“三角形的高”教學(xué)研究報(bào)告

一、問(wèn)題

“三角形的高”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)“三角形的特性”中的內(nèi)容。三角形的高是這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，同時(shí)也是這節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。實(shí)際教學(xué)中，老師們一直找不到一個(gè)理想的教學(xué)方法，導(dǎo)致教學(xué)效果不佳，部分學(xué)生甚至到了五、六年級(jí)還不能準(zhǔn)確地畫(huà)出三角形指定底邊上的高。這個(gè)問(wèn)題學(xué)生如果不能在小學(xué)階段解決，勢(shì)必影響后續(xù)初中階段的幾何學(xué)習(xí)。為了研究這個(gè)問(wèn)題，我們數(shù)學(xué)組對(duì)本校200名五、六年級(jí)學(xué)生做了一次畫(huà)高的單項(xiàng)檢測(cè)，情況不容樂(lè)觀（圖1為本次測(cè)試題）。其中，3號(hào)三角形畫(huà)高的準(zhǔn)確率只有59.4%，5號(hào)三角形畫(huà)高的準(zhǔn)確率只有76.1%。

從檢測(cè)結(jié)果中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的錯(cuò)誤主要集中在以下兩種情況：一是不會(huì)用三角尺作已知底邊的垂線（如圖2），二是畫(huà)錯(cuò)了位置（如圖3）。

學(xué)生為什么掌握不好畫(huà)高的方法？問(wèn)題出在哪里？我們通過(guò)分析、研究已有的關(guān)于三角形的高的教學(xué)案例，發(fā)現(xiàn)老師在教學(xué)時(shí)只注重教如何畫(huà)高，而忽視了什么是三角形的高。眾所周知，三角形的高的畫(huà)法是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，因此，老師們一般都會(huì)將教學(xué)重心放在如何畫(huà)高上。有的老師還總結(jié)了一套口訣：“要畫(huà)高，用直角；直角邊，重合底，過(guò)頂點(diǎn)，到底止；垂直底，作虛線。”學(xué)生們盡管記住了定義，也背熟了口訣，不會(huì)畫(huà)高的還是不會(huì)畫(huà)。原因就是學(xué)生沒(méi)有真正理解什么是三角形的高，難以形成關(guān)于三角形的高的清晰表象，自然也就畫(huà)不好高了。

為了解決這一問(wèn)題，我們?cè)谶M(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，特意弱化了三角形的定義以及各部分的名稱，而把教學(xué)重心放在對(duì)三角形的高的理解上，在學(xué)生充分理解的基礎(chǔ)上再優(yōu)化三角形的高的畫(huà)法。相應(yīng)地，我們將課題名稱也改為“三角形的高”。

二、實(shí)踐

基于以上思考，我們進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐，主要教學(xué)過(guò)程如下。

（一）導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)三角形

師：同學(xué)們認(rèn)識(shí)三角形嗎？（生：認(rèn)識(shí)）今天老師把三角形藏在卡片下面了，我們一起去找找看。

教師帶領(lǐng)學(xué)生從4張卡片中找到了三角形，指出由三條線段圍成的封閉圖形是三角形。

師：通過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)所有的三角形都有三個(gè)頂點(diǎn)、三個(gè)角和三條邊。如果我們把三角形比作是一個(gè)人的話，那么三角形的頂點(diǎn)就是它的頭，頂點(diǎn)相對(duì)的那條邊就是它的腳底，所以三角形的三條邊都可以作為三角形的三條底（如圖4所示）。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)找三角形這個(gè)游戲環(huán)節(jié)，學(xué)生在輕松愉悅的氛圍中認(rèn)識(shí)三角形的特征。

（二）創(chuàng)設(shè)情境，初步感知三角形的高

師：接下來(lái)我要為大家隆重介紹三角形家族的三兄弟———老大、老二和老三。今天它們約好一起去游樂(lè)場(chǎng)玩，這是它們第一次去游樂(lè)場(chǎng)玩。當(dāng)它們走到游樂(lè)場(chǎng)門(mén)口時(shí)，問(wèn)題來(lái)了，（課件出示圖5）誰(shuí)能告訴我它們遇到什么問(wèn)題了？

生：游樂(lè)場(chǎng)的門(mén)限高4m。

師：限高4m是什么意思？

生：也就是它們?nèi)绻?m高就進(jìn)不去，如果比4m矮或者等于4m就可以進(jìn)去。

師：哦，原來(lái)如此。老大說(shuō)“我每條邊都小于4m肯定過(guò)得去”，老二說(shuō)“我有的邊大于4m，有的邊小于4m，我能過(guò)去嗎”，老三說(shuō)“我每條邊都大于4m，我肯定過(guò)不去”，它還急哭了！同學(xué)們，你們?cè)趺纯矗?/p>

學(xué)生討論，認(rèn)為可以試一試。教師用課件演示三個(gè)三角形過(guò)限高門(mén)的情形，分別是老大直接通過(guò)限高門(mén)（如圖6），老二逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一次通過(guò)限高門(mén)（如圖7），老三逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩次通過(guò)限高門(mén)（如圖8）。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)三角形三兄弟過(guò)限高門(mén)這一情境，學(xué)生體會(huì)到能不能過(guò)限高門(mén)，關(guān)注的不是三角形三條邊的長(zhǎng)度，而是三角形的高。

（三）自主探究，認(rèn)識(shí)三角形的高

師：在大家的共同努力下，三兄弟順利地通過(guò)了限高門(mén)。這里也有3個(gè)三角形，它們能通過(guò)4cm的限高門(mén)嗎？請(qǐng)你在作業(yè)紙上畫(huà)一畫(huà)、量一量，寫(xiě)下你的想法。

學(xué)生動(dòng)手操作，教師巡視，選取有代表性的作品展示。

師：同學(xué)們都有答案了，我們一起看看這些同學(xué)的結(jié)果。對(duì)第一個(gè)三角形，這個(gè)同學(xué)量了它的三條邊都是4.5cm，認(rèn)為它過(guò)不去。你們同意嗎？（生：不同意）4.5大于4，是過(guò)不去啊！誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)？

生3：我不同意，因?yàn)槟懿荒芡ㄟ^(guò)限高門(mén)不是看它的邊長(zhǎng)，而是看它的高。

師：是看哪里？請(qǐng)你比劃一下。（學(xué)生比劃，課件演示三角形過(guò)限高門(mén)，如圖9）三條邊都是4.5cm，這條線段長(zhǎng)3.9cm。確實(shí)是看這里。

師：前面那個(gè)同學(xué)說(shuō)看邊，能過(guò)去嗎？（課件演示，如圖10）看來(lái)我們還是把腳放下來(lái)，腳踏實(shí)地地走過(guò)去。

師：那第二個(gè)三角形能通過(guò)限高門(mén)嗎？

生4：不能！因?yàn)槟菞l邊長(zhǎng)5cm，不能通過(guò)。

師：你是說(shuō)現(xiàn)在這個(gè)三角形能不能通過(guò)限高門(mén)是看5cm這條邊？我們?cè)囋嚳矗ㄕn件演示，如圖11），是過(guò)不去。

生5：我不同意，可以像剛才那樣旋轉(zhuǎn)一下。師：好！你來(lái)說(shuō)怎么旋轉(zhuǎn)。（生說(shuō)，師演示，如圖12）看來(lái)第二個(gè)也能過(guò)去。

師：那第三個(gè)三角形呢？

生6：我認(rèn)為能過(guò)去，因?yàn)槲覀円部梢园阉D(zhuǎn)一下，以最長(zhǎng)的那條邊作為它的底。

師：是這樣嗎？（展示學(xué)生作品，如圖13）這里的長(zhǎng)度量出來(lái)是2.3cm，我們看一下這個(gè)三角形這樣能過(guò)去嗎？確實(shí)能過(guò)去，而且能不能過(guò)去確實(shí)是看這里吧？（生：是的）生7也認(rèn)為可以過(guò)去，但他畫(huà)的和你的不一樣，他是看這里（指圖14鈍角三角形右邊的這根虛線）。生7你是怎么想的？

生7：他畫(huà)的那里和我畫(huà)的這里是一樣高的。

師：其他同學(xué)的意思是看哪里都行嗎？好的，我們一起來(lái)看看。（課件演示）過(guò)去了嗎？確實(shí)能通過(guò)限高門(mén)。那我們到底看哪里更好？雖然它們是一樣高的，但是看這里應(yīng)該比看那里更好一點(diǎn)。（課件演示，如圖15）

師：原來(lái)這些三角形這樣站著的時(shí)候，能不能過(guò)限高門(mén)是看這三條線段的長(zhǎng)度。（課件演示）這三條線段就叫做三角形的高。（板書(shū)）誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)什么是三角形的高？

生8：從頂點(diǎn)向底作一條直線。（板書(shū)：頂點(diǎn)→底）

師：從頂點(diǎn)到底作直線就行了嗎？

生9：不是，還要垂直。

師：哦，必須垂直，（指圖16）我們看看這個(gè)三角形（指著第一個(gè)銳角三角形）是從頂點(diǎn)向底作了一條垂線，這個(gè)三角形（指著第二個(gè)直角三角形）也是從頂點(diǎn)向底作了一條垂線，只不過(guò)這里本來(lái)就垂直了。所以這條直角邊就是三角形的高。這個(gè)三角形（指著第三個(gè)鈍角三角形）也是從頂點(diǎn)開(kāi)始作了一條垂線，它是和誰(shuí)垂直呢？（生：也是垂直了底啊）可是底在這里啊？（生：是垂直了地面）地面在哪里？請(qǐng)同學(xué)們用手一起比劃，對(duì)了，就是把這條底延長(zhǎng)。

師：現(xiàn)在黑板上有一個(gè)三角形，如果我們以AC邊為底，它的高怎么畫(huà)呢？

生10：以B為頂點(diǎn)向AC作一條垂線。（師在黑板上示范畫(huà)高）

師：（指圖17）是這樣嗎？真棒！

設(shè)計(jì)意圖：在自主探究這個(gè)環(huán)節(jié)，教師通過(guò)演示和反復(fù)強(qiáng)調(diào)“能不能過(guò)去應(yīng)該看哪里”，讓學(xué)生直觀感受什么是三角形的高，進(jìn)而從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)三角形的高。

（四）拓展訓(xùn)練

師：（課件播放小孩爭(zhēng)吵的聲音：我最高，我最高）這三兄弟怎么吵起來(lái)了？原來(lái)他們?cè)诒日l(shuí)最高呢（如圖18所示）。我們一起來(lái)給它們?cè)u(píng)評(píng)理吧！

我們誰(shuí)最高？

學(xué)生通過(guò)轉(zhuǎn)換方向，給三兄弟找到了最長(zhǎng)的那條高，最后給出平行于它們底邊的一條直線，發(fā)現(xiàn)三兄弟一樣高（如圖19）。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三角形的高，知道相對(duì)于不同的底，三角形的高也不同，同時(shí)蘊(yùn)含著平行線之間距離處處相等。

三、討論

我們這次實(shí)踐，旨在用學(xué)生熟悉的方式教學(xué)三角形的高。

1.創(chuàng)設(shè)情境，實(shí)現(xiàn)生活中物體的高度向數(shù)學(xué)中三角形的高的遷移。

三角形的高是公認(rèn)的教學(xué)難點(diǎn)。其實(shí)，關(guān)于高，學(xué)生并不陌生，生活中就有許多熟悉的例子。比如，人的身高，房子、樹(shù)、山的高度等，學(xué)生都非常熟悉，而且知道它們的具體含義。三角形的高雖然是一個(gè)抽象的幾何概念，但是，從本質(zhì)上說(shuō)，它和生活中各種物體的高度有很多相通的地方。通俗地說(shuō)，三角形的高就是三角形的高度（不同的是，房子、樹(shù)、山一般只能豎直站立，而三角形除了豎直擺放外，還可以斜著或“躺”著擺放）。為了充分利用學(xué)生生活中關(guān)于高度的已有經(jīng)驗(yàn)，我們?cè)O(shè)計(jì)了“三角形三兄弟過(guò)限高門(mén)”的情境，緊緊抓住三角形的高和一般物體的高度之間的聯(lián)系，把一般物體的高度作為理解三角形的高的生活經(jīng)驗(yàn)支撐，成功地幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)了從生活中物體的高度到數(shù)學(xué)中三角形的高的遷移。

2.從具體到抽象，以概念形成的方式幫助學(xué)生逐步建構(gòu)三角形的高的概念。

我們知道，概念教學(xué)有兩種常見(jiàn)方式：一種是概念的形成，另一種是概念的同化。教學(xué)三角形的高這個(gè)幾何概念，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中采取概念同化的方式：過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，頂點(diǎn)到垂足之間的垂線段叫做三角形的高。用這種方式教學(xué)，既清晰定義了什么是三角形的高，又給出了三角形高的畫(huà)法，一舉兩得。可是實(shí)際教學(xué)的效果并不理想，突出表現(xiàn)在，學(xué)生不會(huì)畫(huà)高，不是找不到頂點(diǎn)，就是畫(huà)錯(cuò)垂直關(guān)系。如前文所述，根本原因在于，雖然老師用概念同化的方式給出了三角形的高的定義，但是學(xué)生并沒(méi)有理解什么是三角形的高，畫(huà)三角形高的時(shí)候自然就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

本節(jié)課，我們是采取概念形成的方式教學(xué)三角形的高。教學(xué)伊始，學(xué)生反復(fù)觀察三角形通過(guò)限高門(mén)的動(dòng)畫(huà)，獲得關(guān)于三角形的高的感性認(rèn)識(shí)。然后學(xué)生探究“三角形能不能過(guò)限高門(mén)應(yīng)該看哪里”，要求學(xué)生畫(huà)出這條線段。學(xué)生把一個(gè)個(gè)形態(tài)各異的銳角、直角、鈍角三角形的高畫(huà)出來(lái)后，再歸納、概括什么是三角形的高。這就是用概念形成的方式教學(xué)三角形的高。在歸納、概括什么是三角形的高時(shí)，還有意淡化了教材中關(guān)于三角形的高的文字描述，強(qiáng)調(diào)用學(xué)生自己的話來(lái)描述。

本節(jié)課中有一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)是要求學(xué)生判斷如圖20的鈍角三角形能否通過(guò)限高門(mén)時(shí)要看哪里，如何判斷。每次試教總有學(xué)生畫(huà)出了圖中的虛線段。這條虛線段清晰地表明這個(gè)三角形的高真的已經(jīng)從學(xué)生心中生長(zhǎng)出來(lái)了，只是學(xué)生此時(shí)還不知道這條線段就叫三角形的高。在學(xué)生看來(lái)，三角形能不能通過(guò)限高門(mén)，就要看這條線段。沒(méi)有人會(huì)這樣教學(xué)生畫(huà)高，老師不會(huì)，家長(zhǎng)不會(huì)，教材也不會(huì)，這一定是學(xué)生本節(jié)課臨時(shí)發(fā)現(xiàn)的。這進(jìn)一步說(shuō)明，用學(xué)生熟悉的方式———概念形成來(lái)教學(xué)三角形的高是可行的。

（執(zhí)筆：董建軍、周璟、張志紅、胡展、易麗紅、陳雨微、鄭志剛、徐旺、李闖）