基于磁偶極子磁場分布特征的磁矩方向估算方法

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(1.海軍工程大學，湖北 武漢 430033；2.海軍海洋測繪研究所，天津 300061)

0 引言

磁矩是描述物體磁特性的一個重要參數，磁矩測量對于衛星的姿態控制[1-2]、磁性目標的消磁及磁防護[3]工作都具有重要的意義。

為解決磁性目標磁矩的反演問題，陳進明等[4]利用神經網絡優化算法對磁矩反演進行了優化計算，并對反演過程中的魯棒性較差的現象進行了自適應修正；洪咸東等[5]對水雷磁矩測量過程中的測量誤差進行了建模，分析了測量距離、傳感器長度以及傳感器直徑等因素對測量誤差的影響；亓亮等[6]利用磁傳感器陣列系統測量輻射體的空間磁場分布，然后通過計算解算出輻射體的磁矩，但該方法同樣需要進行迭代收斂計算，求解的精度與選用的方法有關。這些磁矩反演的問題都轉化為了非線性優化問題，直接根據磁場數據優化求解磁矩。

對于非線性問題的求解，其計算方法的選取具有一定的隨機性，求解結果受所選用的方法以及初值的設定影響較大。為避免磁矩反演時的非線性優化問題，本文提出了基于磁偶極子磁場分布特征的磁矩方向反演方法。這里的磁場分布特征主要包含磁梯度張量[7-8]分布和磁場矢量分布兩部分。

1 特征平面上磁梯度張量奇異性分析

設源點磁偶極子所在位置為坐標原點O，磁偶

極子磁矩為M=(mx,my,mz)，場點A(x,y,z)處的空間磁場為：

(1)

對式(1)中Bx、By、Bz分別在x、y、z三個方向上求偏導，得到磁梯度張量G中的9個量，磁梯度張量可表示為：

(2)

式中：

計算得到磁梯度張量G的3個特征值分別為

(3)

根據式(3)中特征值的表達式可知特征值λ2<0、λ3>0，若特征值λ1=0，即xmx+ymy+zmz=0，磁梯度張量為奇異陣，則此時場點位于磁偶極子的特征平面[9]上；反過來若場點位于特征平面上，則有xmx+ymy+zmz=0，此時特征值λ1=0，磁梯度張量為奇異陣。可知，所有滿足磁梯度張量矩陣奇異的場點均位于特征平面P上，滿足這一條件的場點位置矢量r與磁矩M是垂直的。

2 磁矩方向估算方法

2.1 特征平面法向量的計算

如圖1所示，O為磁偶極子源點，M是磁矩，平面P是磁偶極子的特征平面，位于平面P上的兩條直線L1和L2稱為特征線。特征線L1、L2與磁矩M是相互垂直的。

任意與特征平面不平行的面上的磁梯度張量奇異點都位于同一條直線上，這條直線是該平面與特征平面的相交線。因此若能計算得到不重合的兩個平面上的特征線L1和L2，就可以唯一確定特征平面P的位置，進一步可求得特征平面P的法向量Im，法向量Im與磁矩M是平行關系，若要進一步使Im的方向與磁矩M的方向一致，需要結合磁偶極子磁場分布特征對Im方向進一步進行標定。

2.2 磁矩方向的計算

圖2為磁偶極子磁場沿磁矩的剖視圖，圖中給出了磁力線及其指向。坐標原點O為磁源位置，以磁矩的指向為Z軸的正向，P是特征平面，A是場點，B為磁場矢量。

圖中磁偶極子的特征平面P將磁場空間劃分成為上下兩部分，上半部分磁力線的走勢呈現從磁源向四周發散的趨勢，記為磁場發散區，在發散區內場點A位置失量OA與磁矩M的夾角小于90°；下半部分磁力線的走勢呈現從四周向磁源匯聚的趨勢，記為磁場匯聚區，在匯聚區內場點A位置矢量OA與磁矩M的夾角大于90°。失量OA與磁矩M的夾角計算公式：

(4)

場點A處的磁場B與場點位置矢量OA的夾角：

(5)

根據式(4)、式(5)可知，cosθ和cosβ的符號相同，僅與xm1+ym2+zm3的正負有關。因此，若cosβ>0，則有cosθ>0，即場點位于發散區，此時場點坐標矢量OA與磁矩M的夾角θ<90°；若cosβ<0，則有cosθ<0，即場點位于匯聚區，此時場點坐標矢量OA與磁矩M的夾角θ>90°。即在某一指定的場點A處，可以根據OA與B的夾角關系確定OA與磁矩M的夾角關系，進而對向量Im的方向進行判定，最后實現磁矩方向的估算。

3 仿真及誤差分析

在實際的測量計算中，由于存在多種因素的影響使得測量數據與理論值之間存在差異，根據矩陣特征值λ1=0來判斷某一矩陣是否為奇異陣往往是比較困難的，較為可行的做法是根據條件數的大小來判斷矩陣是否奇異或接近于奇異，條件數大的為奇異矩陣或接近于奇異矩陣，若奇異，則該場點位于特征平面上。因此，可以在某一區域范圍內取多個場點，根據場點處的磁梯度張量矩陣的條件數來判斷該場點是否位于特征平面上。

設偶極子的磁矩M=(1 000，-1 430，3 600)A·m2，在空間Z=-3 m的平面上，取定矩形測量區域X、Y的范圍為-19

結合圖3中的三維視圖分析可知，在計算空間中出現了磁張量矩陣條件數異常的現象，大部分場點處磁張量矩陣的條件數都比較小，不超過10，小部分場點處的條件數明顯超過其他場點很多，達到幾百甚至上千。從俯視圖上可以看出，條件數較大的點基本分布在一條直線附近，根據上節的分析可以判斷，這條直線是特征平面P與Z=-3平面的相交線，在此稱為特征線。擬合得到特征線L1(圖中斜線)的曲線方程：

同樣，在Z=3的平面上選擇同樣大小的測量區域進行場點磁張量矩陣條件數的計算，將場點對應的條件數繪制于圖4中。

與圖3中的結果相同，圖4顯示出在Z=3的平面區域上也存在磁張量矩陣條件數異常的現象，部分場點的條件數明顯超過其他場點很多，最大達到1 000以上。從俯視圖上可以看出，這些條件數較大的場點近似分布在一條直線附近，這條直線是特征平面P與Z=3平面的相交線。擬合得到特征線L2(圖中斜線)的曲線方程：

如圖5所示，特征線L1和L2位于平面P上，磁矩M與L1和L2是相互垂直的關系，因此可根據特征線L1和L2的空間位置關系初步計算出與磁矩M平行的空間向量Im，即特征平面的法向量。

直線L1、L2在Z=0平面上投影的位置關系：

1)在Y軸截距相差：

Δb=21.598 8-6.463 6=15.135 2

2)投影直線的傾斜角(與X軸夾角)：

α=arctan(0.701 6)=0.611 8

3)兩投影直線間距：

Δb′=Δbcosα=12.389 9

直線L1、L2所確定的特征平面P與Z=0平面的夾角：

β=arctan(Δh/Δb′)=
arctan((3-(-3))/13.810 3)=0.451 0

設Iy=±(0,1,0)是平行于Y軸的單位向量，將Iy首先繞Z軸逆時針旋轉α角，然后再繞X軸逆時針旋轉β角，即是特征平面P的一個法向量，同時也是一個與磁矩M平行的單位向量。根據歐拉旋轉關系確定出磁矩M的方向：

(6)

下面結合磁場分布特征對Im的正負號進行判定。

選取坐標為(-19,-20,3)的場點A，對應的磁場B=(-11.747 9,-0.747 0,-15.732 7)nT，根據式(5)可以求得：

計算可知，當式(6)中Im取正號時可滿足cosθ> 0，最終確定磁矩方向為Im=(1,-1.425 5,3.595 7)。

計算磁矩方向Im與設定磁矩M=(1 000,-1 430,3 600)A·m2之間的夾角為

4 結論

本文提出了基于磁偶極子磁場分布特征的磁矩方向估算方法，通過分析磁偶極子的磁場分布特性，利用磁梯度張量奇異點確定特征平面的位置，得到與磁矩相平行的特征平面的法向量，再根據位置矢量與磁矩、磁場矢量所成的兩個夾角之間的關系確定法向量的具體指向，從而得到磁矩的方向。仿真結果表明，該方法有效避免了以往磁矩求解工作中需進行非線性優化的難題，實現了目標磁矩的反演。估算得到的磁矩方向與設定的磁矩方向基本一致的，兩者之間的角度偏差僅為0.14°。

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