需求分布規律變化情況下的報童訂貨策略

王海燕，雋志如，Henry Xu

(1.東南大學經濟管理學院，江蘇 南京 210096；2.淮陰師范學院經濟管理學院，江蘇 淮安 223300；3.UQ Business School, The University of Queensland, Brisbane, Australia 4072)

1 引言

促銷、季節變化、技術革新和市場競爭等因素都可能導致需求分布規律發生變化[1-2]，使得需求從服從一種類型的分布突變為另一種類型的分布。但是在突變發生前后一段時間內，一方面僅僅依據當時的實際需求很難準確判斷需求服從的分布是否已經發生變化了，因此給訂貨決策帶來了困難；另一方面這段時間內可以觀測到的歷史需求信息非常有限[3]，僅基于歷史需求信息很難對下一時刻的實際需求作準確的預測。在庫存管理領域，大量學者從需求預測更新[4]、合作管理庫存[5]、供應鏈協調[6]、供應鏈金融[7]等角度研究了應對需求突變的策略，但較少有學者從庫存管理效益最優的視角研究需求突變預測方法。大量企業案例表明，不能有效地預測需求分布突變會給企業帶來庫存管理成本的增加[8-9]。因此，從庫存管理視角研究歷史需求信息和需求分布概率集成的訂貨策略具有理論意義和實際應用價值。

近年來，移動計算、物聯網、云計算等一系列新興信息技術被廣泛用于商業活動中，社交媒體、協同創造、虛擬服務等新型應用模式拓展了企業感知市場需求的方式，增強了企業感知市場需求變化的能力[10]。大量諸如在線客戶評價[11]和新聞頭條[12]等以人類語言形式呈現的大數據文本信息被應用于決策者對市場需求變化的感知和預測之中，大數據的應用正在改變一些傳統上高度依靠直覺和專家經驗的決策領域[13]。雖然由于自然語言語義模糊的自然屬性和當前大數據分析技術的限制，大數據預測結果還存在不夠精確等不足[12]，但是這些技術使得決策者在面對需求分布規律發生變化的市場時，雖然不能確定某一時刻需求到底服從哪類分布，但能估計需求服從某一分布的概率。

需求預測的核心是判斷某時刻服從的需求分布類型，一旦確定需求分布類型，依據報童模型就很容易確定訂貨量。預測需求分布類型的方法主要有概率預測方法[14]、統計預測方法[15-18]和管理判斷與統計預測的整合方法[19-21]等三類。概率預測是預測發生的可能性，每一個可能的結果對應一個預測概率。例如，決策者根據在線客戶滿意度調查認為下個時期產品的需求量會增長10%，且認為這個需求量增長發生的概率為90%，這里需求增長發生概率90%即為概率預測。隨著物聯網等技術的發展，除傳統的管理者經驗和領域知識以外，以大數據為代表的非傳統的需求相關信息被越來越多地應用于市場需求的概率預測中[11-12]?；诖髷祿畔⒌念A測多呈現為概率預測，在給定概率預測后，理性決策者對需求分布規律變化的判斷問題可以轉化為決策者在不同預期中進行選擇，其行為準則通常被描述為期望效用最優化[22]。

基于統計預測方法的庫存管理研究可以追溯到Arrow等的文獻[15]，各時期的需求被假定為概率分布已知的獨立同分布隨機變量，庫存系統的最優訂貨量依賴于需求分布函數。隨后，Dvoretzky等[23-24]和Scarf[17]針對更廣泛的需求分布類型研究了優化庫存系統利潤的訂貨策略，Karlin等[25]研究了各時期需求概率分布不同情況下的庫存管理策略，但是這些研究都沒有考慮庫存系統成本因素對需求預測的影響。Hayes[26]在庫存決策中引入期望總成本的概念，并且給出了能夠改進期望總成本的需求統計量。此后，大量學者在庫存管理視角下研究了基于歷史需求信息的需求預測和訂單決策問題，總體上可以歸納為假設需求分布類型已知但某些分布參數未知[16,27-29]、假設需求分布的某些矩特征(如期望、方差等)已知[17, 30-31]、對未知需求參數的形式不做假設[2-3,18, 32-33]等三個方面。

管理判斷的信息基礎是非歷史需求信息，統計預測的信息基礎是歷史需求信息。整合管理判斷與統計預測的目的就是擴大預測的信息基礎，從而提升預測的可靠性[20]。在實際中，多種多樣的非歷史需求信息被管理者用于預測判斷市場需求。Fisher等[19]基于每個銷售周期內需求趨勢變化的相似性，通過將實際銷售數據與歷史同期數據對比來修正先前的需求預測，使得某服裝公司的利潤提高了60%。Arora等[21]將先驗專家知識整合到統計預測模型之中，更加精確地預測了電力需求載荷的反常變化。雋志如和王海燕[34]將非歷史需求數據引入到庫存管理研究中，降低了需求突變情景下的庫存管理成本。將管理判斷整合到統計預測中的方法可以歸納為自愿整合和機械整合兩類[20]，自愿整合是指管理者在統計預測結果的基礎上根據自己對管理判斷的理解決定如何修正統計預測結果；機械整合是指將統計預測的方法應用于概率預測中，例如，當需求依賴于價格和營銷努力時，可以分別用統計預測模型預測價格變化，以概率預測模型預測營銷努力水平，然后通過加權平均的方式機械整合統計預測和概率預測，得到一個整合預測。

假設需求服從某一分布的概率已知，同時訂貨決策時刻前的歷史需求信息已知，如何整合這兩類信息進行需求預測并確定訂貨量，沒有現成的方法。本文將應用信號檢測理論整合上述兩類信息，建立兩者之間的聯系，在期望庫存成本最小的目標下判斷某一時刻的實際需求，并依據報童模型確定訂貨量。

2 問題與假設

歷史需求信息x1,x2,…,xn是實際訂貨決策的重要依據。對于較長的歷史需求信息，有很多預測方法可用于訂貨決策。但當歷史需求信息較短，特別是需求發生突變的情況下，僅僅依賴歷史需求信息的預測結果進行訂貨決策會產生比較大的偏差。

本文的問題是如何綜合利用需求分布概率和歷史需求信息進行訂貨決策，尋找具有實際可操作性的報童訂貨策略，使得期望庫存成本最小。

3 基于需求分布概率的直覺規則訂貨策略

由于需求分布有F和G兩種可能情形，因此報童的決策錯誤也可以分為兩類：當實際需求分布為F時，報童選擇訂貨qg，稱此類錯誤為第一類錯誤；當實際需求分布為G時，報童選擇訂貨qf，稱此類錯誤為第二類錯誤。

當實際需求分布為F，訂貨qf時，期望庫存成本為：

(1)

當實際需求分布為F，訂貨qg時，期望庫存成本為：

(2)

根據優訂貨量的表達式可知，式(2)的值恒大于式(1)。由式(2)減去式(1)，可得恒為正值的由第一類錯誤導致的期望庫存成本增加量為：

CostⅠ=EC(qg,F)-EC(qf,F)

(3)

其中最后一個等式用到了

類似地，由第二類錯誤導致的期望庫存成本增加量為：

(4)

由于需求服從分布G的概率為p，所以由第一類錯誤和第二類錯誤導致的期望庫存成本增加量分別為：

TCg=(1-p)·CostⅠ

(5)

TCf=p·CostⅡ

(6)

其中，TCg表示選擇訂貨qg所對應的期望庫存成本增量；TCf表示選擇訂貨qf所對應的期望庫存成本增加量。因此，訂貨量選擇qf還是qg取決于TCg與TCf的大小關系。令

(7)

在僅依賴于需求分布概率p的情況下，下面的直覺規則訂貨策略可以最小化因錯誤決策導致的期望庫存成本增加量。

為表述方便，將直覺規則記為IR，直覺規則下的期望庫存成本增加量記作TC(IR)，則有：

(8)

4 基于歷史需求信息及分布概率的最優訂貨策略

為了應用歷史需求信息降低不同類型的錯誤決策導致的期望庫存成本增加量，引入信號檢測理論(Signal Detection Theory, SDT)[35]。在信號檢測理論框架下，決策者的任務是利用一個接受/拒絕準則來判斷其接收到信息的實際分布以最大化其凈收益。具體到本文，報童的決策任務是利用一個接受/拒絕準則來判斷產生歷史需求信息x1,x2,…,xn的實際分布是F還是G，其目標是最小化因錯誤決策導致的期望庫存成本增加量。

(9)

依據信號檢測理論，建立如下基于歷史需求信息的檢測規則訂貨策略。

因為需求服從分布G的概率為p，則在基于歷史需求信息的檢測規則訂貨策略下，由第一類和第二類錯誤導致的期望庫存成本增加量為：

(10)

式(10)的第一個加項表示需求分布服從G時，檢測規則下只存在第二類錯誤，此時的期望庫存成本增加量為CostⅡ乘以需求分布為G的概率再乘以檢測規則下訂貨qf的概率；第二個加項表示需求分布服從F時的期望庫存成本增量。

由于k是參數，為了使TC(k)最小，有如下優化模型

(11)

定理1模型(11)的最優解為：

(12)

解之得

又

所以式(12)的k*是式(11)的最優解。

根據定理1及前面的分析，如果報童在進行某一周期的訂貨決策時，知道顧客需求服從正態分布F=N(μf,σ2)的概率為1-p，服從正態分布G=N(μg,σ2)的概率為p，前n周期的實際需求信息為x1,x2,…,xn，則有以下基于歷史需求信息及分布概率的最優訂貨策略，簡稱最優訂貨策略。

下面比較最優訂貨策略和直覺規則訂貨策略，以分析它們各自適用范圍。令

(13)

由μf<μg，容易證明α(k)<1<β(k)。且有以下性質。

性質1給出了最優訂貨策略優于直覺規則訂貨策略時需求分布概率p應滿足的條件，也就是說當需求分布概率p在某個范圍內時，最優訂貨策略才能顯示其優勢。下面的性質刻畫了這個范圍的大小。

于是

類似地可以證明另外三個極限成立。

而當p不屬于這兩種極端情況時，歷史需求信息的作用就變得明顯了。在實際中，擁有需求分布概率和歷史需求信息的市場主體可能是不同的。比如，擁有線上直銷渠道的制造商可以通過后臺抓取的客戶信息來分析市場需求的狀態，但是其銷售產品的實際市場需求信息則可能由傳統渠道的零售商掌握。因此，為了擴大需求預測的準確性以提高制造商產能計劃的準確性，制造商可以尋求零售商共享市場需求信息。但是當制造商預測需求分布概率接近于0或1時，制造商就無意與零售商共享歷史需求信息。

證明：根據最優訂貨策略和直覺規則訂貨策略的定義，對TC(IR)-TC(k*)關于p求導得以下結果。

性質4. 最優訂貨策略與直覺規則訂貨策略因錯誤決策導致的期望庫存成本增加量的差隨歷史需求信息長度n的增加而增加，且趨近于TC(IR)。

證明：把TC(IR)-TC(k*)中的整數變量n替換成連續變量x，對x求導數可得：

表明TC(IR)-TC(k*)是關于x的增函數，因此，TC(IR)-TC(k*)隨著歷史需求信息長度n的增加而增加。且

性質4表明，隨著歷史需求信息x1,x2,…,xn長度n的增加，最優訂貨策略比直覺規則訂貨策略的優勢也增加，且在歷史需求信息長度n充分大時，可以幾乎完全消除因直覺規則訂貨策略的錯誤決策導致的期望庫存成本增加量。

5 仿真算例

為了更加直觀地說明性質1-4，下面通過一個仿真算例進行分析。設μf=100,μg=120,σ=20,ce=4,cs=5。需求的實際分布按照需求分布概率隨機生成，并隨機產生序列需求信息x1,x2,…,xn。圖1給出了最優訂貨策略和直覺規則訂貨策略下因錯誤決策導致的期望庫存成本增加量。

圖1 不同訂貨策略下錯誤決策導致的期望庫存成本增加量

圖2給出了歷史需求信息長度對因錯誤決策導致的期望庫存成本增加量的影響。

圖2 不同歷史需求信息長度下錯誤決策導致的期望庫存成本增加量

圖2表明對任意長度的歷史需求信息，本文給出的最優訂貨策略下因錯誤決策導致的期望庫存成本增加量總是低于直覺決策訂貨策略，隨著歷史需求信息長度增加，最優訂貨策略下因錯誤決策導致的期望庫存成本增加量減少，且逐漸趨向于0。這一結果驗證了性質4。

6 結語

本文研究了需求分布規律變化情況下的報童訂貨決策問題，在假設顧客需求服從兩種均值不同方差相同的正態分布、且服從哪一種分布的概率已知情況下，構建了直覺規則訂貨策略；進一步在直覺規則的基礎上，引入歷史需求數據，依據信號檢測理論，構建了最優訂貨策略。對比了直覺規則訂貨策略和最優訂貨策略，獲得了以下結論：(1)只要需求分布概率不是接近0或1兩種極端情況，最優訂貨策略下期望庫存成本比直覺規則訂貨策略下期望庫存成本要低，也就是說最優訂貨策略在控制期望庫存成本方面的作用更明顯。(2)給出了最優訂貨策略下期望庫存成本比直覺規則訂貨策略下期望庫存成本低時需求分布概率滿足的嚴格條件，并分析了需求分布概率變化對這個條件的影響。(3)分析了直覺規則訂貨策略下期望庫存成本與最優訂貨策略下期望庫存成本差隨需求分布概率變化情況，獲得了這個差最大時的需求分布概率。當需求分布概率滿足這個條件時，最優訂貨策略的優勢最大。(4)直覺規則訂貨策略下期望庫存成本與最優訂貨策略下期望庫存成本差隨歷史需求信息長度的增加而增加，且在歷史需求信息長度充分大時，幾乎可以完全消除因直覺規則訂貨策略的錯誤決策導致的期望庫存成本增加。說明利用歷史需求信息可以提高報童對實際需求分布檢測的準確度，從而提高實際訂貨決策精度。

通過研究也獲得了一些管理啟示：(1)需求分布概率的估計依賴于非傳統需求信息，而非傳統需求信息可以通過數據挖掘等技術等獲得，因此決策者在平時收集這些非傳統需求信息變得非常重要。(2)即使少量的歷史需求信息對需求分布規律變化環境下的訂貨決策也具有重要的價值，傳統的基于歷史需求信息進行訂貨決策方法有了新的拓展空間。(3)非傳統需求信息分布在不同市場主體中，對這類信息的共享和交換變得越來越重要，擁有信息也成為企業在交易過程中的重要籌碼。

本文的研究只假設需求服從兩種類型的正態分布，且方差相同，后續的研究中，這些假設可以進一步放寬。另外，如何從相關非傳統需求信息估計需求分布概率是有待于進一步深入研究的問題。

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