巧用類比?構(gòu)建精彩

王文玲

【摘要】所謂類比，就是由兩個(gè)對(duì)象的某些相同或類似的性質(zhì)，推斷出它們在其它性質(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式。類比法是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的方法之一，像許多概念、定理、公式、法則等都是通過類比得到的。從學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中生長新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的過程實(shí)際上就是學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)的過程。在《反比例函數(shù)（1）》一課的教學(xué)中，類比正比例函數(shù)與一次函數(shù)的概念，交流歸納反比例函數(shù)的概念，激活學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)及方法去類比新的知識(shí)，從而高效的學(xué)習(xí)，讓學(xué)習(xí)真正的發(fā)生。

【關(guān)鍵詞】類比；概念教學(xué)；課例研究

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）34-0270-02

建構(gòu)主義教學(xué)論認(rèn)為：“應(yīng)當(dāng)把學(xué)習(xí)者原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者從原有的只是經(jīng)驗(yàn)中，生長新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)?！背踔袛?shù)學(xué)是有前后相互聯(lián)系的整體結(jié)構(gòu)，知識(shí)點(diǎn)連接比較緊密且呈螺旋上升。教師可以引導(dǎo)學(xué)生在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，進(jìn)而達(dá)到化難為易、事半功倍的效果。天文學(xué)家開普勒說：我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可依賴的老師，它揭示自然界的秘密，在數(shù)學(xué)中是不可忽視的。可見類比在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重視，大部分?jǐn)?shù)學(xué)教師在教學(xué)中，這種思想方法并沒有引起足夠的重視，大部分?jǐn)?shù)學(xué)教師在教學(xué)中也只是形式上的類比，簡單一筆帶過，教學(xué)中將每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間都割裂獨(dú)立上，其結(jié)果學(xué)生在初中階段沒有形成類比學(xué)習(xí)的能力，對(duì)高中的學(xué)習(xí)產(chǎn)生不利的影響。浙江教育出版社八年級(jí)下冊第六章《反比例函數(shù)（1）》通過體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣與愿望，啟發(fā)學(xué)生將新函數(shù)與一次函數(shù)進(jìn)行類比，使學(xué)生能輕松的得出新知?，F(xiàn)將教材分析、教學(xué)過程、教學(xué)評(píng)價(jià)及教學(xué)思考與收獲呈現(xiàn)于大家，期待各位同仁的斧正。

一、教材分析

《反比例函數(shù)》是第6章反比例函數(shù)的第一節(jié)，是學(xué)好這一章的基礎(chǔ)，所以新知的建立與理解非常重要。從知識(shí)體系看，它是初中階段三大函數(shù)之一，區(qū)別于一次函數(shù)，但又建立在一次函數(shù)之上，本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)為以后更高層次函數(shù)的學(xué)習(xí)，以及函數(shù)、方程、不等式間的關(guān)系處理奠定了基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著承上啟下的橋梁作用；從數(shù)學(xué)思想方法上看，本章蘊(yùn)含類比、建模、轉(zhuǎn)化、方程等數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生觀察問題、研究問題和解決問題都十分有益；從學(xué)生的角度看，本節(jié)課比較抽象，學(xué)生理解起來比較困難。因此，在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)概念的過程中，啟發(fā)學(xué)生將新函數(shù)與正比例函數(shù)、一次函數(shù)進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，所以學(xué)習(xí)本節(jié)課的關(guān)鍵是處理新舊知識(shí)的聯(lián)系，盡可能的減少學(xué)生接受新知識(shí)的困難。這一節(jié)的重點(diǎn)是反比例函數(shù)的概念，教學(xué)的難點(diǎn)是理解反比例函數(shù)的概念，例題中涉及《科學(xué)》學(xué)科的知識(shí)，學(xué)生理解問題時(shí)有一定難度。根據(jù)課標(biāo)要求，結(jié)合學(xué)生的具體情況，確定本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)是：1、從現(xiàn)實(shí)情境和已知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，討論兩個(gè)變量之間的相互關(guān)系，加深對(duì)函數(shù)概念的理解。經(jīng)歷抽象反比例函數(shù)概念的過程，了解反比例函數(shù)的意義，理解反比例函數(shù)的概念。會(huì)求簡單實(shí)際問題中的反比例函數(shù)解析式；2、進(jìn)一步提高探究問題，歸納問題的能力，能運(yùn)用函數(shù)思想方法解決有關(guān)問題；3、通過已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)探索過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究和發(fā)現(xiàn)過程，逐步培養(yǎng)學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中主動(dòng)探索的意識(shí)和合作交流的習(xí)慣，逐步增強(qiáng)用函數(shù)觀點(diǎn)思考的能力。

二、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，梳理知識(shí)

原書中是探究北京到杭州火車的行駛時(shí)間和平均速度之間的關(guān)系以及質(zhì)量是100g的金、銅、鐵、鋁四種金屬的體積與密度之間的關(guān)系，這樣得到反比例函數(shù)概念難度較大?？紤]到學(xué)生接觸函數(shù)所蘊(yùn)含的“變化與對(duì)應(yīng)”思想至今已經(jīng)半年有余，學(xué)生對(duì)函數(shù)相關(guān)的概念不可避免會(huì)有所遺忘或者生疏，所以以“菜市場買菜”這樣一個(gè)生活中的場景先回顧了正比例函數(shù)、一次函數(shù)以及函數(shù)的概念，在第三個(gè)問題中得到一個(gè)新的關(guān)系式，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

【課堂實(shí)錄】

師：同學(xué)們在課余時(shí)間都去過菜市場嗎？在菜市場中也存在著許多數(shù)學(xué)問題呢，你們有思考過嗎？

在借助多媒體來播放菜市場的場面，并拋出第一個(gè)問題：

師：請(qǐng)問媽媽買2.6元/斤的番茄，買了w斤，那么所花費(fèi)的錢x可以用什么來表示呢？

生1：x=2.6w。

師：非常好，那么有同學(xué)記得這是我們學(xué)過的什么方面的知識(shí)呢？

生2：正比例函數(shù).

師：Good！那誰知道它的一般形式呢？

生3：y=kx。

師生交流后，教師板書正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx（k為常數(shù)且k≠0）

師：第二個(gè)問題：買了多樣果蔬花了36元，現(xiàn)在還想買8元/斤的豬肉y斤，請(qǐng)問花費(fèi)錢的總數(shù)z應(yīng)該怎么表示呢？

生4：z=36+8y。

師：不錯(cuò)，那么有誰記得這是我們學(xué)過的什么方面的知識(shí)呢？

生5：一次函數(shù)，y=kx+b。

師生在此交流之后教師板書一次函數(shù)y=kx+b（k b為常數(shù)且k≠0）

師：那我們是如何學(xué)習(xí)一次函數(shù)，學(xué)習(xí)哪些知識(shí)點(diǎn)呢？

生：概念、圖像、性質(zhì)、應(yīng)用

教師板書：概念、圖像、性質(zhì)、應(yīng)用

然后再用體驗(yàn)式教學(xué)，教師在課堂中對(duì)學(xué)生提出難度稍高的第三個(gè)問題：

師：現(xiàn)在買菜結(jié)束了，要回家了，倘若菜市場離家的距離為1000米，到家所用的時(shí)間為t，平均速度為v，那你能得出什么樣的關(guān)系式呢？

生6：vt=1000

師：非常好，有沒有同學(xué)有別的答案？

生7：

生8：

師：大家回答的都非常好，那么請(qǐng)問同學(xué)們，這個(gè)關(guān)系式是函數(shù)嗎？這與我們之前所學(xué)的關(guān)系式形式一樣嗎？這就是本節(jié)課我們要揭開的奧秘。

此環(huán)節(jié)通過師生互動(dòng)，梳理了之前所學(xué)的一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念，又對(duì)新的關(guān)系式與之前所學(xué)的關(guān)系式進(jìn)行了簡單的對(duì)比，為接下來通過類比的方法得出新知埋下伏筆。

（二）問題講解，傳授新知

創(chuàng)設(shè)情景時(shí)，比較貼近生活，學(xué)生能感受到生活中也處處存在上述關(guān)系式，使得反比例函數(shù)不再是抽象的數(shù)學(xué)書上的內(nèi)容，但是純粹一個(gè)關(guān)系式不能概括出反比例函數(shù)的概念。書上的第一個(gè)探究與上面問題類似，故只選用第二個(gè)問題進(jìn)行講解，這樣的處理既方便計(jì)算，又可以讓學(xué)生快速總結(jié)出v與p的數(shù)量關(guān)系。

【課堂實(shí)錄】

探究：測量質(zhì)量都是都是100g的金、銅、鐵、鋁四種金屬塊的體積v（cm?）的結(jié)果，ρ（g/cm?）表示金屬塊的密度.已知鋅的密度是7.14g/cm?，金的密度是19.30g/cm?。

師：那么ρ與v有什么關(guān)系呢？

生9：

師：上述兩個(gè)函數(shù)都具有的形式，一般地形如（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，x為自變量，k叫做反比例函數(shù)的比例系數(shù)。但是看x所在位置是分母，所以反比例函數(shù)的自變量x的值不能為零。（板書，k為常數(shù)且k≠0，x≠0）

此環(huán)節(jié)構(gòu)建互動(dòng)、和諧的課堂教學(xué)氛圍，使學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)概念完成從感性體驗(yàn)到理性認(rèn)識(shí)的過渡，類比一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念，讓學(xué)生探索反比例函數(shù)的概念。學(xué)生在體驗(yàn)探究的過程中，感受知識(shí)的形成過程，從而為知識(shí)的內(nèi)化和正遷移創(chuàng)造了條件。但對(duì)于自變量x不能取0的說法是教師直接告知，而非學(xué)生從探究過程中發(fā)現(xiàn)，教師對(duì)于這一環(huán)節(jié)的處理欠妥，希望下次教學(xué)是可以改進(jìn)。

（三）有效檢測，鞏固技能

通過式子的變形，讓學(xué)生抽象出反比例函數(shù)的一般形式，引導(dǎo)學(xué)生類比正比例函數(shù)的定義方法，得出反比例函數(shù)的概念。接下來PPT展示辨一辨中8個(gè)小題，這部分是對(duì)新知的運(yùn)用，教師不應(yīng)該節(jié)奏過快。

下列函數(shù)中哪些是關(guān)于x與y的反比例函數(shù)，并指出相應(yīng)k的值？

（1）y=3x-1（2）（3）（4）

（5）（6）xy=3（7）（8）（s為常數(shù)，s≠0）

此環(huán)節(jié)在學(xué)生充分理解概念的前提下，教師和學(xué)生一起做習(xí)題，但對(duì)于習(xí)題的先后順序頗有爭議，對(duì)于第（3）題部分教師認(rèn)為較難，應(yīng)該放在后面，部分教師認(rèn)為這是一般形式，學(xué)生應(yīng)該可以接受。而對(duì)于xy=3和的設(shè)計(jì)大家都比較贊同，交流歸納出反比例函數(shù)的另外兩種形式，學(xué)生自主交流之后，師生一起歸納。

（四）拓展探究，實(shí)踐體驗(yàn)

教材中的例題是物理學(xué)中的杠桿原理，通過此例讓學(xué)生感受用數(shù)學(xué)模式的變化來理解物理性質(zhì)，是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力上有一個(gè)提高。利用阿基米德的“撬動(dòng)地球”的歷史故事，結(jié)合了學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，很好的激發(fā)了學(xué)生對(duì)問題探究的興趣，于其讓學(xué)生“苦學(xué)”，不如讓學(xué)生“樂學(xué)”。創(chuàng)設(shè)一種欲罷不能的心理氛圍，從而使學(xué)生形成了問題探究的動(dòng)機(jī).進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)建模能力.

【課堂實(shí)錄】

例1、如圖，阻力為1000N，阻力臂長為5cm.設(shè)動(dòng)力為y（N），動(dòng)力臂為x（cm）

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.這個(gè)函數(shù)是反比例函數(shù)嗎？如果是，請(qǐng)說出比例系數(shù)；

生14：xy=5000，比例系數(shù)為5000

師：好，但是現(xiàn)在要求是y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式該怎么寫合適呢？

生14：

（2）求當(dāng)x=50時(shí)，函數(shù)y的值，并說明這個(gè)值的實(shí)際意義；

生15：x=50時(shí)，y=100，實(shí)際意義是當(dāng)x=50時(shí)，y=100。

師：這個(gè)實(shí)際意義欠缺，應(yīng)該回答50表示什么，100表示什么？

生15：當(dāng)動(dòng)力臂長為50cm時(shí)，所需動(dòng)力為100N。

（3）當(dāng)x從50變化到500時(shí)，y的值如何變化？

生16：y從100變化到10。

師：x從50到500擴(kuò)大了10倍，那么y呢？

生16：縮小了10倍。

師：應(yīng)該說縮小到原來的。

（4）利用y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，說明當(dāng)動(dòng)力臂長擴(kuò)大到原來的n（n>1）倍時(shí)，所需動(dòng)力將怎樣變化？

生17：當(dāng)動(dòng)力臂擴(kuò)大到原來的n倍，所需動(dòng)力將縮小到原來的。

師生：當(dāng)動(dòng)力臂擴(kuò)大到原來的n倍，所需動(dòng)力將縮小到原來的，所以當(dāng)動(dòng)力臂無限擴(kuò)大，那么動(dòng)力就無限縮小。

此環(huán)節(jié)借助多媒體的教學(xué)輔助作用，使問題的出示顯得活潑、直觀，增強(qiáng)了問題的趣味性，從而更好的促使學(xué)生對(duì)問題的體驗(yàn)、探究。

三、專家點(diǎn)評(píng)

本節(jié)課教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容與目標(biāo)進(jìn)行深刻研究，反比例函數(shù)一課是建立在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)一次函數(shù)和正比例函數(shù)相關(guān)問題的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生先回顧了一次函數(shù)和正比例函數(shù)的基本形式以及函數(shù)的概念，通過貼近生活的例子的體驗(yàn)式教學(xué)引出一個(gè)新的關(guān)系式，通過類比所學(xué)的函數(shù)，通過設(shè)疑不僅激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還激起學(xué)生自主參與的積極性和主動(dòng)性，為自主探究新知?jiǎng)?chuàng)造了條件并激發(fā)了積極的情感態(tài)度。再通過探究活動(dòng)，師生互動(dòng)，繼續(xù)體驗(yàn)生活中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的函數(shù)問題，從而交流歸納出這個(gè)新函數(shù)的基本形式或者xy=k（k為常數(shù)且k≠0、x≠0）引出反比例函數(shù)的概念。本節(jié)課的教法設(shè)計(jì)能很好的結(jié)合學(xué)生心理發(fā)展的特點(diǎn)和規(guī)律。結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合學(xué)生發(fā)展的能力要求真正確立“以人為本”的教學(xué)理念。學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣低是我國初中數(shù)學(xué)教學(xué)中最大的難點(diǎn)，大部分學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)不僅是一門枯燥的學(xué)科，而且還是一門抽象的、難度較高的學(xué)科，因此不少學(xué)生將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)看作一種任務(wù)，還有一部分學(xué)生在大量的題海中對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了抵抗現(xiàn)象。這種現(xiàn)象造成很大原因歸根于我們的教師的教學(xué)方式。例如：學(xué)習(xí)反比例函數(shù)時(shí)，大部分教師先是講解反比例函數(shù)的概念，然后講解簡單的例題，再讓學(xué)生自己完成題目，這是最原始的教學(xué)方案，然而這種教學(xué)方式，只有少部分學(xué)生能完全掌握知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于大部分學(xué)生來說，函數(shù)本身是一個(gè)抽象的公式，這種普通的講課方式，并不能讓學(xué)生完全理解講課內(nèi)容。因此想要促進(jìn)初中數(shù)學(xué)的教學(xué)水平，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是關(guān)鍵，那就要求數(shù)學(xué)貼近生活，而如何幫助學(xué)生知識(shí)的遷移也是教師教學(xué)中需要做的，激活學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，研究方法，促進(jìn)學(xué)生持續(xù)、高效的學(xué)習(xí)。

四、教學(xué)思考——立意深遠(yuǎn)

筆者認(rèn)為，在深意上，教師若能在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比法發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、總結(jié)歸納能力，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。

課后本備課組成員展開深層次分析，這節(jié)課是利用“先行組織者”，引導(dǎo)學(xué)生展開“類比——探究”的教學(xué)設(shè)計(jì)思路，其用意是要讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)研究的基本過程，通過類比，先讓學(xué)生對(duì)本節(jié)的研究內(nèi)容有一個(gè)整體認(rèn)識(shí)，在后續(xù)研究中能夠“見木見林”給學(xué)生提供基本思想方法，立意是使學(xué)生明確數(shù)學(xué)中研究問題的“基本套路”，這種類比思想方法，在學(xué)完“三角形”后學(xué)習(xí)“四邊形”也存有借鑒，可以將三角形一章作為新的內(nèi)容的“先行組織者”其作用是：搭建研究框架，引導(dǎo)思維方向，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力有積極意義。為了讓學(xué)生充分感悟由“一次函數(shù)”知識(shí)類比學(xué)習(xí)“反比例函數(shù)”知識(shí)，這節(jié)課需要對(duì)“一次函數(shù)”知識(shí)進(jìn)行回顧，再由學(xué)生充分的自主學(xué)習(xí)研究獲得新知——反比例函數(shù)。這樣學(xué)生接受起來很輕松。這正如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中所提出的那樣：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上?！?/p>

對(duì)比的結(jié)果顯而易見的告訴我們：前一種教學(xué)僅僅是教師教學(xué)生知識(shí)，是授之以魚；后一種教學(xué)是真正意義上的學(xué)習(xí)，是教師授之以漁的方法。前者是量的積累，后者是質(zhì)的提高。當(dāng)學(xué)生從思維上，方法上有一定的積淀，研究習(xí)慣一旦形成，他們不但可以輕松掌握知識(shí)，關(guān)鍵是獲得研究數(shù)學(xué)問題的基本套路，這才是真正的能力，才是學(xué)習(xí)之后應(yīng)該留下來的東西，教會(huì)學(xué)生類比學(xué)習(xí)的方法尤為重要。

參考文獻(xiàn)

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