的應用價值

（1）結合學生熟悉的家鄉本土素材，體會面積單位的適用性和選用合適單位表達信息的簡潔性。

尚湖濕地公園，位于常熟城西，虞山之南，水域面積大約800 0000平方米，總占地面積大約2300 0000平方米。

800 0000平方米=8km2

2300 0000平方米=23km2

（2）交流課前查閱資料，了解學生所在省、市及國家的土地面積，發展用數學的眼光去觀察去思考的素養;同時，利用不斷變化的參照，去比較和估算，感受平方千米應用和價值。

（3）利用常熟第一條三環高速所圈出的核心生活休閑區域，用所學知識解決實際問題，了解家鄉的建設成就，感受數學與生活的密切聯系。

通過以上三個遞進的練習應用，我們充分發揮了本土素材的鮮活元素，讓學生在學以致用的過程中，拓展視野，增長知識，落實數學素養。

【教學反思】

1.整體勾聯，在知識體系中凸顯單位的個性特征

數學知識是整體的，也是有結構的，面積單位也不例外。每個面積單位都有各自適用的“領地”，也有與其他單位乃至整個單位系統的關聯。這種獨特性與融匯性，構成了每個面積單位的屬性。平方千米的教學是面積單位教學的結束，一方面通過類化與溝通，從不同處抓類化，從相同處抓溝通，讓原本孤立的面積單位“拉幫結派”，展現網絡樣態，有效擴張學生的認知視界;另一方面，由此及彼、由表及里的建構過程，反過來又促進了學生對平方千米的認識，凸顯出平方千米的屬性特征，讓學生對數學的感知更加清晰、豐富、飽滿。

2.調整思路，開發長線實踐活動促進學生的多維體驗

“平方千米”是比“公頃”更大的面積單位，在頭腦中建立“1平方千米”的概念實屬不易。為了幫助學生建立這樣的概念，必須要給學生尋找可供想象的“參照物”，以“實”才能構建“實”。開發長線活動課程，為學生提供學習、創新和實踐的機會，變教材的“一”為學材的“多”，變教材的“遠”為學材的“近”，變教材的“靜”為學材的“動”，變教材的“他”為學材的“我”。多維體驗，為概念的深度理解，提供了更為鮮活、厚實的學習背景。

3.智性思考，凸顯本質，讓學習由知識走向智慧

鄭毓信教授認為：“從數學教學或數學教育過程來看，應通過數學幫助學生學會思維。”思維的根基越是牢固強大，數學學習就越有“生長”的力量。對于面積單位的認識，我們認為，以下三點需要引起注意：其一，不能僅僅停留于形成表象，還要能夠理解每一個面積單位的核心意義，即：邊長是單位長度的正方形。面積單位的命名方式里面蘊藏著數學運算，學生只有理解了面積單位名稱里面蘊藏的數學運算，才能夠形成對面積單位的抽象理解。其二，學生對面積單位的進率不能僅僅靠記憶，而應該基于理解去把握得到相關進率的過程，并最終創造出表達進率的模型;其三，計量單位教學的目標要關注思維的發展。隨著人們對客觀世界認識的不斷深入和生產生活的需要，有些更大或更小的單位是無法通過實踐來體驗的，但人們可以通過思維去把握。從已知認識未知，通過有限認識來探索無限，這些思想方法必須通過數學教學向學生滲透。唯有如此，兒童數學才能走出狹隘、封閉，走向深刻、理性。

對“認識平方千米”一課的研究雖然暫且告一段落，但如何在核心素養引領下，突破單一的傳統學習方式，落實素養培養，還需要我們不斷努力和嘗試。

（作者地址：江蘇省常熟市世茂實驗小學）