基于字典學習的圖像稀疏去噪算法

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(1.國防科技大學電子對抗學院，安徽 合肥 230037；2.安徽省電子制約技術重點實驗室，安徽 合肥 230037)

0 引言

圖像在獲取和傳輸的過程中常常會受到各種噪聲的污染，從而降低了圖像的主觀和客觀質量。噪聲的產生使得圖像的質量變差，使得人們無法清晰地觀測所采集到的圖像，影響了視覺效果。圖像當中許多重要的細節信息被噪聲掩蓋，一些需要進行提取和識別的目標也變得無法分析，給后繼的圖像處理和應用(如圖像分割、目標識別、圖像檢索以及圖像編碼、傳輸等)帶來了諸多不利的影響。因此，圖像去噪問題在圖像預處理中起著至關重要的作用。

近年來，一些基于自然圖像稀疏性表示的去噪方法被提出來[1-4]。信號稀疏表示理論將信號由非稀疏域轉變為稀疏域，通過捕獲信號的有用信息來進行信號的處理，更好地重構出原有信息。利用圖像中的有用信息一般具有稀疏性，而噪聲不具有稀疏性這一特點，從而將圖像中的噪聲去除[5]。圖像的稀疏性可通過稀疏變換實現，那么選擇一個合適的稀疏變換基是圖像重構精度的關鍵問題。

當前應用廣泛的一類稀疏字典為冗余字典，根據構造方法分為兩類：根據固定參數構造字典和基于樣本訓練方法構造字典。參數化構造的冗余字典有：Gabor字典[6]、DCT[7]字典等。文獻[8]為實現圖像的稀疏表示，文中構造了由多個方向字典和一個正交DCT 字典組成的冗余字典，并用l1范數作為約束條件求解稀疏優化問題。由于圖像是復雜的二維信號，參數化方法構造的字典不能充分體現圖像的幾何特征，雖然構造簡單，但是不能有效表示圖像的具體結構特征，不能自適應復雜的圖像結構，稀疏效果并不理想。

本文針對此問題，提出了基于字典學習的稀疏去噪算法。基于樣本訓練方法構造的字典具有自適應性，能夠使稀疏變換系數有較高的稀疏度。

1 基本理論

1.1 稀疏表示

(1)

其中，αi=〈x,φi〉是x在基函數φi上組成的矩陣。由于基是線性獨立的，因此展開式是唯一的。式(1)可以表示為：

x=Φα

(2)

其中，Φ∈Rn×K是基函數組成的矩陣，矩陣的每一列對應一個基。α∈Rk則是展開的系數所組成的矩陣。

通過K-n與零的關系，則可以將函數集合分為非完備、完備以及過完備這三類。當小于零時，那么空間中的某些向量不能夠被φi完整的表示，此時我們則認為φi為非完備的；當公式等于零時，那么這K個基向量φi組成了一組過完備基；當公式大于零時，空間中的每一個向量都可以用φi的線性組合表示，并且表達式不唯一，對應的α有無窮多個解，此時我們稱基函數的組合φi為過完備的。

1.2 冗余的稀疏表示

隨著研究的不斷深入，冗余字典代替傳統的標準正交基成為一種趨勢[10]。這是因為冗余字典可以通過訓練樣本得到，這就使得冗余字典中的原子與逼近信號有一致的結構，從而進行稀疏表示的時候使用的原子的數目較少，即使得信號更加稀疏，因此可以更好的還原信號。

為了更加靈活、精簡地表示信號，Mallat在小波分析的理論基礎上，研究了傳統的正交基在稀疏表示中的缺點，設計了冗余的字典，并且從中找到了一組最佳的線性組合來表示信號，此時線性組合的系數幾乎為0，即為稀疏的[11]。設存在信號x∈Rn和冗余原子庫D∈Rn×K；原子庫由K個原子組成，且K>n。則有

x=Dα

(3)

其中，D∈Rn×K，它的每一列代表一個原子。在已知D的情況下，x的冗余表示為α。從前面的分析可得，α存在無窮多個解，是一個欠定問題。對于該問題的求解，常見的方法包括正交匹配追蹤(OMP)算法[12]、基追蹤降噪(BPDN)算法[13]以及SLO算法[14]等。

2 基于字典學習的稀疏去噪

算法流程如圖所示。首先是對噪聲圖像進行分塊處理，然后通過基于噪聲圖像塊進行訓練字典，初始化字典選擇是冗余的離散余弦變換字典(研究表明了當初始化字典選擇冗余的DCT字典時，使用稀疏分解的算法迭代次數將會明顯降低，可以得到比較理想的效果)，采用K-SVD算法對字典訓練。再用訓練得到的字典對每個塊進行稀疏分解，對得到稀疏分解進行局部到整體的平均處理，最后得到去噪圖像。

2.1 離散余弦字典

離散余弦字典(DCT)是由離散余弦變換所得，給定序列x(n),n=0,1,…,N-1，其離散余弦變換：

(4)

(5)

矩陣形式：

Xc=CNx

(6)

其中，CN是N×N變換矩陣，其行向量為余弦基。

對于DCT變換后所獲得的完備字典，采用分數頻率法將其擴展成為過完備字典，具體的做法是將得到的完備字典對其頻率上做更加精細的遍歷和抽樣，從而獲得一個新的過完備字典。

2.2 基于K-SVD的字典訓練

2.2.1K-SVD算法

噪聲圖像x中每一個圖像塊信息xij，可由訓練得到的字典D中少數幾個原子(列) 的一個線性相關表示：x=Dα，其中，α∈Rn×N是x的稀疏表示系數，且要求滿足一定的稀疏度：

(7)

其中，ε為誤差上限，上式可優化為：

(8)

K-SVD的目標函數為：

(9)

其中Rij為索引矩陣，Y為去噪目標圖像。通過下式估計第i列的誤差值：

(10)

K-SVD算法的主要任務是在迭代過程中交替更新字典D和稀疏系數α，最終可以得到以下去噪模型：

(11)

其中，I為單位矩陣。

2.2.2字典學習

文獻[15]提出了基于K-SVD訓練算法來得到過完備字典的思想，通過進行K-SVD算法對初始圖像訓練，由于訓練得到的字典包含圖像的先驗信息因此能夠反映圖像的結構特征，所以在去噪的同時可以保留圖像原有的細節信息。

基于K-SVD的字典學習有兩種構建原子庫的方式，一是選取和待處理圖像相似的圖像樣本作為字典學習的圖像訓練集，另一種方式是用待處理本身的圖像進行字典訓練。前者得到的是一個全局字典，而后者由于在訓練過程中可以根據不同圖像的不同特點來調整，因此得到的字典稱為自適應字典。

2.3 OMP算法

OMP算法主要思想為按照匹配度選擇最優的原子進入原子集，求出測量信號在原子集的正交空間上的投影，通過求解一個最小二乘問題來求得原信號的最優稀疏逼近解，更新信號余量，進入下一次迭代，經過一定迭代過程，最后用原子對信號進行線性表示。具體實現步驟如下：

輸入：M×N維測量矩陣，采樣信號Y，稀疏度K；

步驟1 索引集Λ0=?，迭代次數t=1；

步驟2 找到索引集Jt，使得Jt=

argmaxi=1,2,…,n；

步驟3 令Λt=Λt-1∪{Jt}；

步驟6t=t+1，如果t

2.4 算法步驟

步驟1 將圖像x按8×8大小進行分塊處理。

步驟2 對圖像塊進行稀疏變換，對噪聲圖像塊進行訓練字典。

步驟3 字典初始化：設置DCT字典D∈Rn×L。

步驟5 更新字典：當稀疏表示完成后，忽略懲罰項‖αj‖0，

步驟6 對Ek進行奇異值分解得到Ek=UΔVT。U的第一列為主向量，將dk更新為U的第一列，同時αk更新為V的第一列與對角陣Δ的第一個值Δ(1,1)的乘積。

步驟7 將奇異值分解應用到殘差矩陣的分解中，逐列更新字典中的原子；同時更新稀疏系數。回到步驟4，直至達到退出條件。

步驟8 得到去噪后圖像Y。

3 實驗仿真與分析

為了比較基于稀疏表示的圖像去噪算法利用K-SVD算法訓練字典時，幾種不同稀疏字典對實測圖像重構質量的影響，利用Matlab進行實驗仿真。測試圖像為3幅自然圖像lena圖像、peppers圖像和boat圖像，以及2幅實測圖像包括航拍圖像1和航拍圖像2，如圖3所示，5幅圖像大小均為512×512。對比的稀疏字典為DCT字典、K-SVD算法對自然圖像樣本訓練所得字典以及K-SVD算法對噪聲圖像訓練所得字典。實驗所用軟件為Matlab R2014a，選用2.6 GHz，2G內存的計算機平臺。

為了對本文各組實驗圖像質量進行定量分析，利用峰值信噪比(PSNR)對去噪圖像效果進行比較。其中，PSNR計算表達式如式(12)所示。

(12)

式中，I0(i,j)為原圖像，I1(i,j)為去噪后圖像。

首先，設置圖像的分塊大小B=8。其次測量矩陣采用正交高斯隨機矩陣，重構算法選取正交匹配追蹤算法(OMP)。采用三種不同字典的稀疏方法對5幅圖像分別添加σ=20，25，30，35隨機噪聲，以保證實驗可靠性。

為觀察基于K-SVD算法對噪聲圖像訓練得到的稀疏字典，對5幅圖像添加σ=35隨機噪聲，結果如圖4。

同時，以航拍圖像1為代表，在σ=20，25，30，35隨機噪聲下，航拍圖像1的基于噪聲圖像訓練字典如圖5所示。而對5幅圖像添加不同隨機噪聲，在圖像去噪過程中，得到另外兩種稀疏表示方法的字典是固定字典，實驗結果如圖6所示。

圖7給出了航拍圖像1分別在σ=20，25，30，35隨機噪聲下，字典學習過程中每次迭代后的稀疏系數值，在達到設定條件迭代次數為10后退出循環。從圖中可以看出，噪聲越大每次迭代的稀疏系數越接近零。

通過圖4、圖5、圖6的對比，可以看出三種字典有很大不同，說明KSVD算法在迭代過程中通過稀疏系數不斷調整冗余字典中的原子，大幅度改進了原字典的結構，最終獲得能更加有效反映圖像各結構特性的冗余字典。圖4和圖5驗證了不同類型圖像不同程度噪聲時，對噪聲圖像用K-SVD算法訓練得到的字典是不同的，這種稀疏表示方法具有自適應性，圖像去噪性能更優。

圖6(a)是DCT冗余字典，實驗中使用的初始化字典；圖6(b)是對DCT冗余字典在圖像樣本集下用K-SVD算法訓練后，獲得的基于自然圖像訓練字典。盡管該字典是訓練得到，但在不同情況下，這些自然圖像樣本依然不變，最終得到的是同一字典，和基于噪聲圖像訓練的字典相比，不具有自適應性。

為了保證實驗的可靠性，對不同類型圖像添加相同噪聲，分別對5幅圖像添加35%的隨機噪聲，實驗仿真了三種字典的稀疏方法去噪結果，如圖9所示。并繪制了5幅圖像在σ=20，25，30，35隨機噪聲下去噪后峰值信噪比(PSNR)的折線圖，如圖10所示。

從圖8和圖9可以看出，不同類型圖像受不同程度噪聲干擾后，基于學習字典的圖像稀疏去噪方法去噪性能均優于基于固定字典的圖像稀疏去噪方法，其中基于噪聲圖像訓練字典的方法隨著噪聲增加去噪效果比基于自然圖像訓練字典的方法好。同時當圖像細節較多時，lena圖像、boat圖像在受隨機噪聲干擾較小時，基于自然圖像訓練字典的方法與基于噪聲圖像訓練字典的方法相比，去噪效果稍好。這是由于在低噪聲下，圖像具有豐富的細節信息，此時對多幅自然圖像訓練所得字典對圖像稀疏表示更加稀疏，能更好地重構圖像。

在稀疏編碼過程中，使用OMP算法對訓練集中每個信號的稀疏表示，測量矩陣采用高斯隨機矩陣，表1給出了在算法迭代中一個信號的稀疏表示。該信號的稀疏系數矩陣大小為256×65 000，可以看出，此時稀疏系數矩陣幾乎為0，是稀疏的。

表1 信號的稀疏表示Tab.1 Sparse representation of the signal

圖10給出了此時更新稀疏系數時的殘差(余量)，其矩陣大小為64×1，為了方便顯示，將其排列成8×8矩陣形式。同時計算得到索引集為{4,8}。

圖9以PSNR為評價標準，將3種算法對圖像去噪質量的影響進行了分析比較，但算法復雜度也是評價算法優劣的一個重要指標，本文通過實驗仿真計算了3種算法重構所需時間，如表2所示。

圖像名稱稀疏字典σ=20σ=25σ=30σ=35lenaDCT字典42.3533.7226.1222.15基于自然圖像訓練字典33.2126.9322.3319.28基于噪聲圖像訓練字典154.05115.5299.2884.80peppersDCT字典30.2125.5921.4218.91基于自然圖像訓練字典26.4221.2218.2416.43基于噪聲圖像訓練字典110.8192.8179.5574.01boatDCT字典61.7246.5035.5428.49基于自然圖像訓練字典48.4536.1529.0724.89基于噪聲圖像訓練字典224.22162.25133.30109.53航拍圖像1DCT字典17.7714.7013.0512.07基于自然圖像訓練字典14.3813.2912.3011.35基于噪聲圖像訓練字典66.7462.4852.0650.28航拍圖像2DCT字典29.8923.9919.2916.19基于自然圖像訓練字典24.7921.1717.3015.01基于噪聲圖像訓練字典111.6389.5376.9166.45

由表2結果可知，基于噪聲圖像訓練字典的稀疏表示方法進行圖像去噪時，其復雜度最高，該方法的稀疏字典在訓練過程中K-SVD算法需要進行迭代來達到字典要求，運行時間會明顯高于其他兩種方法。基于DCT字典和自然圖像訓練字典的稀疏表示算法去噪程序運行時間明顯少于基于噪聲圖像訓練字典的稀疏表示算法。對于圖像細節信息較多的lena和boat，三種算法程序運行時間比其他圖像相比均較高。

4 結論

本文提出了基于字典學習的圖像稀疏去噪算法。該算法對圖像進行分塊處理，通過基于噪聲圖像塊訓練字典，采用K-SVD算法對初始化DCT字典訓練，然后用訓練得到的字典對圖像塊進行稀疏分解。仿真實驗結果得出，不同稀疏字典的稀疏去噪方法對具有不同細節信息的圖像去噪性能影響，在不考慮算法復雜度前提下，基于噪聲圖像訓練字典的圖像稀疏去噪算法與其他兩種算法相比去噪性能較好。

參考文獻:

[1]Aharon M, Elad M, Bruckstein A. The K-SVD： An algorithm for designing overcomplete dictionaries for sparse representation[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2006, 54(11)：4311-4322.

[2]張敏. 基于KSVD的雙字典學習算法及其在圖像處理中的應用[D].北京：北京工業大學, 2015.

[3]何俊飛, 李峰, 張建明,等. 使用雙稀疏的圖像去噪算法[J]. 小型微型計算機系統, 2015, 36(5)：1109-1112.

[4]高美鳳, 王晨. 基于聯合濾波的聚類稀疏表示圖像去噪算法[J]. 計算機工程與應用, 2015, 51(24)：180-185.

[5]宋成伶. 基于稀疏表示的圖像去噪的研究與實現[D].南京：南京郵電大學, 2016.

[6]詹曙, 王俊, 楊福猛,等. 基于Gabor特征和字典學習的高斯混合稀疏表示圖像識別[J]. 電子學報, 2015, 43(3)：523-528.

[7]鐘樺, 焦李成, 潘秋豐,等. 基于DCT字典同步稀疏表示的SAR圖像降斑方法： 中國，CN103077503A[P]. 2013.

[8]練秋生, 周婷. 結合字典稀疏表示和非局部相似性的自適應壓縮成像算法[J]. 電子學報, 2012, 40(7)：1416-1422.

[9]鄧承志. 圖像稀疏表示理論及其應用研究[D].武漢：華中科技大學, 2008.

[10]高廣春, 尚麗娜, 熊凱,等. 冗余字典在壓縮感知中的應用研究[J]. 電路與系統學報, 2012(6)：107-110.

[11]劉世凱. 基于稀疏表示的邊緣保持圖像去噪方法研究[D].北京：北京理工大學, 2015.

[12]Tropp J, Gilbert A. Signal recovery from random measurement via Orthogonal matching pursuit[J]. IEEE Trans. Inf. Theroy, 2007, 53(12)： 4655-4666.

[13]Cai T T, Xu G, Zhang J. On recovery of sparse signals via1minimization[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2009, 55(7)：3388-3397.

[14]Mohimani H, Babaie-Zadeh M, Jutten C. A fast approach for overcomplete sparse decomposition based on smoothed0norm[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2008, 57(1)：289-301.

[15]Ranjan Maitra, Thomas Mathew. Analysis of variance in statistical image processing[J]. Technometrics, 2000, 42(2)：212-213.