中點問題解題策略

于長江

(黑龍江省克山縣第二中學校 161600)

添加輔助線解幾何命題,是學習平面幾何的難點;作輔助線雖無定法,但卻有規可循,有律可導，只要深刻挖掘題設與結論的內含，抓住特定條件的本質特征，探求已知與未知之間的必然聯系，靈活運用所學知識，增強創新意識，定能架起溝通已知與未知之間的橋梁——輔助線.通過引輔助線，可以轉化條件，制造聯系，從而達到解決問題的目的.現舉例如下.

如圖，在△ABC中，AD是高，M是BC中點，∠B=2∠C，

分析本題的特定條件有中點(M點)、2倍角(∠B=2∠C)、高線(AD)，在解題時以某一條件為出發點，根據其不同特性引輔助線，得出以下多種解題方法.

一、構造中位線法

當條件中出現中點時，一般可取另一邊的中點，構造中位線，制造平行關系或等量關系.

∴∠2=∠C.而∠1=∠2+∠3，∠B=2∠C，

∴∠B=∠1.而∠1=∠2+∠3，∠B=2∠C，

二、中線加倍法

當條件中出現三角形的中線或可作中線時，可考慮將中線延長一倍，構造全等三角形，轉化條件.

證法3 連AM并延長到E，使ME=AM，

連CE,延長AD到F，使DF=AD，連EF、CF.

易證△AMB≌△EMC，

∴CE=AB，∠B=∠2+∠3.

由BC垂直平分AF得∠1=∠2.而∠B=2∠1，

可得∠2=∠3，∴∠3=∠4，

三、2倍角轉化法

當條件中出現一個角是另一個角的2倍時，可考慮平分2倍角，或將較小的角加倍.

證法4 延長CB到E，使BE=AB，連AE.

易證∠ABC=2∠E，而∠ABC=2∠C，

∴∠E=∠C，∴AE=AC.而AD⊥EC，

∴DE=CD.在線段EC上可得CE=2CD，

∴BC+EB=2(DM+CM),

四、高線對稱法

將某個三角形沿高線翻折，將構成等腰三角形，從而達到溝通相關條件的目的.

證法5 在DC上截取DE=DB，連AE.

易證△ADE≌△ADB，則AE=AB，

∠AEB=∠B.由∠B=2∠C得∠AEB=2∠C.

而∠AEB=∠CAE+∠C，

∴∠CAE=∠C,∴AE=CE=AB.

在線段BC上可得：BE=2DE，

∴BM+ME=2(DM+ME),

∴CM+ME=2(DM+ME),

∴(AB+ME)+ME=2(DM+ME).

以上五種解法，論述了在特定條件下如何作輔助線及解題策略，以期起到拋磚引玉的作用.

參考文獻：

[1]劉義勛. 輔助線是幾何證明的“點睛”之筆[J].中學生數學(初中版), 2011(9): 3.