優化思想在解決烙餅問題教學中的滲透

□ 錢雅琴

優化思想是數學思想的重要組成部分，也是培養學生數學素養的重要內容之一。烙餅問題的教學目標是讓學生經歷自主探究的過程，體驗解決問題策略的多樣性，并在尋求解決問題最優方案的過程中積累數學基本活動經驗，感悟數學的優化思想。同時，在教學活動中要突出數學與生活的緊密聯系，使學生初步形成從數學的角度發現、提出問題的能力以及分析、解決問題的能力，增強應用意識和實踐能力。但是，烙餅問題對于學生來說其實并沒有經驗可言，而且“烙3張餅”的最優方法與實際生活中的做法完全不同，如何突破這一難點，讓學生的認識實現同化與順應，充分感受到數學優化思想方法呢？根據“數學教學是數學活動的教學”這一理念，筆者在教學中設計了很多實踐活動，讓學生在動手操作過程中經歷優化過程，尋找解決問題的最優方案，提高學生解決問題的能力。

一、收集解決烙餅問題的數據信息，初步感知最優方案的關鍵因素

筆者在仔細研讀教材后，發現一個共同點，即教材中對“烙餅問題”的數學信息描述過于提煉、集中而有意義，主動摒棄了一些多余信息，要解決的問題也是奔著“最優化”目標直接提出來的，學生只要套用最優方案就能順利解決問題。這種以“學生學會做書本上的數學問題”為教學目標，以“追求標準答案”為價值取向的傳統教學模式違背了新課程理念，不利于學生形成從數學的角度發現、提出問題的能力以及分析、解決問題的能力。為此，筆者對烙餅問題的引入做了一些改動。

筆者在課件出示“一家三口早餐吃烙餅”情境后，直接問學生：“從數學的角度，你認為必須收集哪些信息？”

生：如果每人1張餅，要烙3張餅；如果每人2張餅，要烙6張餅。

師：每人1張餅。

生：餅的反面要不要烙？

師：哪種烙法的餅更誘人？

生：兩面都要烙！

生：我沒有烙過餅，我想問烙一面要多長時間，既不會是生的又不會烤焦？（這個問題和烙餅時間的快慢有關，問得太好了）

師：每面大約3分鐘。

這時很多人舉手搶著說：“一共要幾分鐘？”

師：現在把這個任務交給你來完成，你需要幾分鐘？”

生：烙1張餅要6分鐘，3張餅就要18分鐘。

生：先2張餅一起烙用6分鐘，再烙1張餅用6分鐘，正好12分鐘。

生：3張餅一起烙的話只要6分鐘。

生：我知道2張餅一起烙的話也不用12分鐘，只要9分鐘。

同樣是烙3張餅，為什么有人需要的時間長一些，有人需要的時間短一些？

生：我每次只烙1張餅，他們每次烙2張餅、3張餅，他們肯定比我快了！

生：對啊，想要速度快，就要往鍋里多放幾張餅！

讓學生經歷上面幾番交流與分享，促使學生主動思考、收集解決烙餅問題的各方面數據，初步體驗到影響烙餅速度的關鍵因素是每次最多烙幾張餅，這一因素也是突破“烙3張餅最優方案”教學難點的關鍵因素。

二、體驗解決烙餅問題策略的多樣性，為尋找最優方案搭架子

接著上面的話題，為了保證比賽的公平公正，老師規定每次最多只能烙2張餅。此時板書可見右圖。

賽前準備：用圓片表示餅，標出1、2、3號；自主選擇實驗單記錄烙餅方案。

比賽要求：模擬計時開始后，學生用圓片擺一擺，并在實驗單上寫一寫或者畫一畫，把自己的烙餅方案表達出來。

裁判口令：第一鍋開始——3分鐘到，第二鍋開始——3分鐘到，……

比賽結束后，比賽成績自然分成兩組，一組快，用時9分鐘；一組慢，用時12分鐘。比賽贏的一組學生在心理上獲得極大滿足，領悟到優化思想的優越性；比賽輸的一組學生自然很沮喪，經歷那落后的3分鐘比實際的3分鐘更加漫長，他們的心理觸動并不亞于贏的同學，他們會在很長一段時間內自發地警醒自己這一次的疏忽，更加自主地探究新問題。

數學課標要求，學生只要能從解決問題的多種方案中尋找出最優的方案，初步體會優化思想的應用就可以了，并不要求學生一看到問題就能從優化的角度給出最優的方案。組織這次比賽，不僅很好地體現了新課程提出的“不同的人在數學上得到不同的發展”這一理念，而且尋找解決烙餅問題最優方案自然地成為了學生發自內心的內部需求。

三、分享方案，比較辨析，明確烙餅問題最優方案的關鍵

烙餅問題的教學難點在于如何讓學生在具體問題的解決中感悟抽象的優化思想，如何讓學生經歷由具體到抽象的過程呢？筆者有目的地收集整理學生的實驗單（如下圖）：

先按上面布局展示學生的烙餅方案，請學生各自說一說自己的烙餅方法及所用時間。然后引導學生仔細觀察不同表現手法的圖表，比較左右兩列烙餅方案，快慢雙方派出學生代表組織辯論：為什么烙2張餅和烙1張餅都用6分鐘？每次總烙幾張餅最省時間？如何保證鍋里一定有2張餅？哪種方法比較合理？通過烙餅方案的直觀展示與學生之間的辯論分享，整理成表格如下：

餅數1 2 3每面時間3分鐘3分鐘3分鐘烙餅方法【① 】【① 】【①②】【①②】【①②】【②③】【③①】烙餅次數2次2次3次最少時間3×2=6（分鐘）3×2=6（分鐘）3×3=9（分鐘）

引導學生仔細觀察表格內容，學生能夠輕而易舉地抽象概括出“只有保持鍋里始終有2張餅，不讓鍋空出來，這樣做最省時間”，而且要保證鍋里總是有2張餅，就是不能把①②兩張餅同時烙完，因為③號餅的正反面不可能同時放進一個鍋里。最后引導學生一起抽象概括出烙3張餅的最優方案的數學模型：【①②】【②③】【③①】

教師指著上面的表達式，讓學生說一說：“【】”表示什么？數字①②③為什么都要出現兩次？使學生進一步理解烙餅問題的最優方案及數學符號表示的意義，感受數學的簡潔美。

四、變式活動，類比歸納，對優化思想的認識實現同化與順應

滲透“優化思想”一定要讓學生經歷自主體驗和反思頓悟的過程。雖然學生經歷了自主探索和合作交流的過程，初步體驗到了“優化思想”在解決問題中的優越地位，但是這種體驗是膚淺的，“優化思想”在學生的思維中還是不穩定的。因此，筆者添加了情境：上午，爸爸要復印一份有3張A4紙的文件，兩面都要復印，每面復印需要10秒，復印機一次最多能放2張A4紙，怎樣安排最省時間？最少需要多少秒？讓學生把復印方法最快的方案寫在白紙上面。交流時展示兩種簡單的記錄方案：

生1：【①②】【②③】【③①】

30×3=90（秒）

30×3=90（秒）

再一次請學生說一說“【】”表示什么，數字①②③為什么都要出現兩次？生2的方案中為什么沒有標出編號？需要40秒復印完的學生為什么慢了？通過學生之間的反思與交流，組織學生體驗在不同情境中抽象出相同的數學本質，進一步理解烙餅問題的最優方案，使學生對優化思想的認識不斷地實現同化與順應。

“去具體情境抽象數學本質”對于很多學生來講有很大難度，但這恰恰是數學核心素養的內容之一，培養學生的數學抽象能力，一定要讓學生經歷足夠數量的實踐應用，活動經驗積累到一定程度才能實現學生認知結構的重組與優化，從而使烙餅問題中的優化思想成為學生思想意識中固有的思維定勢。為此，筆者再一次增添情境：中午，一家三口來到一家小餐館，他們每人點了兩個菜，假設兩位廚師做每個菜的時間都是3分鐘，應該按怎樣的順序炒菜？這個問題與前面兩個問題有所不同，同一個人的兩個菜是可以由兩位廚師同時分開炒的，所以學生的炒菜方案出現了爭議：

生1：【①②】【②③】【③①】

生2：【①②】【①②】【③③】

生3：【①①】【②②】【③③】

筆者合理利用學生的生成資源，引導學生進行比較辨析：這三種炒菜方案所用時間相等，如果你是這三個人中的③號，你會要求廚師采用哪種方案的順序炒菜？說說你的理由。設計這個問題，目的是引導學生進行換位思考，是讓學生跳出“最省時間”的思考角度，站在“等候時間”的角度再度審視炒菜方案，學生很快就發現第一個方案是最優方案，理由是第一個方案中第三個人等到第一個菜的時間最短。

生1：

①②③等候第一個菜等候第二個菜3分鐘9分鐘3分鐘6分鐘6分鐘9分鐘

生2：

①③3分鐘6分鐘等候第一個菜等候第二個菜②3分鐘6分鐘9分鐘9分鐘

生3：

①②③等候第一個菜等候第二個菜3分鐘3分鐘6分鐘6分鐘9分鐘9分鐘

解決炒菜問題，不僅需要考慮炒菜時間最省模式，還要考慮等候時間最短模式，作為店主還可以關注飯店的客流量等，在數學核心素養的引領下，我們不僅要幫助學生學會數學地思維，更應該幫助他們逐步學會更全面、更深入地去進行思考，由理性思維逐步走向理性精神。

五、情境拓展，了解優化思想具有相對性，初步體驗具體問題具體分析的方法

有意義的學習都是遵循“從實踐中來，到實踐中去”，想讓數學優化思想根植于學生的思想深處，就必須讓學生經歷實踐的檢驗。因此，筆者再一次返回早餐情境：“如果烙4張餅、5張餅、6張餅、7張餅……呢？”“你發現了什么？”在組織學生同伴合作探究，充分地猜想、推理、驗證后，把表格填寫完整：

每面時間3分鐘3分鐘【① 】【① 】3分鐘烙餅次數2次3分鐘3分鐘【①②】【①②】餅數 1 2 3 4 5 6 7烙餅方法3分鐘3次4次2次5次最少時間3×2=6（分鐘）3×2=6（分鐘）3×3=9（分鐘）3×4=12（分鐘）3×5=15（分鐘）3分鐘【①②】【②③】【③①】【①②】【①②】【③④】【③④】【①②】【①②】【③④】【④⑤】【⑤③】【①②】【①②】【③④】【③④】【⑤⑥】【⑤⑥】【①②】【①②】【③④】【③④】【⑤⑥】【⑥⑦】【⑦⑤】6次3×6=18（分鐘）7次3×7=21（分鐘）

在學生交流自己的方案中，出現了下面這些亮點：

“4張餅輪流烙與2張2張地烙，都是12分鐘完成。”

“餅數是雙數的時候，2張2張地烙餅，鍋里總是有2張餅，一定是最省時間的。”

“餅數是單數時，為了保證鍋里總是有2張餅，一定要有3張餅輪流烙。”

“如果輪流烙餅，從第6分鐘起，每隔3分鐘完成1張餅；如果2張2張地烙餅，每隔6分鐘完成2張餅，間隔時間比較長。”學生發現的這點非常重要，因為在實際等候過程中，每隔3分鐘吃到餅與每隔6分鐘吃到餅是完全不同的兩個時間概念，不僅等候時間比較長，而且等候的人心里會特別著急。因此，在實際生活中，我們除了考慮烙餅人的最少時間以外，還可以考慮排隊等候、吃餅速度等其他因素，多方面考慮問題選擇烙餅的最優方案。

在學生充分交流的基礎上，筆者逐步引導學生抽象概括出烙餅時間最省的方案：

當餅數是雙數時，可以2張2張地烙；當餅數是單數時，先2張2張地烙，最后3張餅輪流烙；最省時間=每面時間×（最少烙餅次數）。

臨近下課，筆者用課件呈現兩個更大一些的鍋，話鋒一轉：“如果鍋里最多能放3張餅或4張餅，要烙7張餅，怎樣才能盡快吃上餅？”學生一下子炸開了窩，各種方案搶著說，并且為了證明自己的烙餅方案最優，不停地尋找理由舉證，力圖說服對手，好一番濃厚的數學研究氛圍……課堂探究用的情境是老師為了培養學生的數學理性思維精心設計的，實際生活卻是變幻無常的，只有讓學生體驗到更復雜的情境，才能讓學生逐步養成具體問題具體分析的思考習慣，才能體驗到數學優化思想運用的關鍵因素，更加全面地、深入地進行思考，設計出最優方案。