基于改進的正則化子空間追蹤算法的ISAR成像

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(大連大學信息工程學院，遼寧 大連 116622)

0 引言

逆合成孔徑雷達(Inverse Synthetic Aperture Radar, ISAR)具有全天時遠距離目標成像的優勢，已被廣泛應用于軍事及民用等領域[1]。傳統的FFT成像方法，成像分辨率受發射信號帶寬和目標轉角的限制[2]，而發射大帶寬信號以及增加相干處理時間會產生龐大的數據，對雷達系統的A/D轉換速率、數據傳輸及存儲等有較高的要求[3]。因此，有必要研究一種以較少的觀測樣本實現高精度ISAR成像的算法。

近年來發展迅速的壓縮感知(Compressive Sensing, CS)理論[4]指出，當信號或信號在某個變換域是稀疏的，就可通過求解一個最優化問題，以少量的信號測量值通過稀疏恢復算法高概率的恢復出原始信號。而對于ISAR成像而言，目標回波由目標上所有散射點回波疊加而成[5]，其中強散射點起主導作用，其數目遠小于回波采樣點數，滿足稀疏信號的特征[6]，因此可以將CS應用于ISAR成像領域，緩解傳統成像方法帶來的超大數據采集、存儲和傳輸壓力。

將CS理論應用于ISAR成像[7]的關鍵在于根據具體情況選擇或設計一種快速有效的重構算法實現對原始信號的精確重構。近年來眾多的綜述類文章都對稀疏重構算法進行了歸納和分類[8]。凸優化和貪婪追蹤算法是目前被廣泛使用的兩類算法。凸優化算法重構精度高，但計算比較復雜；相比之下，貪婪類算法在重構精度和計算量之間取得了較好的平衡，迅速成為研究的熱點之一[9]。貪婪類算法的代表性算法為正交匹配追蹤算法(OMP)[10]。目前大多數的貪婪類算法都是對OMP算法加以改進，以提高算法的重構精度與計算效率。例如StOMP算法是對原子識別步驟的改進[11]，而SP[12]和CoSaMp[13]等算法則是在原子識別步驟改進的基礎上，增加了冗余原子修剪的步驟，來遞歸的進行重構支撐集選擇。對于雷達信號而言，由于不同目標散射點的散射強度不同，故信號幅度往往是隨機起伏的，對于這一類信號，若直接使用上述的OMP或SP等算法進行重構，則會產生兩類重構錯誤問題：一類是幅度相對小的信號分量不能被正確重構；第二類是幅度相對較大的信號附近會產生“虛假”重構信號[14]。產生這種現象的原因在于感知階段無法選出正確的原子，或是選出的原子不能很好地表達原信號，最終導致重構失敗[15]。基于此，本文提出基于改進的正則化子空間追蹤算法(MRSP)的ISAR成像方法。

1 壓縮感知ISAR成像模型

ISAR成像實質上是用成像算法將回波中包含的散射點的位置和強度以圖像的方式表示。若雷達與目標間平動分量已經被補償掉，則ISAR目標成像等效為轉臺模型[16]。假設雷達發射線性調頻信號：

(1)

其中，tr是快時間，fc是載頻，γ是調頻率，Tp是脈沖寬度。距離脈沖壓縮后，忽略二次項與常數相位項，則目標上某散射點p(xp,yp)的回波信號表達式近似為：

(2)

其中，A表示回波信號幅度，Ta為觀測時間，λ為波長，c為光速。假設觀測時間內目標轉角較小，則R(tm)≈R0+yp+xpωtm，R0為雷達與目標基準點的距離。根據式(2)所示脈沖壓縮后的信號，假設某距離單元包含K個較強的散射點，并考慮加性噪聲，則此單元的回波信號表示為：

(3)

其中，Bk和fk分別表示第k個散射點的散射系數和多普勒頻率。

ISAR數據中的強散射點數相對于全部數據來說具有稀疏特性，因此原始數據圖像可以通過CS技術進行感知重構[17]。定義時間向量t=[1∶N]TΔt，N=Ta/Δt為脈沖數量，Δt=1/fr表示時間分辨率，fr為脈沖重復頻率。定義多普勒頻域的頻率分辨率為Δf，因此，離散的多普勒向量可以定義為fd=1：NTΔf。因此，構建一個傅里葉基為：

此時，將式(3)某個距離單元的回波信號寫成矩陣形式為：

s=Ψα+n

(4)

其中，α為信號s在Ψ域的稀疏表示向量，其非零分量對應于K個最大散射點的復幅度。

在基于壓縮感知的ISAR數據成像中，測量矩陣Φ∈RM×N(M

y=ΦΨα+n′=Θα+n′

(5)

考慮加性噪聲，ISAR信號重構優化問題可以寫為：

(6)

式中，ε為噪聲門限，Θ=φΨ為感知矩陣。如何設計有效的重構算法重構式(6)，避免重構錯誤問題，提高重構效率是本文的主要目的。

2 基于改進的正則化子空間追蹤算法的ISAR成像

2.1 改進的正則化子空間追蹤算法(MRSP)

OMP算法作為最早的貪婪算法之一，其對于之后的各種改良算法和新提出的算法都具有重要的指導意義。從現有的研究結果來看，對OMP計算量的改善通常以損失些許重構性能為代價，而性能的改善則以較高的運算量或存儲量為成本[18]。對比之下，SP算法具有較好的計算速度和重構概率，但是SP算法在每次回溯時，強信號分量總是得到保留，以至于在后續的回溯中，強信號分量遮擋弱信號分量，出現重構錯誤現象[14]。考慮實際應用，本文提出MRSP算法，采用黃金比例分割法(0.618法)[19]確定正則化過程實現支撐集的二次篩選，以及回溯反饋的思路來更加準確地估計、擴充目標信號的真實支撐域，最終重構出稀疏信號，使得壓縮感知重構算法更具實用性。

MRSP算法在每次迭代過程中，首先計算殘差r，然后求殘差與感知矩陣Θ中各個原子(本文所提“原子”指組成感知矩陣Θ的各個列向量)之間的相關系數u，從u中挑選出絕對值最大的K(K為信號的稀疏度)個原子的索引值存入索引集J，然后采用正則化過程繼續篩選原子，根據式0.618|u(i)|≤|u(j)|，i，j∈J，將J中索引值所對應的原子的相關系數分成若干組，選取能量最大的一組相關系數對應的原子的索引值存入J0中，完成正則化過程；然后將該索引集J0并入當前支撐集索引Λ中，更新支撐集T并利用最小二乘法進行信號估計，再根據回溯思想，選取前m(m

值得注意的是，現有的重構算法中涉及到正則化優選原子的文獻都是根據式0.5|u(i)|≤|u(j)|,i,j∈J進行原子篩選，而本文所提算法采用黃金比例分割法確定正則化過程，根據式0.618|u(i)|≤|u(j)|,i,j∈J進行正則化識別候選集中能量最大的部分原子。黃金比例分割法是一種經典的優化算法，能夠以盡可能少的試驗次數盡快找到實驗中的最優方案，故本文采用此種方法來確定正則化過程能更加精確快速的優選出真實原子，提高支撐集的可靠性。此外，本文所提算法在回溯反饋時，只選取前m(m

輸入：測量向量y，感知矩陣Θ，稀疏度K；

1)初始化：迭代次數t=1；殘差ro=y；索引值集合J=?，Λ=?；支撐集T=?；

2)計算相關系數u=abs[ΘTrt-1](即計算〈rt-1，θj〉，1≤j≤N)，并將u中絕對值最大的K個值所對應的索引值存入J；

3)正則化：根據式0.618|u(i)|≤|u(j)|，i，j∈J，將J中索引值所對應的原子的相關系數分成若干組，找出能量最大的子集J0；

4)更新Λt=Λt-1∪J0，Tt=Tt-1∪θj(j∈J0)；

6)更新殘差

7)t=t+1，如果t≤K則返回第(2)步繼續迭代；如果t>K或‖rt-rt-1‖2≤ε則停止迭代；

2.2 基于MRSP算法的CS-ISAR成像

基于本文所提MRSP算法的CS-ISAR成像算法步驟可以描述如下：

1)對雷達回波信號進行脈沖壓縮得到頻域上的稀疏信號；

2)設計測量矩陣Θ。為了能精確重建出原始信號，測量矩陣Θ與稀疏基Ψ需要滿足不相關的要求，故測量矩陣Θ采用隨機高斯矩陣，矩陣滿足均值為0，方差為1的正態分布。

3)稀疏采樣。測量矩陣在方位向總的N個脈沖中隨機抽取M個脈沖，即N維的回波信號經測量矩陣Θ降維處理得到M維的觀測信號y，這個低維的觀測信號包含了重構信號的絕大部分信息。

4)信號重構。采用重構算法MRSP對觀測信號y進行重構。選定閾值ε，當殘差‖rt-rt-1‖2≤ε時停止迭代，否則繼續迭代過程。

5)雷達圖像后處理。將重構信號進行適當組合即可得到雷達圖像。

3 仿真及實測數據實驗

3.1 MRSP算法重構性能驗證

為驗證該算法的有效性與可行性，分別選取兩種信號對該算法進行仿真驗證。定義壓縮率γ=M/B，M為觀測數，N為原始信號長度。

1)隨機信號壓縮重構

隨機產生一個長度N=256，稀疏度K=12的隨機信號。采用高斯隨機矩陣作為測量矩陣，利用MRSP算法對該隨機信號進行重構。實驗中選擇壓縮率γ=0.25，即測量點數M=64。重構信號與原信號的對比如圖1所示，重構誤差如圖2所示。

2)線性調頻信號壓縮重構

選擇線性調頻信號s(t)=exp(1.5×1012jπt2)，信號長度取N=1 024。采用離散傅里葉變換構成的正交基作為稀疏基，采用高斯隨機矩陣作為測量矩陣，利用MRSP算法對調頻信號進行重構。實驗中選擇壓縮率γ=0.5，即測量點數M=512，重構信號與原信號的對比以及重構誤差如圖3所示。

從以上仿真可以看出使用MRSP算法重建的信號能夠較好地反映原始信號，重構誤差較小，故MRSP算法重構性能較好，是一種有效可行的重構算法。

3.2 重建性能比較

本部分利用仿真實驗驗證OMP、SP、MRSP三種算法的信號重建性能。仿真實驗選取一個長度為256的稀疏信號，稀疏度為 12，即包含 12個非零隨機數，其他元素全部為0。測量矩陣采用高斯隨機矩陣。仿真過程中，當殘差小于1×10-6時，表示信號重建成功，停止迭代。

為驗證測量數M變化對三種算法重建性能的影響，設定量測數從24以等間隔5增加到 256，每個測量數下進行500次蒙特卡洛實驗，三種算法重建成功概率結果如圖4所示。

可見，當測量數較少時，三種算法的重建概率都較低；隨著測量數的增加，三種算法重建概率都逐漸增大。對比來講，隨著測量數的增多，MRSP算法重建成功概率要高于OMP、SP算法。

接下來驗證信號稀疏度K變化對三種算法重建性能的影響。設定稀疏度從1以等間隔5增加到70，每個稀疏度下進行500次蒙特卡洛實驗，重建成功概率結果如圖5所示。

由圖5可得，當稀疏度K>16時，OMP算法重建概率開始下降；當K>36時，SP、MRSP算法的重建概率開始下降，但SP算法重建概率下降速度較快，而MRSP算法下降速度較平緩。由此可知，隨著信號稀疏度的增加，MRSP算法性能更加穩定、準確重建效果較OMP算法、SP算法更好。

3.3 實測數據成像

本節選取YaK-42飛機的一組實測數據驗證本文所提算法成像性能。其相關的雷達參數為：載頻5.52 GHz，脈寬25.6 μs，脈沖重復頻率400 Hz。實驗中選取256個脈沖序列作為全孔徑數據量。

為驗證本文所提算法的成像性能，對回波信號分別進行傳統R-D成像、OMP算法、SP算法以及本文所提MRSP算法成像。仿真時，傳統R-D算法利用256個全回波數據進行成像；基于壓縮感知的OMP算法、SP算法以及本文所提算法成像時，采用離散傅里葉變換構成的正交基作為稀疏基，采用高斯隨機矩陣作為測量矩陣，選擇壓縮率γ=2/3，即測量回波脈沖個數為M=170。仿真結果如圖6所示。

圖6(a)是利用256個回波的R-D成像結果，圖6(b)—(d)是基于CS算法的成像結果。比較可見，利用CS成像算法，僅需170個回波脈沖即可得到相應的成像效果，甚至更少的回波都能得到有效成像，說明壓縮感知方法是有效可行的，能夠利用較少的回波數據進行有效成像，在數據完整性、傳輸以及存儲空間等方面具有很高的優越性。

比較圖6(b)—(d)成像結果，相同運行環境，相同回波脈沖個數條件下，MRSP算法較OMP算法、SP算法得到的成像結果聚焦性更好、更加清晰。對比這三種成像算法的峰值信噪比PSNR和運行時間：OMP算法的PSNR為5.474 3 dB，運行時間為12.246 1 s；SP算法的PSNR為4.407 8 dB，運行時間為10.420 9 s；MRSP算法的PSNR為5.662 9 dB，運行時間為7.238 4 s；與SP算法相比，MRSP算法成像結果峰值信噪比PSNR提高了約1.2 dB，運行時間提高約30%；與OMP算法相比，MRSP算法成像結果峰值信噪比PSNR提高了約0.2 dB，運行時間提高約40%。由此可以得出，本文提出的MRSP算法與OMP、SP算法相比，成像效果更好、運行時間更短，具有更好的優越性。

4 結論

本文提出了基于改進的正則化子空間追蹤算法的ISAR成像方法。該方法采用壓縮感知理論，將SP算法與正則化思想結合，采用回溯反饋和貪婪精選的方法進行支撐集選擇，并利用黃金比例分割法確定正則化過程實現支撐集的二次篩選，提高了對稀疏信號支撐集的估計精度；減少了傳統ISAR成像中對大數據的要求，降低了雷達成像系統的復雜性，以較少的觀測信息獲得較高質量的目標圖像，在一定程度上解決了大量數據傳輸及存儲的難題。仿真實驗結果表明該算法對較少的回波數據進行重構，既能獲得更加清晰的成像結果，又能進一步提高運算速度，是一種有效可行的重構算法。

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