直面相異構想，調正轉化路徑
——以“平行四邊形面積計算公式的推導”教學為例

□ 楊文杰

在幾何圖形的學習過程中，學生原有的經驗能對幾何學習產生促進作用，但是也有可能產生一些負面影響。學生在解決新的問題時，可能會受到一些無關特征的影響，從而導致認知錯誤或者誤解，從而產生對新事物的錯誤認知，也就是對新知識的錯誤的相異構想。在“平行四邊形的面積”一課教學中，很多學生產生平行四邊形的面積就是鄰邊相乘這樣的錯誤的相異構想。而我們在教學中，要基于這樣的錯誤構想，進行教學實踐，從而達到從“錯誤”到“正確”的調正目的。

一、相異構想產生的原因分析

學生產生平行四邊形面積計算方法就是鄰邊相乘這樣錯誤的相異構想，是受到以往知識概念、學習經驗、心理因素等多種因素的影響。

幾何視覺的錯誤判斷：我們知道長方形是特殊的平行四邊形，兩組對邊分別平行且相等。在觀察兩個性質類似，大小、邊長等差距比較小的圖形時，學生的幾何視覺就直接認同了兩個圖形面積計算的相似性，有些學生則會直觀認為面積大小相等。“很像”和“真實”是不同的，這部分學生僅僅憑借幾何視覺就定義了平行四邊形面積計算方法，從而導致產生錯誤的相異構想。

上位知識學習程度影響：平行四邊形面積的上位知識是面積的概念。歐幾里得幾何概念的建構認為：學生學習面積概念是基于測量能力的發展，同時指出學生習得面積概念的發展形成于十五歲左右。受到個體心理發展差異的影響，五年級的有些兒童，測量能力還停留在長度和距離一維程度，無法建立二維層面上的測量。而在學習平行四邊形面積前，學生學習了長方形面積，所以簡單地把平行四邊形面積計算方法思考為“長×寬”。

圖形運動觀念的缺乏：平行四邊形面積的計算公式推導過程是基于轉化的思想，而這個轉化其本質是圖形的剪拼，也就是圖形的變換與運動。圖形的變換概念的形成也是源自學生的生活經驗，針對這一內容的學習，學生不僅要具有圖形的直覺，而且要具有圖形會動的直覺。產生“S＝ab”的錯誤相異構想，并不是學生頭腦中無轉化思想，而是恰巧有了轉化的想法，卻存在著轉化過程中的錯誤。這個錯誤形成的原因主要是學生在轉化過程中缺乏圖形變換的經驗，缺少對于圖形整體拼組過程中整體的運動的面積守恒的認識。

幾何推理能力的不足：學生錯誤地把平行四邊形面積計算為鄰邊相乘，是學生幾何推理能力不足的體現。因為沒有一定的操作指導（學生對模型、圖形或表象進行思維操作），所以學生只能“直覺”對“空想”，這對于平行四邊形面積計算的推導是沒有根據的，所以產生錯誤的相異構想也是情有可原的。這一階段兒童的幾何推理能力還不能脫離直觀的操作實驗，這也是我們教師在課堂上需要補足的短板。

綜上分析，在平行四邊形面積的學習過程中，學生錯誤的相異構想形成是基于學生在解決新問題中已經有了初步的“轉化”意識，但缺乏嚴謹的“轉化”方式（面積守恒），從而導致錯誤的轉化結果（S=ab）。

二、相異構想調正轉化的路徑

基于學生的錯誤相異構想，我們需要給學生提供診斷的調正路徑，引發學生的認知沖突，從而有效地根除學生的錯誤概念。當然借鑒別人的教學經驗，選擇最優的調正路徑，也不失為一種好的策略方法。以下筆者將從本節課的引入—調正—反饋來實現平行四邊形面積計算公式從“異”到“正”的調正目標。

調正引入：不規則圖形面積比較，引入“轉化”思想

師：同學們，我們已經學過面積，下面兩個圖形哪個圖形的面積大，你是怎么想的？（出示

生：一樣大。因為都有12格。

師：你是通過數格子的方法來比較的是嗎？

生：是的。

師：一個圖形包含有幾個單位面積，面積就是多少。

師：還有不同的方法進行比較的嗎？

生：我是把圖形①中的那個凸出來的部分移到下面，正好變成了和圖形②一模一樣的長方形。所以它們的面積相等。

生：形狀變了，面積沒變。周長變了。（生上臺手指）

師：是的，像這樣經過分割、移補后圖形的面積沒有改變，這也是數學中所說的“出入相補”原理。

【設計意圖】學生的原有認知已經有了轉化的意識，只是在轉化的過程中缺乏面積守恒的概念。為了弱化其他因素，特別是為了摒棄長方形面積公式的干擾，筆者借鑒蘇教版和北師大版教材的編排，用不規則圖形面積大小比較來引入學習。呈現格子圖的目的是為了讓學生的認知回歸到事物的原點，即面積的本質屬性——單位面積的累加。分割、移補圖形的過程讓學生直面面積轉化“形變而積不變原理”，形成面積守恒的概念。

調正初階：借助格子圖，回歸面積本質的探索糾正

師：同學們，我們也學過平行四邊形了，這個平行四邊形的面積是多少？（出示你是怎么想的？

生1：數格子，36平方厘米。

師：你是怎么數的？

生1：滿格是1平方厘米，超過半格的也是1平方厘米，不足半格的就忽略。

師：你是用估計數的方法，還有其他數的方法嗎？

生2：我數出來是35平方厘米，我發現左邊的那個不足1平方厘米的格子可以拼到右邊，正好是1格。

生：每行有7個，這樣的有5排，5×7＝35（平方厘米）。

師：你還有其他的想法嗎？

生3：我也是像陳科航（生2）一樣的方法，只是我不是一格一格補的，我是一大塊移的（上臺移動，見右圖）。

生：長方形。

師：轉化的過程中，你發現什么變了，什么沒變。

生：面積沒變，高也沒變；形狀變了，那一塊平移過來了。

師：現在你能知道原來平行四邊形的面積嗎？

生：35平方厘米，也就是算長方形的面積。

師：還有其他不一樣的想法嗎？

生4：我還可以對半剪開，再拼成一個長方形，面積也能算出來。

師：這一個方法和剛才的方法有什么相同的地方，有什么不同的地方？

生：都是轉化成了長方形。

生：面積都一樣。

生：也可以用算式7×5來快速算出面積。

生：不一樣，剪的大小不一樣。

師：剪的大小不一樣，怎么剪的？

生：都是豎著剪的，但剪的地方不一樣，所以比剛才的三角形大了很多。

師：豎著剪，那是沿著什么剪的？

生：哦，都是沿著高剪的。

師：我們剛才在格子圖的幫助下成功地計算出了平行四邊形的面積。這一學習過程，你有什么心得想和大家分享嗎？

生：我們可以沿著高，把平行四邊形轉化成長方形來計算面積。

【設計意圖】圖形的運動想象是比較復雜的，特別是二維圖形的組合。而格子圖其實就是單位面積，借助格子圖進行操作實驗，是一把很好的輔助梯。學生可以借助格子圖產生多種剪拼方法，例如生2的想法，就是單位面積的累加，是一種回歸面積本質的想法；例如生4的想法，是大板塊的拼組，在這個過程中，學生必須分離出更抽象的格子結構進行拼組，說明學生的思維經過前面的輔助已經開始慢慢脫離了背景的限制。這一環節的調正過程，學生已經明白了平行四邊形的面積與斜邊無關。

調正進階：從特殊到一般，發展幾何推理能力

操作探究1：剛才，我們借助格子圖來計算平行四邊形的面積。現在老師給每個小組一些平行四邊形，你們去想辦法求出它們的面積。（學具：底邊7cm，高3cm，斜邊5cm；底邊10cm，高3cm，斜邊5cm）

生小組合作探究，教師巡視。

匯報：（通過剪拼成長方形）第一個面積是21平方厘米，第二個面積是30平方厘米。

師：計算了三個平行四邊形的面積，你覺得平行四邊形的面積和什么有關？

生：與高有關，與底有關，與長方形有關。

師：與長方形有什么關系？

生：求平行四邊形的面積，其實是轉化成長方形的面積，長方形的寬就是平行四邊形的高，長方形的長就是平行四邊形的底。

師：與斜邊無關。

操作探究2：提供一個標有字母的平行四邊形，利用字母進行面積公式推導。

師：如果用S表示平行四邊形的面積，用a表示平行四邊形的底，用h表示平行四邊形的高，平行四邊形面積的計算公式你會表示嗎？

生：S等于a乘h。根據學生回答板書：

長方形面積=長×寬

平行四邊形面積=底×高

【設計意圖】學生的幾何推理能力發展需要經歷想象、思考、操作、計算等過程。這一調正過程中學材的選擇從具象到抽象，從特殊到一般，最后到用字母進行公式推理。在對比中強化辯證，理清平行四邊形的面積=底×高，與斜邊無關。這一過程不僅是學生相異構想的調正過程，更是幾何推理能力鍛煉與發展的過程。

調正反饋：尋找反例，從變化的角度看問題

練習活動1：下面的平行四邊形面積相等嗎？

練習活動2：活動平行四邊形的拉升過程，你有什么發現？

反饋：什么沒變？平行四邊形的面積怎么變化？為什么？

【設計意圖】學生相異構想調正后，設計反饋的練習，可以是正強化，也可以是反例強化。練習活動1是再次在變與不變中感受等底等高的平行四邊形的面積相等，平行四邊形的面積與斜邊無關，同時面積相等的平行四邊形的形狀可能不同。練習活動2的設計目的是為了讓學生在反例中明白，底邊和斜邊相等的平行四邊形的面積不一定相等，原因是高不相等；同時滲透極限思想——隨著高的變小，面積越來越小，最終趨向于0。

學生相異構想的形成是基于其知識結構、思維能力和活動經驗的。通過分析其相異構想形成的原因，針對形成原因進行調正路徑的學習和分析，借鑒前人的活動經驗，設計有針對性的引入環節，可操作性的調正活動，有探究性的調正過程，有正反兩方強化的反饋練習，能幫助學生糾正錯誤的想法，提高學生的推理能力，豐富數學的活動經驗。

參考資料：

[1]楊靈君、陳慶憲.回歸認知本真關注自主經歷——“平行四邊形的面積”教學實錄與評析[J].小學教學(數學版),2013(12):22-24.

[2]李幫魁.簡單之中見豐厚——特級教師姜錫春執教“平行四邊形的面積”教學賞析[J].教育科學論壇，2013（10）：46-47.

[3]沈燕.基于學生，為了學生——賁友林老師“平行四邊形的面積計算”教學賞析[J].小學教學（數學版），2015（6）:70-73.

[4]潘小明.數學思維的發展不是空洞的——“平行四邊形的面積”教學實踐及思考[J].人民教育（教學），2012（12）：34-37.