時間窗口約束下基于改進蟻群算法的協同制造調度研究

唐 亮，何 杰，靖 可，靳志宏

(1. 大連海事大學交通運輸工程學院，遼寧 大連 116026；2. 東南大學交通學院，江蘇 南京 210096；3. 大連海事大學航運經濟與管理學院，遼寧 大連 116026)

1 引言

當今，制造業尤其是航空、汽車、電子等高新技術行業在數字化制造和網絡化制造模式[1-2]的興起下，越來越注重高效率、協同化的生產。這種模式可以充分利用協同制造企業的優勢資源進行生產制造，也由此產生了協同制造商選擇問題，并面臨不同產品生產時的可行協同制造網絡設計問題。然而也正是由于協同制造模式下協同調度運作具有比傳統模式更多樣性的特性，使得調度問題變得更加復雜。傳統調度問題一般是加工工藝路線固定，而協同制造模式下加工工藝路線具有不固定的特點，且多種不同的加工路線可以形成網絡，這使得調度的選擇性變多，調度的復雜性增加。對此，需要設計具有普適性的不同類型協同制造網絡，并從中找到合理和優化的網絡路徑。

目前，對具有網絡化特征的協同制造調度問題的研究非常少，因此本文主要針對與本文研究問題相關的供應鏈調度問題進行綜述，主要研究包括：Thomas等[3]研究了多獨立生產廠商和單連接的資源約束規劃調度問題，他們將該問題分解為兩層：生產規劃和資源調度，并構建了一個混合整數規劃模型，采用基于列生成分布式決策方法進行求解。Selvarajah等[4]研究了最小化加權流水時間和批量運輸成本的供應鏈調度問題，通過分析一些多項式可解特殊問題，提出了啟發式算法求解一般問題。他們給出了下界以研究該啟發式算法的效果，數值仿真表明所提算法求得結果非常接近最優解。Sawik[5]針對材料供應、生產、裝配的集成調度問題構建了混合整數規劃模型，其目標是協同整個供應鏈以實現庫存成本、生產線啟動成本以及運輸成本的最小化。Liu等[6]對庫存、運輸和調度決策進行了綜合考慮，并對此提出了綜合模型，在此基礎上采用元啟發式算法進行變領域搜索，仿真實驗驗證了該算法的有效性。Hajiaghaei-Keshteli等[7]提出了一個集成的生產和運輸供應鏈調度模型，目標是尋找優化的生產排程和運輸路徑實現最小總成本下的客戶最優服務，他們采用了啟發式方法對該問題進行了求解。

Chen Zhilong等[8]調查了現有的綜合調度模型，并給出一個統一的模型表述方案。同時將現有的模型分為幾個不同的種類，并對各個模型的最優性能、計算柔性、求解算法做了概述。孫靖等[9]為解決信息不完全共享環境下大規模定制供應鏈的動態調度問題，提出了基于蟻群算法的多企業交互調度模型。Yimer等[10]針對按訂單生產制造供應鏈，構建了一個從原材料采購、部件制造、產品裝配以及配送過程的兩階段混合整數規劃模型。劉小華等[11]以大規模定制模式下的供應鏈調度優化問題為研究背景，將該問題進行數學規劃建模，并通過定義將模型映射為有向圖。構造一種混合算法并進行供應鏈優化調度問題求解，結果表明該混合算法具有較好的整體性能。姚建明等[12]分析了拉動式供應鏈調度動態性的產生根源，他們分析了供應鏈動態調度過程中的兩個主要瓶頸，并在優化供應鏈動態調度過程中引入蟻群覓食的尋優機理，提出供應鏈動態調度的螞蟻尋優算法。裴軍等[13]研究了多供應商和單制造商組成的二層供應鏈調度問題，他們考慮了各廠商的工件加工方式，并以最小化制造跨度時間和運輸總費用為目標進行優化。姚建明等[14]在對MC模式下供應鏈調度的基本運作特征描述及界定基礎上，分析了調度過程中主導矛盾的緩解思路；通過將該思路引入動態調度的運作過程，分析了MC模式下的供應鏈動態調度機理，并提出了供應鏈動態調度的螞蟻尋優算法。程八一等[15]研究了作業體積有差異且生產設備為容積限定的批處理設備的差異分批調度問題，以服務跨度即制造-配送的總時長為優化目標，建立整數規劃模型。

通過上述研究綜述，我們知道現有研究主要針對固定工序模式下的傳統調度問題進行，很少有針對本文所提協同模式下具有非固定工序特點的調度問題方面的成果。而事實上，這種類似模塊化生產的非固定工序調度問題在當前數字化制造以及協同制造模式下，將變得更加普遍，其問題的研究和解決也變得尤為迫切。因此，本文在上述研究的基礎上，針對協同制造模式下的多產品多訂單協同制造調度問題進行了研究。我們綜合考慮了制造商同類產品訂單的合并加工問題以及不同協同制造商之間的運輸問題，并在此基礎上設計了四種典型的協同制造網絡，在交貨時間窗口的約束下對協同調度問題進行優化。

2 協同制造模式下的網絡調度模型

2.1 問題描述

在協同制造模式下，為了充分利用企業的優勢資源，不同的加工制造工序可以有多個協同制造商供選擇，構成了產品的協同制造網絡。在這種協同制造商供需網絡中，若干個協同制造商作為網絡節點，不同的產品加工可以設計不同的可行加工網絡，每個協同制造商具備加工一個或連續多個工序的能力。制造商相互之間根據產品需要，可自由構建供需關系，每種產品指定網絡中的一些制造商按照一定的次序組成協同制造加工鏈。

基于上文描述，本文構建模型的實質是：任意一個協同制造商是有向圖中的一個節點，產品的加工序列構成連接節點的邊(該產品的加工工序是非固定的)，進而由邊構成加工路徑，多條加工路徑可以共同構成有向協同加工網絡圖。

本文調度問題給出如下假設：

a)每個協同制造商只負責某一同類工序的加 工，不同產品經過該協同制造商所經歷的加工處理方式是一致的，因此假設同一制造商分別加工等量的不同產品的加工費用相同；

b)各個訂單的每個子任務只交由某一個協同制造商完成，且一個企業制造商不能并行處理不同訂單的相同子任務；

c)產品是單向生產，不存協同制造網絡中某工序節點折回加工的情況；

d)訂單產品在制造商之間的運輸只考慮時間問題，不考慮成本問題；

e)同一訂單產品在不同制造商處單位庫存費用相同，庫存費用與存儲量和存儲時長成正比；

f)同類產品的不同訂單在同一制造商處可合并加工；

g)訂單產品在第一道工序為原材料，原材料成本以及其庫存成本在本文不予考慮；

h)各個訂單產品按照先到達先加工，加工結束立即運輸處理(若訂單到達某一制造商時該制造商正在加工其它訂單，則進入等待隊列)；

i)選取供應鏈運作開始的時間為0時刻；

j)訂單產品交貨時間分為最早交貨時間和最晚交貨時間，不接受提前交貨。

2.2 多產品網絡協同調度數學模型

為構建協同制造模式下多產品多訂單的協同制造調度模型，首先對本文中用到的相關符號、參數、變量等進行定義，具體如下：

M—協同制造商總個數

K—訂單總數

m—協同制造商索引，m=1,2,…,M

k—訂單索引，k=1,2,…,K

p—產品索引，p=1,2,…,P

i—制造商加工次數索引

j—產品工序數索引

l—加工路徑索引

Qk—第k個訂單的訂單數量

nm—第i個協同制造商加工總次數

nk l—第k個訂單在可行加工路徑l下的工序總數

nk—第k個訂單可行加工路徑總數

uk l—0,1變量，訂單k在可行加工路徑l上加工為1，否則為0

(1)協同制造商模型要素分析

協同制造商模型的設計主要考慮加工成本和加工時間兩個主要因素。

1)協同制造商加工成本

(1)

2)協同制造商加工時間

制造商加工產品的數量越多所需要的加工時間就越長，加工時間Tm與加工產品數量Q之間可用函數關系近似表達如下：

Tm(Q)=αtmQ

(2)

式(2)中αtm是制造商m加工單件產品所需時間。需要說明的是，不同的制造商加工同一產品所需要的時間會有所差異。

(2)產品模型要素分析

1)產品庫存費用

根據基本假設，產品的庫存費用與存儲量和存儲時長成正比，所以產品的庫存費用Ws與庫存量Q以及存儲時長t近似關系如下述函數所示：

(3)

式(3)中，αtp為訂單k(所屬產品p)單位時間單件產品庫存成本。

2)基本加工時間Tb和額外交貨時間Ta

本文提出基本加工時間、額外交貨時間的概念。基本加工時間可以作為一個交貨時間參考值中的一個因素，它反應的是協同制造網絡對某一產品加工效率的特點，Tb表達式如下：

(4)

一般我們會選擇的交貨時間會比基本加工時間晚，所以在這里為每類產品定義一個額外交貨時間屬性，它反應的是人為因素對該種產品訂單交貨時間的影響，這里給出額外交貨時間函數：

(5)

3)產品協同制造工序有向網絡

本文假設有多類產品p，同種產品可以有多條加工工藝路線從而形成協同制造網絡。不失一般性，本文針對四類產品網絡進行設計和分析，四類產品協同制造網絡分為平衡型、瓶頸型、跳躍型、混合型。這些產品可行協同制造網絡存在如下特點和約束：①不允許有折回現象；②可以有多個起始點和終點；③可以存在加工工序的跳躍。

a.平衡型協同制造網絡。這種協同制造網絡是生產比較平衡的一種情況，每個網絡節點(協同制造商)都有多個均勻的下游節點可供選擇，一般此類網絡的物流比較平均，網絡壓力會比較小。

b.瓶頸型協同制造網絡。瓶頸型協同制造網絡表明由于某些制造工序的特殊性，網絡中可行加工路徑必須經過某些節點，這將導致這些特定節點的物流比較集中。因此，當總物流量較大時，協同制造網絡的總生產能力會受到這些節點的制約。

c.跳躍型協同制造網絡。對于跳躍型協同制造網絡的設計，主要是考慮到不同的制造企業對同一產品的加工方法和能力不同，同樣的產品有的企業可以直接完成連續多個加工任務，由此一旦加工路線經過此類網絡節點，可以較快到達網絡終點。

d.混合型協同制造網絡。混合型協同制造網絡是以上三種網絡的整合，一般在復雜產品的大中型加工網絡中比較常見。

在上述對四種類型的制造網絡設計的基礎上，我們假設產品p在加工過程中可供選擇的協同制造商集合為Up(Up≠φ)，集合中元素個數|Up|。根據產品在這些協同制造商中的流動關系，可得到一個階數為|Up|的臨接二元關系矩陣Ap，Ap(ij)表示產品從集合中第i個制造商到集合中第j個制造商的供需關系，i到j存在供需關系則Ap(ij)=1，否則Ap(ij)=0。

(3)訂單模型要素分析

1)訂單最早交貨時間

(6)

2)最晚交貨時間

根據每個訂單緊急程度不同，設置一個緊急倍數ηk，作為最晚交貨時間的計算參數，表達如下：

(7)

式(7)中，ηk≥1。

3)延期交貨懲罰費用

根據每個訂單重要程度不同，設置一個延期交貨懲罰費用倍數λk，作為延期交貨處罰費用的計算參數，延期交貨處罰費用與訂單量和延期時長成正比，從某種程度可以將其看作是在高成本下的庫存費用，表達式如下：

(8)

λk的設置需要根據訂單緊急程度進行設置，一般越緊急的訂單其懲罰倍數設置應越高。

(4)綜合評價目標函數

本文中協同制造網絡調度綜合評價目標函數由訂單加工費用、訂單等待庫存費用、訂單提前完工庫存費用以及延期懲罰費用構成，表述如下：

(9)

目標函數(9)中，相關函數描述如下

(10)

(11)

(12)

(13)

模型相關約束條件：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

1)目標函數說明

值得提出的是，鑒于本文交貨策略具有時間窗口限制，我們除了不希望延遲交貨還不希望提前交貨，因此本文將在后文蟻群算法仿真給出的最優加工時間表(最早開始加工時間)初始排序后，將按時間后移的策略對訂單的開始時間進行優化(具體策略在后文描述)，實現最晚開工時間下庫存成本的最優。

2)約束條件說明

約束(14)表示k訂單在j工序處的等待開始時刻不大于其開始加工時間；約束(15)表示訂單k在j工序的開始加工時間小于在該工序的完工時間；約束(16)表示訂單k在j工序的完工時間不大于其在該工序開始運輸時間；(17)表示訂單k在j工序開始運輸時間不大于其運輸結束時間；(18)表示訂單k在j工序運輸結束時間不大于訂單k在下一工序(j+1)開始加工時間；(19)表示在j工序處，訂單k的完工時間不大于下一訂單(k+1)的開始加工時間；(20)表示訂單k只能在一條加工路徑l上加工。

3 蒙特卡洛改進蟻群算法設計思路

對于多產品協同制造網絡圖，將不同類產品訂單的可選協同制造商視為網絡節點，節點之間的有向弧表示節點之間的信息素濃度，各弧的初始信息素濃度相等。

3.1 螞蟻設計

本文將n個訂單用n只螞蟻表示，所有螞蟻的某一順序集合則表示為一種可行的訂單生產排序。由于本文產品網絡圖可以有多個起始點，螞蟻從一個虛擬初始節點走到終點，走完則生命結束。螞蟻的路徑概率選擇相互獨立，依據在各節點留下的信息素進行選擇。各節點同一時間只能處理一只螞蟻，但螞蟻可以在節點前等待上一只螞蟻離開后再進入該節點。一次迭代所有螞蟻全部生命結束為一個螞蟻順序集合完成一次搜索，并倒推相關數據：由信息素濃度按概率確定路徑→確定加工順序→確定事件起止時間→確定加工成本、庫存成本和延期成本。

我們在蟻群路徑選擇時的概率采用如下公式：

(22)

3.2 上升期望定值獎勵與移動窗口約束機制

本文提出上升期望定值獎勵機制，即給滿足獎勵條件的螞蟻一個固定值信息素濃度獎勵。具體思想如下：選擇兩個不同螞蟻加工順序集合進行模擬，得到評價指標值分別P1、P2，假設P1

max←min+(1-u)(max-min)

(23)

式(23)中，u為期望窗口收縮率(0

3.3 蒙特卡洛思想在蟻群算法上的應用

蒙特卡洛與蟻群算法結合的基本思想描述如下：在模擬過程中充分利用所有螞蟻加工順序集合已走路徑獲得的收益，給收益高的螞蟻加工順序集合更多的機會，同時也考慮探索那些收益暫時不高的螞蟻加工順序集合，這種對于利用和探索進行權衡的關系體現在蒙特卡洛選擇函數的定義上，本文定義第i個螞蟻加工順序集合的UCB1(Upper Confidence Bound)值Zi，計算公式如下：

(24)

3.4 獎勵與信息素揮發問題優化

由于前期窗口移動變化次數少，獎勵期望比較低，螞蟻獲得獎勵比較容易。因此，螞蟻的質量相對于后期并不一定理想，而信息素獎勵程度一樣，這樣容易導致前期給不是太好的螞蟻一個肯定的評價(給予獎勵)而使整個尋優過程向某一個局部較優發展。

當模擬次數增加時，窗口移動次數增多，窗口期望可信度也隨之增高，此時我們需要將獎勵程度與窗口的可信度結合起來，讓獎勵程度隨著窗口期望可信度提高而提高。因此，我們將固定額度的獎勵乘以一個平衡系數，當模擬次數少的時候這個系數趨近于零，當模擬次數無窮大的時候，這個系數趨近于1，平衡系數如下：

(25)

式(25)中，C為定值，N為模擬次數。

經過上述改進，通過減少獎勵信息素濃度來控制前期低期望窗口對搜索結果的影響，然而會出現一個問題：獎勵信息素濃度達到一個穩定值之前，整個網絡上的信息素由于處于揮發狀態，當需要的模擬次數很多時，會出現獎勵信息素濃度還未達到穩定值時，整個網絡的信息素都揮發掉了。因此，網絡上的信息素揮發系數也要乘以平衡系數k(N)，這樣在前期獎勵信息素濃度并不高的情況下，網絡上的信息素揮發速度也非常慢。當達到模擬量時前期獎勵信息素濃度提高，網絡上的信息素揮發速度也加快，這時網絡能快速收斂，從而找到理想解。

3.5 訂單開始時間優化

鑒于儲存成本限制，如果交貨時間充裕，當訂單到達時，我們并不會立即投入生產。其原因是客戶一般要求準時交貨，且交貨期通常會比實際加工時間寬余，早安排生產必然帶來庫存成本的增加，因此安排合理的訂單生產時間對企業適應協同制造背景下低成本生產的發展趨勢具有很大意義。訂單開始時間的優化策略如下：

步驟1：用蟻群算法仿真模擬尋得初始訂單的最優加工時間表(最早開始加工時間)；

步驟3：將每個訂單進行回溯分析，把各工序的事件開始時間按ΔT向后調整。

4 仿真設計及分析

4.1 仿真參數設計

(1)制造商參數設計

表1 協同制造商之間距離

(2)產品網絡及參數設計

(3)訂單參數設計

由于計算量隨訂單數量增長曾爆炸式增長，本算例設計6個訂單和8個訂單，以對其計算效率和穩定性進行比較分析。6個訂單的相關數據如下： ，，，，，。

“<>”中第一項為訂單k，第二項為訂單所屬的產品類型p，第三項為訂單量Q，第四項為時間緊急倍數ηk，第四項為延期懲罰費用倍數λk。8個訂單的數據在前6個訂單的基礎上增加2個：，。

4.2 仿真結果及算法性能

(1)仿真結果

依據事件發生時點對各訂單在不同協同制造商處的開始等待時間、開始加工時間、開始運輸時間以及運輸完成時間繪制排程甘特圖，6訂單和8訂單的排程結果分別如圖1和圖2所示。從6訂單的結果看，所有的訂單已經進行了滿足約束條件下的后移，比如第一個事件的時間發生點42為第2個訂單在協同制造商m1處開始加工時間。所有訂單在時間點166完成并交貨，總評價指標值493.5。其中，訂單k1、k2、k3、k4、k6均在交貨時間窗口的最晚交貨時間點交貨，而訂單k5則由于訂單k1的約束無法后移，其在159時刻完成加工而不是在最晚交貨時間點交貨，但其交貨時間仍在交貨窗口[157, 211]。

圖1 6訂單排程結果

圖2 8訂單排程結果

從8訂單的仿真結果可知，所有訂單在時間點219完成，總評價指標值715.4。在8個訂單的情況下，同樣未出現延遲交貨的情況，說明此時制造網絡交貨壓力比較小，也表明產品可供選擇的網絡協同商比較多，可行生產網絡具有彈性時，整個生產調度系統比較容易排產。這與實際情況相符，并可以為調度網絡的最大承受能力設計提供參考依據。圖2中，訂單k1、k2、k3、k4、k6、k7均在交貨時間窗口的最晚交貨時間點交貨，訂單k5在156時間點完工，存在1個時間點的提前交貨庫存；訂單k8在209時間點交貨，由于其滿足交貨時間窗口[155, 215]，因此不存在提前完工庫存成本。訂單3在協同制造商m10處，存在2個等待加工時間，產生12個單位庫存成本。

(2)算法性能分析

為了分析算法的性能，我們分析了仿真模擬過程收斂性，并取每次獎勵時移動窗口中的min, max值進行分析，得到6訂單和8訂單的算法收斂性仿真結果如圖3和圖4所示。

圖3 6訂單算法收斂性仿真

圖4 8訂單算法收斂性仿真

從收斂性能上可以看到，無論是6訂單還是8訂單，窗口上限隨著獎勵次數的增多而降低，前期速度較快后期開始減慢，最終趨向一個穩定值。從結果看，仿真具有較高的運算效率和良好的收斂性。

從上述仿真結果來看，將期望窗口和蒙特卡洛思想與蟻群算法相結合，能夠得到一個比較滿意的結果。但是由于隨機模擬的算法求解具有一定的隨機性，每一次得到的解并不一定完全相同。為了檢驗算法穩定性，本文對上述6訂單和8訂單分別仿真40次得到的數據進行分析后發現：對于6訂單仿真結果，平均花費時間44.3s，平均獎勵總次數244，平均模擬總次數2699825次，40次有37次得到評價指標值493.5，3次497.4，均方差0.702；對于8訂單仿真結果，平均花費時間63s，平均獎勵總次數267，平均模擬總次數298541次，40次仿真中最大和最小評價指標值分別為733.9和715.4，均方差6.936。

對比分析8個訂單和6個訂單的實驗數據，我們發現求解8個訂單所需要的時間并沒有很明顯的增長，只是求解的穩定性有一定程度的降低。綜上所述，在訂單數較少的情況下，算法無論在求解速度還是在求解的穩定性方面，都有良好的表現。當訂單數較多時，算法會在一定程度內，以犧牲解的穩定性為代價來換取高效的求解。

(3)與其它算法的比較分析

針對本文模型，我們將傳統蟻群算法(ACO)和其它文獻相關算法(遺傳算法GA[16]以及IM-ACO[17]) 與本文所提算法進行比較，結果列于表2中。需要提出，我們主要針對6訂單在不同產品組合下的運行效果進行比較，每一種組合進行40次仿真實驗。表2中，列出了各種算法在40次實驗中的最優值以及平均CPU時間。

表2 不同算法下仿真結果比較

從上表結果可以看出，本文所提蒙特卡洛算法無論在求解的質量以及效率上與其它算法相比都有很好的優勢。尤其與傳統蟻群算法ACO相比，效率和質量要更高很多。由此可知，一旦協同制造網絡結構變得更加復雜，本文算法在求解上將具有明顯的優勢。

4.3 仿真結果討論和分析

通過上述仿真結果和算法性能描述，我們進行如下討論和分析總結：

1)本文構建模型具有合理性和創新性。由于考慮了制造企業連續加工方式的生產特點，其制造成本比分開加工方式的成本要低；其次，對最早交貨時間和最晚寬放交貨時間進行了合理設計，而非隨機給定，這與制造企業與客戶進行交貨時間約定時一般會根據產品生產特點分析而確定交貨時間的實際相符，因而使模型更具有實用性；另外還考慮了不同類型產品的特點，并在多始點和多終點等一般性條件下對其協同制造網絡進行設計，使調度仿真模型更具普適性；同時，通過交貨時間的窗口約束，要求企業向客戶準時交貨，以共同減少制造企業和客戶各自庫存成本，這與現實企業運營時的實際需求相符。從仿真結果看，在訂單量不是很大，協同制造網絡壓力較小時，訂單都可以實現不延期，而由于生產約束條件(19)，仍出現了提前完工而導致額外庫存成本的情況。

2)算法具有良好的效率和穩定性。在算法效率方面，在本文設計模型下，6訂單和8訂單計算時間均比較快。通過不同訂單產品組合的設計，我們將本文算法與其它算法進行了比較分析，通過每種組合40次實驗的結果可知，本文設計的算法在效率上具有良好的優勢。由此可知，本文所運用的蒙特卡洛思想以及移動窗口獎勵策略提高了螞蟻選擇的合理性，大大增加了問題求解的運算速度。同時，在算法的穩定性方面，由于蒙特卡洛算法與蟻群算法的結合，以及平衡系數的采用都使得求解過程避免了向局部最優發展，尤其6個訂單40次仿真實驗結果有37次收斂于同一值，均方差0.702，表明算法具有很好的穩定性。

5 結語

本文基于協同制造背景建立了多產品多訂單的協同制造調度數學模型，模型考慮了協同制造商的同類產品訂單合并加工問題以及工序之間的運輸時間問題。同時，本文設計了具有普適性特點的四類協同制造網絡，并設計了合理的交貨時間窗口。針對蟻群算法求解協同制造調度問題時，處理訂單加工順序的局限性，提出了用蟻群算法和蒙特卡洛思想相結合的方法，并提出了采用移動窗口提升期望獎勵規則。最后本文進行了仿真實驗，結果表明本文提出的模型具有科學合理性，可以獲得良好的調度結果；同時，本文所提算法具有較好的求解速度和求解性能，對于實際中求解多種類產品多訂單的調度方案具有較高的參考價值。

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