找準關聯(lián) 化繁為簡
——由一道高考解析幾何題引發(fā)的思考

沈文哲

(浙江省溫州中學高三(1)班 325000)

解析幾何以其計算繁瑣著稱，筆者在探索2017年高考數(shù)學浙江卷第21題得到啟示，在解答解析幾何求值時應盡量減少相關量之間的復雜聯(lián)系，甚至切斷不必要的聯(lián)系，使表達式趨于簡潔，達到簡便計算的目的.

一、試題回放

二、解法對比

1.我的解法

當從點P坐標入手時，|PA|·|PQ|表達式變得異常復雜，很難求得答案.

2.標準答案

所以 |PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.

令f(k)=-(k-1)(k+1)3,

因為f′(k)=-(4k-2)(k+1)2,

三、問題思考

筆者的解法與標準答案的切入點不同，即筆者是以點P定所有直線，而標準答案則是以直線定點的，為什么會產(chǎn)生如此大的差別？筆者經(jīng)思考后，認為原因如下：

1.kAP、kBQ這一簡單結(jié)論被筆者作為輔助條件，而標準答案則直接以此設直線.

2.以點定直線時使得kAP、kBP、點Q產(chǎn)生極為復雜的聯(lián)系，而點Q與kAP為|PA|·|PQ|的關鍵，使點Q與kAP復雜化，必然不利于計算.

總的來說，對于解析幾何計算求值，與表達式有關的量都應趨于簡便，使其聯(lián)系更加簡單，甚至“切斷”聯(lián)系，這樣才有利于解答.

四、問題應用

分析基本思路是利用y=k(x+c)與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理求解，但仔細思考后，使用y=k(x+c)會使AF1、BF1的長與F1產(chǎn)生聯(lián)系，使得計算復雜化，因此必須切斷AF1、BF1與F1的聯(lián)系.

原始解法：設AB：y=k(x+c) 與橢圓聯(lián)立,可得

最優(yōu)解法：設AB：x=ty-c與橢圓聯(lián)立,可得

(3t2+4)y2-6tcy-9c2=0.

解析幾何題求值時，量的關系是多樣化的，我們應找準關聯(lián)，選擇最有利于解題的關系，做到化繁為簡，使問題迎刃而解.

參考文獻：

[1]蔡小雄.更高更妙的高中數(shù)學思想與方法[M].杭州：浙江大學出版社，2015(11).

[2]朱紅喜.2012年高考數(shù)學江蘇卷解析幾何題別解[J].中學數(shù)學，2012(17).