分類 比較 求簡
——“列舉”教學例談

□ 陸繼美

“一一列舉”是蘇教版五年級上冊的教學內容，教材安排兩道例題，例1是與長方形周長、面積計算有關的實際問題，在教學中主要讓學生借助列表的方法進行有序思考，能夠不重復、不遺漏地列舉出符合條件的各種圍法，再通過對列舉結果的比較找到答案，側重于讓學生感知列舉的基本思考過程和方法；例2引導學生用列舉的策略求出4支球隊進行單循環賽的場次數，側重于讓學生進一步感受列舉的策略特點。在新授課時，教師往往會發現，對例題的教學學生都掌握得比較好，基本上能做到有序思考，不重復、不遺漏列舉出各種情況，但是在練習中，在實際應用時，學生往往無從下手，不能恰當、正確、靈活地應用策略解決問題，因此，教師常常要把練習中的許多題目當作例題來講解，既費時又費勁。究其原因，教師在新授課時沒有有意識地教給學生解決這類問題的“策略”，沒有讓學生學會舉一反三、觸類旁通。那么，在教學“一一列舉”時，要讓學生掌握哪些有效的“解決策略”呢？

一、找準依據，是進行有效列舉的前提

“水有源，樹有根，思無依據不成立。”在列舉前，讓學生找出進行列舉的依據是進行有序思考的前提。

比如，在例1“王大叔用22根1米長的木條圍成一個長方形花圃，怎樣圍面積最大”的教學中，要讓學生知道用22根1米長的木條圍成一個長方形花圃，也就是這個周長是不變的，都是22米，從而得出“長+寬=11米”，并且要根據“長+寬=11米”去列舉所有可能的情況，而“用12個邊長1厘米的正方形排成不同的長方形”則是面積不變，所以要根據“長×寬=12平方厘米”進行列舉，在完成這兩個環節的教學后，老師就要引導學生比較兩題列舉的不同依據，讓學生明白在列舉前先要明確進行列舉的依據，再進行列舉，才不會發生方向性的錯誤。接著，再通過下面一道練習“一個音樂鐘，每隔一段相等的時間就發出鈴聲。已經知道上午9:00、9:40、10：20和11：00發出鈴聲，那么下面哪些時間也會發出鈴聲？13：00 14：00 15：40 16：00”，讓學生明確要列舉出哪些時間會發出鈴聲，必須先找出“每隔40分鐘發出一次鈴聲”的規律，并以此規律為依據進行列舉，才不會發生偏差。這樣，通過教師有意識的引導和強化，學生往后在進行列舉的時候，也會主動尋找列舉的依據，從而為列舉的正確性提供正確的保障。

二、借助分類，使列舉更有條理性

到了小學高年級，如果關注綜合知識的應用和綜合思想方法的滲透，就能更好地解決問題。教師在引導學生應用“一一列舉”的策略解決問題時，要讓他們借助分類的數學思想理清錯綜復雜的問題，使其解題思路更為清晰明了，解題步驟更為簡潔有序。

比如在第一課時的鞏固練習中，可以安排如下題目：“2張面值100元和2張面值20元的人民幣，一共可以組成多少種不同的幣值？”并且引導學生按所選的張數先進行分類再列舉，這樣就能按順序、有條理地列舉出，以下幾種幣值組合。

選1張的：100元 20元（2種）

選2張的：200元 40元 120元（3種）

選3張的：220元 140元（2種）

選4張的：240元（1種）

從而得出一共可以組成8種不同的幣值。

實際上，分類思想在一一列舉中的應用非常廣泛，比如列舉用若干張數字卡片組成多位數時，可以按最高位、第二位……分別是不同的數字進行分類，在“投中幾環”的練習中，也要引導學生進行合理的分類，按環數相同的和不同的分別列舉出投中環數的情況。這樣，先進行分類，就使得列舉的過程更加嚴密、順暢，也更容易做到不重復、不遺漏。

三、巧用比較，幫助學生克服思維定勢

烏申斯基認為：“比較是一切理解和思維的基礎。”在引導學生列舉的過程中，也要善于應用比較，把相似的知識區分開，把看似不同的知識溝通、聯系起來。

比如在教學：“小強、小華和小麗是好朋友。如果他們每兩人之間通一次電話，一共要通多少次電話？如果他們互相寄一次賀卡，一共要寄多少張賀卡”時，就要引導學生理解這是同一情境中的既有聯系又有區別的兩個問題，其中“一共要通多少次電話”的實質就是從三名同學中選出兩名，看一共有幾種不同的組合，無須區分誰是主叫，誰在接聽，所以一共要通3次電話；而“一共要寄多少張賀卡”，則要在上述每一種組合中區分寄出賀卡的人與接收賀卡的人，所以一共要寄6張賀卡。

再如前面提到的列舉的依據，是根據“周長不變”，還是根據“面積不變”，是借助“列表”“文字方式”，還是“畫圖”的輔助手段等，都應用到了比較。通過比較，有利于學生克服思維定勢，進一步掌握列舉的思考過程和方法，學會具體問題具體分析，根據實際需要靈活選擇方法，從而提高運用策略的水平。

四、以簡馭繁，讓學生完成數學模型化

在進行列舉的時候，我們難免會碰到一些復雜、煩瑣的問題，使學生無從下手，這時候我們要引領學生另辟蹊徑，化難為易，以簡馭繁，先從簡單的問題入手，找到規律，再用規律去解決更復雜的問題。

在第二課時的教學里，可以安排如下的練習：

右圖中一共有多少個正方形？

如果讓學生直接去數，可能大部分學生都摸不著門道，不能完整地數出正方形的個數，即使有些程度比較好的學生能夠得出正確的答案，也難以做到有“序”思考，更無法完成數學的模型化。這時候，我們應該設計如下的表格，引導學生由易到難、有序地進行思考和尋找。

邊長為“1”的正方形個數邊長為“2”的正方形個數邊長為“3”的方形個數邊長為“4”的方形個數正方形的總個數2×2=4 1×1=1 4+1=5 3×3=9 2×2=4 1×1=1 9+4+1=14 16+9+4+1=30 4×4=16 3×3=9 2×2=4 1×1=1

從最簡單的“四格”入手，深入淺出地讓學生明白邊長分別為“1”“2”“3”“4”……的正方形的個數是怎么來的？分別有多少個？可以用怎樣的公式來概括？學生不僅知其然，而且知其所以然，深刻地理解了其中蘊含的規律，能夠應用規律去解決這一類問題，輕而易舉地算出25格、36格……正方形的個數，完成了數學的模型化，并且能夠應用這樣的策略和模型，去解決“幾點之間一共可以連接幾條線段”和“幾條射線一共組成幾個角”等類似的問題。這樣，學生解決的就不是一道題，而是通過這道題學會了怎么思考，這才是我們學習數學的重要目的。

總之，在這一內容前兩課時的新課教學中，教師要充分考慮到應用“一一列舉”的策略解決問題時，所牽涉到的各種思考方法和“解決策略”，并把它們滲透到各個環節的教學中，使學生獲得豐富的解題經驗，這樣，才有利于學生正確靈活地應用列舉的策略解決問題。