基于高頻數(shù)據(jù)的我國國債期貨市場套利研究

楊艷軍 陳思岑

一、引 言

國債期貨在幫助市場參與者管理利率風(fēng)險以及推動我國利率市場化改革等方面都起著重要作用。20世紀(jì)90年代，我國曾短暫推出過國債期貨合約，但由于當(dāng)時利率市場化的時機(jī)尚未成熟，加之交易和監(jiān)管制度不夠完善，在發(fā)生了一系列市場違規(guī)事件后被監(jiān)管機(jī)構(gòu)叫停。2013年9月6日，闊別市場18年之久的5年期國債期貨重新上市；2015年3月20日，10年期國債期貨也重啟交易。截至今日，5年期國債期貨和10年期國債期貨運行平穩(wěn)，交易活躍，已經(jīng)成為我國期貨市場中的重要交易品種。

伴隨著市場參與者和交易量的不斷增長，我國5年期國債期貨和10年期國債期貨的流動性有了長足的提高，這為進(jìn)行基于國債期貨的套利交易提供了客觀條件。作為期貨市場套利交易策略的重要組成部分之一，跨品種套利交易在關(guān)聯(lián)品種間價格變動導(dǎo)致其價差偏離均衡關(guān)系時進(jìn)行，一般在同一交易所的不同品種、但相同月份的合約之間操作。

二、文獻(xiàn)綜述

（一）國外相關(guān)研究

Working（1949）基于期貨的倉儲功能首次提出了期貨套利交易的概念。他認(rèn)為套利行為是價格投機(jī)的復(fù)雜形式，但當(dāng)時的研究僅限于同種期貨合約不同交割期限的跨期限套利。在期貨套利方法的研究方面，Eagle和Granger（1987）最早提出了協(xié)整的概念來解決時間序列非平穩(wěn)旳問題，并提出了檢驗非平穩(wěn)變量之間協(xié)整關(guān)系的兩步法，即協(xié)整檢驗方法。他認(rèn)為，如果兩個非平穩(wěn)序列存在著一個穩(wěn)定的線性關(guān)系，則顯示了這兩個序列之間存在協(xié)整的關(guān)系。Johansen和Juselius（1988,1990）提出了基于VAR模型的Johansen協(xié)整檢驗方法，修正了Eagle和Granger兩步法的缺陷。Balke和Fomby（1997）富有創(chuàng)新性的提出了門限協(xié)整，即兩個資產(chǎn)價格經(jīng)過基本驗證不存在協(xié)整關(guān)系，但在它們價格波動的趨勢中存在一定的門限，在這個門限內(nèi)卻不存在協(xié)整關(guān)系，然而在一定的門限外卻存在協(xié)整關(guān)系。門限協(xié)整的提出進(jìn)一步擴(kuò)大了協(xié)整理論在實際中的應(yīng)用范圍。Carmona和Durrleman（2003）將期貨套利主要的類型總結(jié)為：不同期貨品種的跨品種套利（Inter-Commodity Spread），同種交易品種的跨市場套利（Inter-Market Spread），以及同種交易品種的跨期限套利（Calendar Spread）等。

（二）國內(nèi)相關(guān)研究

楊艷軍（2007）研究了我國主要期貨品種的流動性特征，指出流動性是開展套利的基礎(chǔ)。丁秀玲、華仁海（2007）選取大連商品交易所的大豆和豆粕為研究對象，運用Johnsen協(xié)整檢驗等方法，認(rèn)證得到兩者之間存在長期均衡關(guān)系，最后結(jié)果顯示，使用誤差修正模型的模擬套利分析結(jié)果不顯著。韓廣哲和陳守東（2007）選取上證50指數(shù)為研究對象，并運用統(tǒng)計套利模型對其進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)在測試樣本上統(tǒng)計套利模型的夏普比為1.3，最后結(jié)果證實，指數(shù)研究上也適用于統(tǒng)計套利模型。康瑞強(qiáng)（2009）選取上海期貨交易所上市的銅合約為研究對象，運用基于協(xié)整理論的統(tǒng)計套利策略，對5分鐘高頻數(shù)據(jù)的實證對象進(jìn)行協(xié)整檢驗，最后證實長期均衡關(guān)系存在于所選取的銅合約之間。殷曉梅等（2009）選取大連商品交易所的大豆和豆粕期貨合約為研究對象，通過運用基于協(xié)整理論的誤差修正模型和趨勢套利模型，結(jié)果證實該種模型進(jìn)行套利分析的結(jié)果明顯，同時發(fā)現(xiàn)兩種套利模型可以互補(bǔ)使用。張連華（2011）首次選取國內(nèi)的股指期貨和現(xiàn)貨為研究對象，運用基于協(xié)整的統(tǒng)計套利思想，結(jié)果證實模型適用并實現(xiàn)了套利。戴進(jìn)（2012）選取股指期貨和ETF的期限套利為研究對象，引入?yún)f(xié)整統(tǒng)計套利理論，通過對ETF與IF300配對交易機(jī)會的分析，證實了一定的期現(xiàn)套利空間存在于ETF與股指期貨之間。謝佳新（2013）用統(tǒng)計套利的思想進(jìn)行了程序化套利交易模型設(shè)計，并以豆油期貨和棕櫚油期貨進(jìn)行了實證。

國內(nèi)外現(xiàn)有的研究對于商品期貨和股指期貨的關(guān)注遠(yuǎn)多于國債期貨，對跨期限套利和期貨現(xiàn)貨套利的研究也多于跨品種套利；雖然形成了以協(xié)整理論為主的期貨套利研究體系，但是在套利模型建立和套利收益分析等方面還沒有成熟的研究方法。從2013年5年期國債期貨重新上市至今不足5年的時間，我國目前對于國債期貨的學(xué)術(shù)研究整體而言還不豐富。根據(jù)協(xié)整理論，本文使用基于日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)的GARCH模型構(gòu)建套利方案，對我國5年期國債期貨和10年期國債期貨進(jìn)行跨品種套利研究，對于理論發(fā)展和實際應(yīng)用均有一定的意義。

三、數(shù)據(jù)、理論及模型

進(jìn)行套利實證研究可以分為以下幾個步驟：第一，套利對象的選取，包括選擇具體金融產(chǎn)品、時間序列的時間范圍、時間序列的頻率等；第二，相關(guān)性、平穩(wěn)性、協(xié)整檢驗；第三，建立GARCH模型，用以預(yù)測時間序列的異方差性；第四，基于GARCH模型設(shè)計套利方案，估計套利模型參數(shù)；第五，對樣本外數(shù)據(jù)進(jìn)行套利模型的有效性驗證。

（一）選取套利對象

20世紀(jì)90年代，我國曾短暫開展過國債期貨交易，但由于發(fā)生了數(shù)次嚴(yán)重的違規(guī)事件而被監(jiān)管機(jī)構(gòu)叫停，因此這段時間內(nèi)的國債期貨合約研究價值不大。2013年9月6日，我國5年期國債期貨首先重啟交易；2015年3月20日我國10年期國債期貨于重新上市后，才形成了5年期和10年期國債期貨兩個交易品種。因此，選擇2015年3月20日至2018年2月28日的5年期國債期貨和10年期國債期貨合約作為套利對象。在數(shù)據(jù)的頻率方面，選擇5年期國債期貨當(dāng)季連續(xù)合約和10年期國債期貨當(dāng)季連續(xù)合約的1分鐘收盤價（f5和f10）作為具體的研究對象，獲得195840組共391680個數(shù)據(jù)，以分析基于高頻數(shù)據(jù)的國債期貨套利機(jī)會。其中，2015年3月20日至2017年3月20日的數(shù)據(jù)用于估計模型參數(shù)，2017年3月21日至2018年2月28日的數(shù)據(jù)用于樣本外檢驗。

（二）相關(guān)性、平穩(wěn)性、協(xié)整檢驗

套利統(tǒng)計的基礎(chǔ)建立在兩個或多個隨機(jī)變量之間存在較高的相關(guān)性，通過構(gòu)建這幾個變量的組合使得該組合趨于某一特定關(guān)系。樣本內(nèi)數(shù)據(jù)選取2015年3月20日至2017年3月20日的5年期國債期貨當(dāng)季連續(xù)合約和10年期國債期貨當(dāng)季連續(xù)合約的1分鐘收盤價共133008組、266016個數(shù)據(jù)。從圖1可以看出，5年期國債期貨當(dāng)季連續(xù)合約和10年期國債期貨當(dāng)季連續(xù)合約的價格走勢十分相似。

圖1 f5和f10走勢圖

相關(guān)性分析是對兩個或多個變量之間相互關(guān)系的方向和程度進(jìn)行分析。相關(guān)系數(shù)的計算公式如下：

其中，Cov(X,Y)為兩個變量X和Y的協(xié)方差，D(X)、D(Y)分別為X和Y的方差。相關(guān)系數(shù)r的取值范圍是-1≤r≤1，如果r＞0為正相關(guān)，r＜0則為負(fù)相關(guān)。

表1 相關(guān)系數(shù)和相關(guān)程度對應(yīng)表

對樣本內(nèi)數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析，兩個序列的相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.961573。該相關(guān)系數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于一般比較系數(shù)0.8，說明兩個序列是高度正相關(guān)的。

表2 f5和f10的相關(guān)系數(shù)

時間序列的平穩(wěn)性是進(jìn)行統(tǒng)計套利的前提。判定時間序列是否平穩(wěn)的依據(jù)，就是判斷其統(tǒng)計特征是否隨時間的變化而變化。單位根檢驗是對時間序列平穩(wěn)性的檢驗，只有平穩(wěn)的時間序列，才能進(jìn)行計量分析，否則會出現(xiàn)偽回歸現(xiàn)象。單位根檢驗常用的方法有DF檢驗法、ADF檢驗、PP檢驗等、KPSS檢驗等六種，本文將采用ADF檢驗法（Augmented Dickey-Fuller test）來檢驗5年期國債期貨和10年期國債期貨樣本內(nèi)時間序列的平穩(wěn)性。

ADF檢驗是通過檢驗序列中是否存在單位根來判斷序列的平穩(wěn)性，如果該序列平穩(wěn)則說明不存在單位根，如果存在單位根則說明該序列不平穩(wěn)。ADF檢驗法一般有以下三種檢驗?zāi)Ｐ汀?/p>

模型1：序列不含常數(shù)項

模型2：序列含常數(shù)項

模型3：序列含趨勢項

模型原假設(shè)為序列存在一個單位根；備選假設(shè)為不存在單位根序列。對于上述三個回歸模型，原假設(shè)為ρ=0，即存在單位根，備選假設(shè)為ρ＜0，則不存在單位根。我們通過比較1%、5%和10%三個置信水平下的臨界值與序列的ADF值之間的大小關(guān)系來判斷檢驗結(jié)果。如果三個置信水平下的臨界值均大于ADF值，可以說明檢驗拒絕原假設(shè)，即時間序列是平穩(wěn)的，該序列可設(shè)為I(0)序列。如果三個置信水平下的臨界值均小于ADF值，則接受原假設(shè)，那也就是說檢驗的時間序列具有單位根，即時間序列非平穩(wěn)。在此情況下，需要繼續(xù)對非平穩(wěn)時間序列進(jìn)行差分處理，然后繼而運用ADF檢驗對進(jìn)行差分處理后的序列進(jìn)行檢驗，一直到序列平穩(wěn)，即沒有單位根為止。如果經(jīng)過d階差分處理后序列變?yōu)槠椒€(wěn)的，那么稱此序列為d階單整序列，記為I(d)。

使用Eviews軟件對兩個時間序列（f5和f10）的樣本內(nèi)數(shù)據(jù)進(jìn)行ADF檢驗的結(jié)果如下：

表3 f5和f10的ADF檢驗結(jié)果

5年期國債期貨和10年期國債期貨價格的時間序列不平穩(wěn)，而它們的一階差分的時間序列平穩(wěn)，可以證實5年期國債期貨和10年期國債期貨價的時間序列是一階單整的I（1）序列，存在長期協(xié)整的可能性。

Engle和Granger在1978年提出的協(xié)整理論認(rèn)為一些經(jīng)濟(jì)變量之間存在長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系，因此可以從資產(chǎn)組合的短期價值偏差中獲取套利機(jī)會。如果兩個變量都是單整變量，只有當(dāng)他們的單整階數(shù)相同時，才可能協(xié)整；如果他們的單整階數(shù)不同，則不可能協(xié)整。這種協(xié)整檢驗的具體做法就是對兩個變量回歸方程的殘差進(jìn)行單位根檢驗。

對于兩個一階單整序列，要按照E-G兩步法進(jìn)行協(xié)整檢驗的步驟如下：第一步，用普通最小二乘法（OLS）構(gòu)建序列的回歸方程

計算非均衡誤差，得到：

本文使用E-G兩步法對5年期國債期貨和10年期國債期貨的樣本內(nèi)價格序列進(jìn)行協(xié)整檢驗。使用最小二乘法（OLS）對5年期國債期貨和10年期國債期貨的樣本內(nèi)價格序列構(gòu)建回歸方程，Eviews軟件得出二者的靜態(tài)回歸方程如下；

對以上回歸結(jié)果中的殘差進(jìn)行ADF檢驗，顯示其ADF值為-4.541356，小于1%顯著水平下的臨界值，可以拒絕該序列有單位根的原假設(shè)，即接受殘差序列是平穩(wěn)的。5年期國債期貨和10年期國債期貨價格序列存在協(xié)整關(guān)系，兩個品種間可以進(jìn)行統(tǒng)計套利。

秦鐵崖想了想，最終妥協(xié)：“你們兩位，一老一少，老的太老，小的太小，都不是江湖中人，去是可以去，只能在一旁幫襯，主陣必須由我來打。戰(zhàn)書是下給江云飛的，我代江云飛而來，由我打頭陣，理所當(dāng)然。”

（三）建立GARCH模型

在實際市場環(huán)境中，金融時間序列呈現(xiàn)出方差時變的特性，這種特性也被稱為“異方差性”。金融時間序列的異方差性意味著采用常數(shù)方差的金融模型存在先天性的弱點，能夠考慮時變方差的模型才能夠真實反映金融市場情況。Engle（1982）開創(chuàng)性地提出自回歸條件異方差模型（Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model，ARCH） 的 概 念 ，Bollerslev(1986)對其進(jìn)行了擴(kuò)展提出廣義自回歸條件異方差（Generalized ARCH，GARCH）模型。在此之后，一些學(xué)者對GARCH模型作出了進(jìn)一步改進(jìn)，提出了非對稱性GARCH模型、TARCH和EGARCH等，這些模型統(tǒng)稱為ARCH模型族。ARCH模型族被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)的多個領(lǐng)域，描述金融時間序列的波動性特征。而GARCH模型適合在計算量不大時，方便地描述高階的ARCH過程，因而具有更大的適用性。

在標(biāo)準(zhǔn)化的GARCH（1,1）模型中：

其中，Xt為1*(k+1)維外生變量，γ是1*(k+1)維系數(shù)向量，式1的均值方程是一個帶有誤差項的外生變量函數(shù)，式2則是條件方差方程。

將金融時間序列的波動集群性考慮到模型中是GARCH模型創(chuàng)新意義的價值所在。殘差的方差往往是依賴于以前時刻的方差，所以用GARCH模型能夠更加精確地進(jìn)行預(yù)測。本文使用GARCH模型來研究價差序列殘差的方差，從而設(shè)計出5年期國債期貨和10年期國債期貨的統(tǒng)計方案。

5年期國債期貨和10年期國債期貨價格序列的協(xié)整關(guān)系顯示：二者之間存在著簡單的線性關(guān)系。二者的價差序列可以表示為：

對5年期國債期貨和10年期國債期貨價格序列的殘差Spread進(jìn)行去中心化，得到：

使用Eviews軟件對MSpreadt進(jìn)行自相關(guān)和偏自相關(guān)分析，呈現(xiàn)出自相關(guān)系數(shù)拖尾、偏自相關(guān)系數(shù)截尾的現(xiàn)象，因此判斷MSpreadt是一個AR（1）過程。

用OLS法對MSpreadt建立模型如下：

對殘差序列MSpreadt的隨機(jī)波動項μt進(jìn)行滯后1階的ARCH-LM檢驗，可判斷MSpreadt存在ARCH效應(yīng)。對MSpreadt構(gòu)建GARCH(1,1)模型，結(jié)果顯示ARCH、GARCH和常數(shù)項都通過了t檢驗，這說明該模型能夠更好地擬合樣本內(nèi)數(shù)據(jù)。以和σt來代表殘差序列的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可得到方差方程和標(biāo)準(zhǔn)差方程：

（四）設(shè)計套利模型

殘差序列MSpreadt是去中心化之后的時間序列，具有圍繞0上下波動的屬性。當(dāng)MSpreadt偏離0值達(dá)到一定程度時，有回歸0值的趨勢。用殘差序列的標(biāo)準(zhǔn)差σt來衡量偏離程度，可以針對MSpreadt/σt值設(shè)計一套明確的開倉和平倉規(guī)則。當(dāng)MSpreadt/σt偏離到特定程度后，通過構(gòu)建5年期國債期貨和10年期國債期貨的資產(chǎn)組合進(jìn)行開倉——即買入低估值的期貨合約，并賣出相應(yīng)數(shù)量的高估值的期貨合約，以期望MSpreadt/σt偏離程度減小；開倉后，若MSpreadt/σt偏離程度減小到一定程度，通過對開倉的資產(chǎn)組合進(jìn)行反向平盤以鎖定收益——即賣出原先買入的合約并買入原先賣出的合約，稱為獲利平倉；開倉后，若MSpreadt/σt的偏離繼續(xù)增大到一定程度，通過對開倉的資產(chǎn)組合進(jìn)行反向平盤以鎖定損失——即賣出原先買入的合約并買入原先賣出的合約，稱為止損平倉。其中，當(dāng)MSpreadt/σt偏離達(dá)到特定的正值引發(fā)的套利行為稱為“正向套利”，當(dāng)MSpreadt/σt偏離值達(dá)到特定的負(fù)值引發(fā)的套利行為稱為“反向套利”。

表4 正、反向套利示意表(m＞n＞0)

根據(jù)GARCH模型MSpreadt序列時變方差的推導(dǎo)，我們可以繪出2015年3月20日至2017年3月20日之間的MSpreadt/σt走勢圖。從圖中可以看出，MSpreadt/σt圍繞著0值上下波動，在偏離達(dá)到一定程度后有明顯回歸0值的趨勢。當(dāng)MSpreadt/σt＞0時，5年期國債期貨合約的價格被高估，10年期國債期貨合約的價格被低估，可以建立起5年期國債期貨合約空頭和10年期國債期貨合約多頭的資產(chǎn)組合，以期望合約價格回歸；當(dāng)MSpreadt/σt＜0時，5年期國債期貨合約的價格被低估，10年期國債期貨合約的價格被高估，可以建立起5年期國債期貨合約多頭和10年期國債期貨合約空頭的資產(chǎn)組合，以期望合約價格回歸。

圖2 樣本內(nèi)數(shù)據(jù)開、平倉示意圖

根據(jù)MSpreadt/σt建立套利方案主要涉及到三個取值的設(shè)定：MSpreadt/σt開倉值、MSpreadt/σt止盈值、MSpreadt/σt止損值。由于MSpreadt/σt有向0值回歸的天然特征，MSpreadt/σt止盈值可以設(shè)定為0，即無論是正向套利還是反向套利，最終均以MSpreadt/σt回歸 0值作為止盈條件；假定MSpreadt/σt的開倉值為n，交易中的一般經(jīng)驗是將止損值m設(shè)置為小于|2n|的數(shù)值（如|1.5n|），這樣可以使止損時的虧損程度（|2n-1.5n|=|0.5n|）小于止盈時的收益程度（|n-0|=|n|），保證閉合的交易產(chǎn)生正期望收益。這里，我們將止損值m統(tǒng)一設(shè)定為1.5n。分別將 MSpreadt/σt的開倉值 n 選取為 2、6、10、20、60、100，止損平倉值 m=1.5n 相應(yīng)為 3、9、15、30、90、150，止盈平倉值為0，套利方案未考慮交易成本的絕對收益情況如下：

表5 開倉值n與套利收益的關(guān)系

套利方案的收益和開倉值n并不呈現(xiàn)簡單的同向或反向關(guān)系。當(dāng)n值較小時，可導(dǎo)致套利方案中的頻繁開倉，同時止盈和止損的頻率也大大提高，且每次止盈獲得的收益均不高；當(dāng)n值較大時，套利方案的開倉、止盈、止損頻率降低，每次止盈獲得收益大幅提高，但同樣止損的虧損程度也相應(yīng)增大。在我們選取的6個n值中，當(dāng)n=60，即正反向套利的開倉觸發(fā)點為MSpreadt/σt=±60、止損平倉觸發(fā)點為MSpreadt/σt= ±90、 止 盈 平 倉 觸 發(fā) 點 為MSpreadt/σt=0時，進(jìn)行套利獲得的未考慮交易成本的絕對收益最大，達(dá)到5.59%。

（五）樣本外數(shù)據(jù)檢驗

樣本外數(shù)據(jù)選取2017年3月21日至2018年2月28日的5年期國債期貨當(dāng)季連續(xù)合約和10年期國債期貨當(dāng)季連續(xù)合約的1分鐘收盤價共62832組、125664個數(shù)據(jù)，對于設(shè)計的基于GARCH模型的套利方案進(jìn)行檢驗。同樣將正反向套利的開倉觸發(fā)點設(shè)定為MSpreadt/σt=±60、止損平倉觸發(fā)點設(shè)定為MSpreadt/σt=±90、止盈平倉觸發(fā)點設(shè)定為MSpreadt/σt=0。

圖3 樣本外數(shù)據(jù)開、平倉示意圖

經(jīng)過檢驗，本文設(shè)計的基于GARCH模型的套利方案在樣本外數(shù)據(jù)中獲得了未考慮交易成本的絕對收益4.56%。

四、總 結(jié)

本文旨在研究我國5年期國債期貨和10年期國債期貨之間的跨品種套利關(guān)系，選取2015年3月20日10年期國債上市以來5年期國債期貨和10年期國債期貨連續(xù)合約的1分鐘收盤價作為高頻數(shù)據(jù)，檢驗其相關(guān)性、平穩(wěn)性和協(xié)整性，并使用GARCH模型設(shè)計基于時間序列異方差性的統(tǒng)計套利方案。對于樣本內(nèi)數(shù)據(jù)，選取數(shù)個不同的正反向套利的開倉觸發(fā)點和止損平倉觸發(fā)點進(jìn)行套利分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)選取正反向套利的開倉觸發(fā)點為MSpreadt/σt=±60、止損平倉觸發(fā)點為MSpreadt/σt=±90、止盈平倉觸發(fā)點為MSpreadt/σt=0時，進(jìn)行套利獲得的未考慮交易成本的絕對收益最大，達(dá)到5.59%；隨后選取同樣的開倉觸發(fā)點、止損平倉觸發(fā)點和止盈平倉觸發(fā)點，對樣本外數(shù)據(jù)進(jìn)行套利分析，獲得了未考慮交易成本的絕對收益4.56%，證明了套利方法的有效性。

【參考文獻(xiàn)】

［1］Engle,Grange.Cointegration and error correction:representation,estimation and testing.Econometrica.1987.55:251-276

［2］Johansen,S.,K.Juselius.Maximum Likelihood Estimation and Inference on Cointegration with Applications to the Demand for Money.Oxford Bulletin of Economics and Statistics.1990.52:169-210

［3］Balke N S,Fomby T B.Threshold Cointegration.International Economics Reviews.1997.38:627-645.

［4］楊艷軍.期貨市場流動性理論與方法實證.北京：知識產(chǎn)權(quán)出版.2007

［5］韓廣哲，陳守東.統(tǒng)計套利模型研究——基于上證50指數(shù)成份股的檢驗.數(shù)理統(tǒng)計與管理.2007.26（5）908-916

［6］宋穎.國債期貨價格套利機(jī)會的實證分析——以美國國債期貨市場為例.價格理論與實踐.2012（08）68-69

［7］朱麗榮，蘇辛，周勇.基于我國期貨市場的跨期套利研究. 運籌與管理.2015.24（3）179-188