基于樣本外分布回測的隨機過程統計推斷方法

潘慧峰,袁 軍, 高 鵬

(對外經濟貿易大學金融學院，北京 100029)

1 引言

在衍生品定價領域，采取何種隨機過程描述標的資產的價格動態尚未形成一致的結論，這在匯率和大宗商品的研究中表現得尤為突出[1]。Garman和Kohlhagen[2]，Carr和Wu Liuren[3]等研究的實證結果支持匯率服從幾何布朗運動(以下簡稱GBM過程，即Geometric Brownian Motion)，而Sweeny[4]、Hui等[5]，Castalia 戰略咨詢公司等[6]則支持匯率服從均值回復過程(以下簡稱OU過程，即Ornstein-Uhlenbeck Process)。Schwartz[7]認為原油期貨、銅期貨等大宗商品存在均值回復特性，應該用OU過程描述它們的價格動態，而Postali和Picchetti[8]則認為應采用GBM過程描述來原油價格動態。

不同的隨機過程設定將導致衍生品定價、套期保值發生劇烈的變化，進而影響衍生品交易和套期保值的損益。Hull和White[9]比較了擴展Vasicek模型下和擴展CIR模型下的歐式期權定價公式，發現不同隨機過程假定下的期權定價結果相差很大。謝赤和吳雄偉[10]采用Vasicek模型和CIR模型描述了中國貨幣市場利率行為，但沒有給出最優模型；沈根祥和胡志軍[11]發現純跳過程等不能完全描述中國股價變化，需引入無限活動的Levy過程；Schwrtz[7]分別用單因子擴散模型，兩因子模型和隨機波動率模型對大宗商品價格動態進行了實證研究，結果表明采用不同隨機過程設定會得出不同的期貨套期保值比。潘慧峰等[12]以中信泰富在金融危機期間簽訂的合約為例，發現不同的隨機過程設定會導致產品的價格顯著不同。模型的不當使用導致了巨大的損失的案例不勝枚舉。1997年，三菱銀行(Bank of Tokyo-Mitsubishi)紐約衍生品部高估了利率到期期權組合的價值，損失超過8300萬美元；澳洲國民銀行(National Australia Bank)錯誤使用了利率模型，導致了3億澳元的巨額損失；國民威斯敏斯特銀行(Natwest)下屬資本市場部在一筆利率期權到期交易中損失了5000萬美元，原因是模型誤設引起的錯誤定價；2007年的全球金融危機也部分歸因于 Gaussian Copula模型對CDO’s(擔保債務憑證)的錯誤定價；2012年摩根大通銀行由于VaR模型的不當使用而導致了至少20億美元的虧損[12]。

鑒于此，先驗的對隨機過程設定將會導致錯誤定價，引致不當的風險管理策略，比如基于幾何布朗運動對利率衍生品定價顯然是不恰當的。隨機過程的選擇應該有經濟解釋和統計推斷的支持，學術界也試圖從這兩個角度來確定資產價格的隨機過程，比如Schwrtz[7]根據供需分析的原理，認為大宗商品價格應該服從均值回復過程，并采用實際數據進行了擬合，但并沒有說明如何在多個隨機過程間進行選擇。檢驗哪個隨機過程能夠更好的描述資產價格，目前學術界主要有以下兩種方法，第一種方法是統計上的直接檢驗，第二類方法則通過比較實際的衍生品價格與隨機過程所推導的理論價格來間接檢驗。

第一類方法屬于直接檢驗，其思路是先選擇一個一般(General)的模型，另一個特殊的模型實際上是其約束后的模型，然后構造似然比檢驗來判斷哪個隨機過程能夠更好的擬合數據。Chan等(1992)[13]比較了CIR模型(Cox-Ingersoll-Ross模型)和OU過程描述短期利率動態過程的適用性，這兩個隨機過程都是在更一般的CKLS模型上施加約束得到的，潘婉彬等[14]對中國銀行間拆借利率動態的各種模型進行了廣義似然比檢驗。這類方法的缺陷是只適用約束模型與其對應的非約束模型之間的比較，對于不存在包含關系的模型或者不從屬于一大類的模型則無能為力。

第二類方法屬于間接檢驗，其思路是對衍生品的實際價格與不同隨機過程假定下的理論價格進行比較，看哪個隨機過程假定下的理論價格與實際價格更接近，越接近則說明此隨機過程能更好的描述標的資產價格動態。與直接檢驗方法相比，該方法的優點是：備選的模型之間不必存在包含關系，可以把更多的隨機過程放在一起進行比較，其適用性較更加廣范。Kaffel和Abid[15]采用這種思路對原油期貨價格進行了實證研究，結論表明帶跳躍的GBM過程能最好的描述原油價格的動態變化。姚慧和范龍振[16]分別用帶跳躍的均值回復過程和帶跳躍的GBM過程描述石油價格動態，并根據這些模型推導出了相應的期貨定價公式，通過模型價格與實際市場成交價格的差異來判斷模型的優劣。該方法適用于交易量大的場內衍生品市場，但是對于衍生品交易不活躍、價格存在公允性的場外市場，此方法的適用性大大降低。

本文以GBM構成、OU過程為例，提出了基于樣本外分布回測的隨機過程統計推斷方法，該方法應用事后檢驗原理，將數據分成估計窗和檢驗窗，估計窗用來估計隨機過程的參數，然后在模型參數不變的假定下，推導了原假設成立時價格的樣本外分布，看實際數據落在接受域或拒絕域的頻率來選擇某資產價格服從的隨機過程。該方法克服了上述兩種方法的不足，適用性更廣：第一，該方法不要求所研究的模型之間存在包含關系，適用于對任意兩個或多個隨機過程中的選擇；第二，該方法的思路可以推廣到任意兩個隨機過程的比較，即使此隨機過程的估計參數和樣本外分布不一定存在解析解；第三，仿真結果和實證結果表明此方法具有較強的穩健性，選擇GMM方法和極大似然估計參數、選擇不同的檢驗窗口長度均能得到一致的結論。

文章接下來的內容將按以下順序展開：第二部分介紹研究方法的邏輯原理和使用步驟；第三部分為隨機過程及估計方法的選擇；第四部分推導GBM過程和OU過程的檢驗窗的置信區間；第五部分為仿真結果，試圖得到最優檢驗窗的時間長度，對采用實際數據檢驗時給出參考值；第六部分為實證檢驗，應用此方法對大宗商品市場上的原油期貨、銅期貨和小麥期貨，股票市場的上證綜指，利率市場的LIBOR隔夜拆借利率，匯率市場美元兌英鎊匯率這六種資產所服從的隨機過程進行了統計推斷；第七部分為結論。

2 方法介紹

2.1 基本思路

以GBM過程為例來闡述隨機過程統計推斷的基本思路：首先假設某資產價格序列服從GBM過程，然后選取一段該標的資產的價格序列，將該序列分成兩段，前一段為估計窗，用來估計GBM過程的參數，后一段為檢驗窗。在參數不變的假設下(在短期內，我們假定標的資產的價格服從參數固定的隨機過程，許多廣泛應用的模型都已此為假設前提，例如，著名的BS期權定價公式就是在參數固定的幾何布朗運動的假設下推導的)，得到檢驗窗口各個時點價格的條件分布函數，看檢驗窗口的實際價格落在條件分布的接受域還是拒絕域，如果落在拒絕域，則小概率事件發生，則拒絕原假設，反之則接受原假設。

鑒于只進行一次統計推斷會存在偶然性，所以要需進行多次統計推斷，從平均意義上看是否接受原假設。具體做法是將資產價格序列向前滾動，然后重復上述步驟，得到接受原假設的比例，如果該比例越高，則傾向于接受原假設。

2.2 具體步驟

假定給定標的資產的價格序列，GBM過程和OU過程為備選隨機過程，想判斷GBM過程和OU過程哪個能更好的擬合此過程，則具體步驟如下：

步驟1：假定標的資產價格服從GBM過程，取一段該資產價格序列，然后再從該時間序列中選出一個子樣本，將該子樣本再分成兩段，其中前一段作為估計窗，后一段作為檢驗窗。

步驟2：采用極大似然估計方法，用估計窗口的數據估計GBM過程的參數。

步驟3：假設估計窗口和檢驗窗口的參數不變，得到在原假設成立的條件下檢驗窗口每個時點價格的條件分布，進而得到每個時點95%下的置信區間，置信區間之內的區域為接受域，置信區間之外的區域為拒絕域。

步驟4：判斷檢驗窗口的實際價格是否落到了置信區間的拒絕域，根據實際價格計算檢驗窗口最后一個時點的p值(理由在下文中給出)。若落在拒絕域，則拒絕該資產價格服從GBM過程的假設。p值越大，則說明GBM過程擬合該資產價格的程度越好。

步驟5：把整段價格序列向前滾動一個時點，則估計窗口和檢驗窗口同時向前滾動一個時點，得到一個新的子樣本，重復步驟1-4，又可得到該子樣本檢驗窗最后一個時點的p值。滾動N次則可以得到N個p值，將這N個p值記為pGBM,i，i=1,2,…N，代表N次統計推斷。

步驟6：假定標的資產價格服從OU過程，重復步驟1-5，得到N個p值，記為pOU,i，i=1,2, …N。

3 隨機過程及估計方法的選擇

3.1 選擇GBM過程和OU過程原因

第一，GBM過程和OU過程都有精確離散化公式，這兩個模型的待估參數都具有解析解，可以準確得到在原假設成立情況下的檢驗窗口的各個時點的條件分布。

第二，幾何布朗運動模型和OU過程兩個模型彼此不存在包含關系，即二者均不是對方施加某種約束得到的。這說明相對于廣義似然比方法，本文的統計推斷方法具有更為廣泛的適用性，可以比較任意兩個隨機過程哪個更適合描述標的資產價格動態。

第三，現有文獻對原油期貨、匯率到底采用何種隨機過程存在爭議，其中分歧的焦點是到底采用GBM過程還是OU過程，對此問題的研究可以有助于解決文獻中的爭議。

3.2 選擇極大似然估計方法的原因

本文選擇極大似然估計方法對模型進行估計，同類研究中常用的估計方法還有廣義矩方法(General Moment Method，以下簡稱 GMM方法)、卡爾曼濾波法(Kalman Filter)、最小二乘法(Least Square Method)擬極大似然估計法(QMLE方法)等，之所以選擇極大似然估計方法作為估計方法，主要是考慮到和GMM等方法相比, 極大似然估計具有一致性、漸近正態性和漸近有效性等優良性質。從估計的穩定性和有效性來比較，極大似然估計要優于廣義矩估計，并且GBM過程和OU過程都存在極大似然函數的解析解，因此選擇極大似然方法估計模型參數[17]，為了檢驗方法的穩健性，本文還采用GMM方法對參數進行估計。

4 GBM過程與OU過程檢驗窗價格的置信區間

下面將分別推導GBM過程與OU過程假定情況下檢驗窗口的條件分布。首先采用估計窗口得到隨機過程的參數，然后給出檢驗窗口價格的條件分布。

4.1 GBM過程檢驗窗價格的置信區間

資產價格St滿足如下隨機微分方程 (SDE)：

(1)

則稱該隨機過程服從GBM過程。公式中zt服從標準正態分布，參數μ表示對數收益率的漂移率，σ表示對數收益率的波動率。由伊藤公式可以推導出如下精確離散化公式：

(2)

其中T為兩個節點的間隔。在GBM過程的假定下，給定St，可以證明St+T的條件分布服從對數正態分布，St+T的均值和方差如下所示：

E(St+T)=SteμT

(3)

(4)

由以上精確離散化公式可以推導出GBM過程參數的極大似然估計值如式(5)、式(6)所示:

(5)

(6)

其中i=1,2…n，δ為兩個離散觀測點的時間間隔，例如使用周數據估計年化參數，則δ=1/52。

在實際價格服從GBM過程的假定下，已知St時，St+T的95%的置信區間為：

(7)

將式(5)和式(6)代入式(7)，則可以得到原假設成立時檢驗窗價格的置信區間。

4.2 OU過程檢驗窗價格的置信區間

對于OU過程，本文同樣采用精確離散化和精確MLE估計。如果隨機過程St滿足如下隨機微分方程(SDE)：

(8)

則稱該St服從OU過程。其中，zt服從標準正態分布，而參數μ為St的長期均值，σ為波動率，λ是回復系數，表征St回復到長期均值的速度。OU過程精確離散化公式如下[18]：

(9)

其中T為兩個節點的間隔，z服從標準正態分布。如果一個序列服從OU過程，給定St，可以證明St+T的條件分布服從正態分布，均值和方差如下所示：

E(St+T)=μ+(St-μ)e-λT

(10)

(11)

由以上精確離散化公式可以推導出OU過程參數的極大似然估計值如式(12)-(14)所示[19-20]：

(12)

(13)

(14)

其中i=1,2…n，δ為兩個離散觀測點的時間間隔。

在實際價格服從OU過程的情況下，給定St，可以證明St+T的95%的置信區間為：

(15)

將式(12)-(14)估計量代入式(15)，則可以得到原假設成立時檢驗窗價格的置信區間。

5 仿真實驗

本文通過數值模擬來進一步檢驗本方法的有效性，具體的方法如下：首先通過式(2)生成一組服從GBM過程的時間序列，然后按照本文提出的方法對該時間序列所服從的隨機過程進行統計推斷，如果在大多數情況下接受GBM過程的假設，則意味著本文的統計推斷方法有效。然后再根據式(9)生成一組服從OU過程的時間序列，并按上述方法對其進行檢驗，進而判斷統計推斷的方法是否有效。

在進行仿真檢驗時，估計窗長度不宜太短，否則會影響參數估計的準確性；在檢驗時，本文只選擇檢驗窗的終點構造統計推斷，檢驗窗長度為T。本文認為檢驗窗長度不宜太短，否則會影響到統計推斷的準確性。原因在于資產價格的變化來源于兩部分，一部分是確定性趨勢，幾何布朗運動表現為漂移項、OU過程表現為偏離均值的調整；一部分是隨機擾動。當時間間隔較短時，確定性趨勢沒有充分體現，隨機擾動會對統計推斷的準確性產生較大的影響；但隨著時間間隔的增大，確定性趨勢將占主導地位。這意味著檢驗窗長度越長，在原始序列為GBM過程時，檢驗窗更容易接受此過程為GBM過程，這會極大的減少第一類錯誤的概率；如果原始序列為OU過程，其檢驗窗的確定性趨勢會與GBM過程迥然不同，這樣就會拒絕OU過程。因此，檢驗窗長度越長，得到正確結論的可能性越大。當然，在進行實際分析時，檢驗窗口也不宜太長，因為隨機過程的參數會隨著時間推移而發生變化，進而影響到統計推斷的準確度。

表1對服從GBM過程的數據和服從OU過程的數據進行了統計推斷，得到了仿真結果。表1中，估計窗長度為200，檢驗窗長度分別為5、25、45，做1000次仿真實驗。從表1可知：第一，本文提出的方法對隨機過程進行統計推斷時，能正確的識別出它所服從的隨機過程；第二，檢驗窗越長，統計推斷的效果越好。圖1給出了分別對服從GBM過程和OU過程的數據進行統計推斷時，得到GBM和OU過程獲勝的概率與檢驗窗長度T之間的關系，發現獲勝概率隨著檢驗窗長度T的變長而變大，當T=45時，此獲勝概率都達到了90%以上。基于此結果，文章第五部分中所列舉的六種資產所服從的隨機過程進行實證檢驗分析時，將估計窗長度設置為200，將檢驗窗長度T設置為45。

圖1 仿真結果與檢驗窗長度的關系

6 模型實證檢驗

本部分選擇了大宗商品市場、股票市場、利率市場、外匯市場上具有代表性的資產，基于實際數據對其所服從的隨機過程進行實證檢驗。在大宗商品市場上，選擇芝加哥商品交易所交易的輕質原油期貨價格，倫敦商品交易所交易的銅期貨價格，芝加哥商品交易所交易的小麥期貨價格為標的資產；在股票市場上，選擇上證綜指作為標的資產；在利率市場上，選擇LOBOR隔夜拆借利率作為標的資產；在外匯市場上，選擇英鎊兌美元匯率價格作為標的資產。

6.1 原油期貨價格隨機過程選擇的實證分析

首先選取紐約商品交易所場內交易的一月到期輕質原油期貨作為標的資產。之所以選擇這個標的資產來研究，主要是因為基于該資產的衍生產品種類繁多，既包括場內各種衍生品，也包括場外各種衍生品，而且交易規模也非常龐大，另外對原油期貨價格服從的隨機過程存在爭議，分別有文獻支持GBM過程和OU過程[7-8]。

本文選取輕質原油期貨日頻價格序列，時間從2012年5月到2014年3月的日數據(數據來源：萬得Wind數據庫)。首先從該價格序列中選擇一個子樣本進行第一次統計推斷，然后分成估計窗和檢驗窗，估計窗時點數設置為200天，檢驗窗終點與估計窗間隔為45天。首先假設原油期貨價格服從GBM過程，按照文章第二部分闡述的步驟，滾動200次，得到200次統計推斷所對應的pGBM,i，i=1…200；再假設原油期貨價格服從OU過程，重復上述步驟，得到pOU,i，i=1…200。圖2為這200次所對應的pGBM,i和pOU,i的圖形展示。

圖2 原油期貨價格序列的統計推斷獲勝概率,U,i

從圖2中可以看出pGBM,i高于pOU,i次數更多，為128次，GBM過程獲勝概率為64%，因此GBM過程能更好的描述原油期貨的價格走勢。

6.2 美元兌英鎊匯率隨機過程選擇的實證分析

然后選取匯率市場中美元兌英鎊匯率為標的資產進行分析，樣本時間為2012年5月到2014年3月，數據頻率為日度數據(數據來源：國泰安CSMAR金融經濟數據庫)。對匯率服從的隨機過程同樣存在爭議，分別有文獻支持GBM過程和OU過程[2-5]。按照前面的方法計算200次統計推斷所對應的pGBM,i值和pOU,i值，如圖3所示。從圖3中可以看出pOU,i比pGBM,i大的次數更多，為125次，OU過程獲勝概率為62.5%，因此認為OU過程能更好的描述美元兌英鎊匯率的價格動態。

圖3 美元兌英鎊匯率序列的統計推斷獲勝概率

6.3 資產價格隨機過程選擇的實證分析

除了原油和匯率，本文也對大宗商品中的銅期貨和小麥期貨、股票價格、利率進行檢驗。主流文獻表明大宗商品價格、利率、匯率均有較強的均值回復特性，應采用均值回復過程來描述它們的價格動態。對于股票價格，Black和Scholes[22]用GBM過程來描述其價格動態，由于該模型可以推導出歐式期權價格的解析解，所以GBM過程仍是描述股票價格的最重要的過程。

流行的隨機過程是否為最優的隨機過程？本文基于樣本外統計推斷的方法加以檢驗。分別選取大宗商品市場上的銅期貨合約和小麥期貨合約，股票市場中的上證綜指，利率市場中的LIBOR隔夜拆借利率，匯率市場中美元兌英鎊匯率為標的進行了實證檢驗。為了檢驗統計推斷方法的穩健性，本文還采用GMM方法對參數進行估計，基于Cliff(2003)開發的Maltab工具包GMM-Library (下載網址為http//:www.feweb.vu.nl/econometriclinks/mcliffprogs.html)進行參數估計。檢驗的結果如表2所示，從結果可知，采用GMM方法和極大似然估計法都得到了一致的結論，說明本文提出的統計推斷方法具有較強的穩健性。

由表2可見，對銅期貨、上證綜指和隔夜LIBOR的實證結果支持實際常用模型，而對小麥期貨的實證結果則表明，流行的模型則不一定最適合描述該資產價格。如果仍舊按照慣例，使用此模型描述資產價格動態的話，很有可能產生錯誤的定價結果。綜上所述，常用的模型對相應資產的描述可能并不準確，可能存在模型誤設的風險。

7 結語

本文基于幾何布朗運動和OU過程，提出了基于樣本外分布回測的隨機過程統計推斷方法，相比其他方法，本文的統計推斷方法有適用廣泛、邏輯直觀等優點。該方法的核心思想將樣本分成樣本內的估計窗和樣本外的檢驗窗，在假設資產價格服從某種隨機過程的假設下，根據樣本內數據估計隨機過程的參數，進而推導出資產價格的樣本外分布，看樣本外的實際數據是否落在拒絕域。該方法的最大優點就是具有廣泛的適用性，只需要有資產價格的歷史數據，則可對不同備選模型進行優劣進行評估，仿真結果也支持了此方法的有效性。本文采用了GMM方法和極大似然法估計參數，得到的結論是一致的，說明此方法具有較強的穩健性。

表2 標的資產隨機過程選擇結果

注：時間范圍從2012年5月到2014年3月

根據本文提出的方法，對大宗商品市場中原油期貨價格、銅期貨價格、小麥期貨價格，股票市場中的上證綜指，利率市場中的LOBOR隔夜拆借利率，外匯市場中的英鎊兌美元即期匯率價格所服從的隨機過程進行了統計推斷，發現那些常用的描述這六種資產價格的隨機過程并不一定是最好的模型，說明隨機過程存在模型誤設的風險，應該引起足夠的重視。

本文的一般意義在于，本文提出的隨機過程統計推斷的基本思路也適用于待估參數和樣本外分布函數沒有解析解的隨機過程，可以采用數值算法估計待估參數，采用蒙特卡羅模擬方法得到價格的樣本外分布。本文方法可能的缺陷是隨機過程的參數是時變的，假設樣本內和樣本外隨機過程的參數不變可能會影響統計推斷結果的有效性，在實際中應該檢驗參數的穩定性，這也是本文未來的研究方向。

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