垂徑定理牽手勾股定理

謝 勇 唐雪鋒

(湖北省棗陽市興隆一中 441218)

典例(人教版數學教材九年級上冊第83頁練習第1題)如圖1，在⊙O中，弦AB的長為8 cm，圓心O到AB的距離為3 cm．求⊙O的半徑．

解過點O作OE⊥AB，E為垂足，連接OA．

在Rt△AEO中，∵OE2+AE2=OA2，

∴⊙O的半徑為5 cm．

規律解題過程中涉及垂徑定理和勾股定理．在圖1中，OA是半徑，我們把OE叫做弦心距(即圓心到弦的距離)，AE叫做半弦，求解與垂徑定理相關的圓類計算問題時，通常需要把相關數量集中到由它們所組成的直角三角形中，運用勾股定理解決．

思考1 將條件與結論互換位置思考．如圖2，⊙O的半徑為5 cm，CD為直徑，弦AB⊥CD于點E，OE=3 cm，求弦AB的長．

點評典例是已知半弦、弦心距，求圓的半徑問題，而本題是已知半徑、弦心距，求半弦的問題．探究幾何問題的一種常用方法就是象這樣，將已知條件與結論互換位置思考．另外，比較圖1和圖2，發現在解決有關弦的問題時，往往只需從圓心作一條與弦垂直的線段即可．

思考2 變換條件思考．如圖3，在⊙O中，弦AB的長為8 cm，點C在⊙O上，且OC⊥AB，垂足為點E，若CE=2 cm，求⊙O的半徑．

點評和典例相比，它們均是在同一個直角三角形中運用勾股定理計算求解．所不同的是，本題構建的是弦長、半徑、弦心距等數量間的方程模型，這和課本第82頁的例題解法是一樣的．

思考3 將靜止圖形動態化思考．如圖4，⊙O的直徑為10 cm，弦AB的長為8 cm，E是弦AB上的一個動點，那么OE的長的取值范圍是____．

分析求OE的長的取值范圍，實際上就是找OE的最大值和最小值，弦上的點與圓心的距離的最大值就是該圓的半徑，而最小值是弦心距．

點評動態化思考圖形，可多取幾個點E，并將它與圓心連接起來，比較后，會發現其中蘊含著垂線段最短的數學道理．

小結如圖5，在⊙O中，OC⊥AB于點D，AB=l，OA=R，OD=d，CD=h，根據OA2=AD2+OD2及OC=OD+CD，當知道l、R、d、h中的任意兩個量時，就可以求出剩余的兩個量．

拓廣探索如圖6，在圓柱形油槽內裝有一些油，截面如圖，油面寬AB為6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面寬變為8分米，圓柱形油槽直徑MN為____分米．

解取油面AB上升1分米到達A′B′的位置，過點O作OC⊥AB于點C，交A′B′于點D，連接OB，OB′．

∴AB=6，A′B′=8，CD=1．

由勾股定理，得OB2=OC2+CB2，OB′2=OD2+DB′2．

而OB=OB′，OC=OD+CD=OD+1，

∴(OD+1)2+32=OD2+42，解得OD=3．

∴MN=2OB′=10(分米)．

故答案填10．

點評這是一道與圓有關的實際應用題，求解關鍵是從中構建如典例1那樣的基本圖形，綜合運用垂徑定理和勾股定理構建方程求解．

參考文獻：

[1]姜曉翔．基于“自主變式” 引發“生本探究”[J]．中國數學教育(初中版)，2016(10)：15-17．