基于本質把握和學情研究的教學思考
——以“正、反比例”教學為例

□ 陳建茂

劉加霞教授撰寫的《小學數學有效教學》一書中，其引言部分的標題就是“把握數學本質+研究學生=有效教學”。筆者覺得這很有道理，因為數學教學教什么，要看數學本質；怎么教，則要看學生。

本文筆者想從“基于數學本質的把握”和“基于學生學情的研究”兩個維度與讀者共同探討小學“正、反比例”的一些教學思考，從而追求有效教學。

一、基于數學本質把握的“正、反比例”教學思考

《小學數學有效教學》一書中提出了五個方面的數學學科本質，分別是：本質1是對基本數學概念本質的理解；本質2是對重要數學思想方法的理解與把握；本質3是對數學特有思維方式的感悟與運用；本質4是對數學美的體驗與鑒賞；本質5是對數學精神（理性精神與探究精神）的追求。

（一）正、反比例的數學本質是什么？

《義務教育數學課程標準（2011年版）解讀》中對正、反比例的數學本質做了如下描述：在現實中，有許多數量關系可以表示為呈正比例的量和呈反比例的量，其本質是兩個量按一定的比例關系發(fā)生變化。如果一個量增加（減少），另一個量按一定的比例增加（減少），則這兩個量是呈正比例的量。如果一個量增加（減少），另一個量按一定的比例減少（增加），則這兩個量是反正比例的量。如果分別用x和y表示兩個量，前者可以表示成y=ax（a＞0），后者可以表示成，或xy=a（a＞0）。

正比例和反比例的關系本質上是函數關系，函數的核心是“把握并刻畫變化中的不變，其中變化的是‘過程’，不變的是‘規(guī)律（關系）’”。學生愿意去發(fā)現“規(guī)律”并能夠將“規(guī)律”表述出來的意識與能力，就是函數思想在教學中的滲透。

（二）有哪些可行性的教學策略呢？

1.多樣材料，在辨析中豐富對變量及其關系的感受，初步體會函數思想

正、反比例的教學內容是學生從對“常量”的認識過渡到對“變量”認識的一次飛躍，是函數思想滲透的重要契機。

筆者比較了人教版、北師大版、浙教版、蘇教版以及青島版五個版本的教材，只有北師大版教材在學習正比例和反比例之前，安排了“變化的量”一課，旨在結合具體情境認識“變化的量”，知道生活中存在大量互相依存的變量，并通過描述，了解其中一個變量是怎樣隨著另一個變量而變化的，積累表征變量的數學活動經驗。其他四個版本教材都是在比例的意義和性質之后直接安排正、反比例教學內容的。

筆者認為北師大版教材的編排非常好，建議教師設計多個不同內容、不同變化類型、不同呈現方式的情境，讓學生在觀察、辨析、描述中進行分類，豐富對變量和變量之間相互依存的關系以及變化之中的不變的感受，初步體會函數思想。（詳見北京海淀邸莉的教學課例）

2.多重表示，在對比中豐富正、反比例意義的理解，初步建構函數模型

正比例關系和反比例關系是兩個重要的函數模型。函數有三種表示方法：表格、關系式（解析式）和圖象，有專家認為學生樸素的語言描述也可以算一種，這就是人們通常所說的函數的多重表示（Multiple representation）。

筆者比較了國內五個不同版本的教材，梳理了各版本教材對正、反比例函數的表示方法，從中可知：（1）除了北師大版教材和青島版教材，其他三個版本教材中都呈現了函數的四種表示方法，但北師大版教材反比例教學內容的第一個表格材料中，出現了用x、y表示長方形相鄰兩邊的邊長，這為學生抽象出解析式函數表示方法做了很好的鋪墊。（2）五個版本教材在正比例函數圖象的呈現方式上略有不同：北師大版教材是單獨安排了一課時“畫一畫”；蘇教版教材呈現了半成品，讓學生連點成線；其他三個版本教材都是直接呈現正比例圖象的。（3）除了浙教版，其他四個版本教材的反比例圖象都是安排在“你知道嗎”欄目中，作為一項“了解”的目標。

筆者認為，教師可以整合各版本教材的編寫意圖，鼓勵學生經歷正、反比例關系的多重表示，在表示、觀察、對比中，充分感知正、反比例關系的多種表征，豐富正、反比例意義的理解，初步建構函數模型。

二、基于學生學情研究的“正、反比例”教學思考

學生學習正、反比例之前，已經具備了哪些認知基礎和生活經驗呢？學習正、反比例的困難在哪？又有哪些基于學生情況分析的“正、反比例”教學策略呢？

（一）學生學習“正、反比例”會出現哪些情況呢？

1.前測情況

筆者于2017年3月對麗水市蓮都區(qū)的蓮外小學（城區(qū)學校）和碧湖二?。ㄠl(xiāng)鎮(zhèn)學校）的六年級學生進行了關于反比例認識的前測。下面呈現其中兩道選擇題的前測情況。

（1）前測題

①下面（ ）表中的兩種量，一種量變化，另一種量也隨著變化；（ ）表中的兩種量，不但一種量變化，另一種量也隨著變化，而且它們相對應的兩個數的乘積不變。

A.小明讀一本書，已讀頁數和剩下頁數的情況如下表：

已讀頁數剩下頁數1 2 3 4 5 79 78 77 76 75……

B.一輛卡車運一批大米，卡車載重量與運的次數的情況如下表：

卡車載重量/噸運的次數1.5 20 2 3 15 10 5 6 10 3……

C.一輛車以同樣的速度前行，行駛的路程和時間如下表：

時間/時路程/千米1 2 3 4 5 90 180 270 360 450……

②下面（ ）中的兩個量，一個量變化會引起另一個量變化，而且它們相對應的兩個數的乘積一定。

A.長方形的面積不變，長方形的長與寬。

B.一個人的年齡和體重。

C.天數一定，生產零件的總個數與生產的天數。

D.直角三角形中，兩個銳角的度數。

（2）前測結果及分析

第①題前測結果：

題號第一小題學校蓮外小學選A人數及比例27人（71.1%）選B人數及比例14人（36.8%）選C人數及比例30人（78.9%）

續(xù)表

第①題多數學生進行了多項選擇，部分學生只選了一個選項。

第②題前測結果：

選D人數及比例2人（5.3%）3人（7.9%）學校蓮外小學碧湖二小選A人數及比例34人（89.5%）18人（47.4%）選B人數及比例0人8人（21.1%）選C人數及比例2人（5.3%）9人（23.6%）

分析上述數據，我們發(fā)現學生對變量及變量之間相互依存關系的判斷能力較強，對兩個變量是否呈正、反比例關系的判斷也有一定的認知基礎；學生對不同呈現方式的判斷結果也略有不同，其中表格法呈現的判斷正確率高于純文字描述的呈現方式，可見學生還是需要借助直觀性強的素材來理解正、反比例的意義；鄉(xiāng)鎮(zhèn)學校學生的認知基礎遠低于城區(qū)學校學生，多數學生理解正、反比例的意義和掌握判斷兩個變量是否呈正、反比例關系的方法仍是教學的重點。

2.后測情況

筆者于2017年5月在六年級學生進入總復習前，對蓮外小學和碧湖二小兩所學校參加過前測的學生進行了后測。

（1）部分后測題及結果統計

后測題①：判斷下面各題中兩種量是否呈比例，呈什么比例，為什么？A.分子一定，分母和分數值B.正方形的面積和邊長C.圖上距離和實際距離蓮外正確率（城區(qū)學校）碧湖二小正確率（鄉(xiāng)鎮(zhèn)學校）78.6%100%3.6%42.9%28.6%（一名骨干教師送教下鄉(xiāng)，復習課后的再測結果為94.7%）20.4%

續(xù)表

其中，C題蓮外小學的正確率只有3.6%，筆者覺得好奇，于是進行了學生訪談。訪談結果是：學生認為圖上距離除以實際距離等于比例尺，比例尺不會變。

后測題：有關正、反比例的知識，你還想研究什么？

統計顯示，學生主要想研究四個方面的內容：一是想繼續(xù)研究判斷是否呈比例的方法；二是正、反比例在生活中有哪些應用；三是想學會正、反比例的圖象是怎么畫的；四是想知道正、反比例的由來。

（2）后測帶來的困惑

筆者對比了后測題①和前測題②的答題情況，產生了新的困惑：為什么學生學習了正、反比例才一個多月，后測的正確率不見得高于前測？為什么一堂骨干教師的復習課能讓鄉(xiāng)鎮(zhèn)學校的正確率從28.6%提高到94.7%？

帶著對學生情況的分析和困惑，重新思考正、反比例的課堂教學，又有哪些可行性的教學策略呢？

（二）基于學情研究的教學策略

1.重視圖表教學，直觀理解抽象的正、反比例意義及函數模型

學生的前測與后測情況都反映出一個現象：根據圖表判斷兩個變量的關系易于根據語言描述或解析式的判斷。因此，我們要重視“正、反比例”的圖表教學，尤其是圖象教學，正如北師大版教材單獨設置了“畫正比例圖象”一課，豐富了變量的經歷，感受了正比例圖象的動態(tài)形成過程，體會了兩個變量的一一對應和連續(xù)性，幫助學生直觀理解了正比例的意義。筆者認為，反比例圖象也可以采用動態(tài)的方式呈現。

另外，還有很重要的一點就是要充分溝通圖象語言、表格語言、描述語言以及解析式（關系式）語言之間的聯系，幫助學生深化正、反比例的認識，逐步建構正、反比例關系的函數模型。

2.回歸四則運算，喚醒已有經驗，深刻掌握辨析正、反比例關系的方法

教材中呈現的正、反比例概念的描述比較冗長且抽象，學生運用抽象的概念辨析生活中的兩個變量是否呈比例存在一定困難，然而正、反比例的關系式以及其中兩個變量的變化規(guī)律與乘、除法運算模型及各部分的變化規(guī)律是基本一致的。如若一個乘數擴大（縮?。┑皆瓉淼膸妆叮◣追种畮祝?，另一個乘數縮小（擴大）到原來的幾分之幾（幾倍），則積不變，這與呈反比例關系的兩個量的變化規(guī)律是一樣的。即呈反比例關系中兩個變量相當于乘法算式中兩個變化的乘數，其中不變的量就相當于乘法算式中的乘積。

筆者認為，這樣的回歸與溝通能夠幫助學生理解正、反比例的意義，更能幫助學生正確辨析兩個變量呈什么比例關系。

3.基于學生需求，加強正、反比例應用的教學，進一步認識正、反比例

筆者進行前測與后測的對象都是使用北師大版教材的學生。北師大版教材沒有單獨安排正、反比例應用的教學，相關的練習也很少，學生提出“想研究正、反比例在生活中有哪些應用”是順理成章的事。所以，筆者認為使用北師大版教材的區(qū)域，教師在教學中補充正、反比例應用的教學也是理所應當的事，何況知識的形成本就需要經歷知識的運用過程。

對正、反比例意義及應用的研究還在繼續(xù)，本文僅從“數學本質”和“學生研究”兩個維度對之前的研究做了一些不成熟的闡述，以盼自己能逐步走近“有效教學”。

參考文獻：

[1]張丹.小學數學教學策略[M].北京師范大學出版社，2010（8）.

[2]劉加霞.小學數學有效教學[M].北京師范大學出版社，2015（5）.